カイラル摂動論

カイラル摂動論（ChPT）は、量子色力学（QCD）の（近似的な）カイラル対称性、およびパリティと電荷共役の他の対称性と一致するラグランジアンを使用して構築された有効場理論です。 ^[1] ChPTは、この基礎となるカイラル対称性に基づいてQCDの低エネルギーダイナミクスを研究することを可能にする理論です。

標準モデルの強い相互作用の理論では、クォークとグルーオンの相互作用について説明します。強い結合定数が作用するため、高エネルギーでのみ結合定数に摂動論を適用できます。しかし、QCD の低エネルギー領域では、自由度はクォークとグルーオンではなく、ハドロンになります。これは閉じ込めの結果です。QCD の分割関数を「解く」ことができれば(ラグランジアン内の自由度がハドロンに置き換えられる)、低エネルギー物理に関する情報を抽出できます。現在まで、これは達成されていません。QCD は低エネルギーで非摂動的になるため、摂動法を使用して QCD の分割関数から情報を抽出することはできません。格子 QCD は、非摂動的な情報を抽出するのに効果的であることが証明されている代替方法です。

異なる自由度を使用して、EFT で計算された観測量が基礎理論の観測量と関連していることを確認する必要があります。これは、基礎理論の対称性と一致する最も一般的なラグランジアンを使用することで実現されます。これにより、解析性、摂動論的ユニタリー性、クラスター分解、および想定される対称性と一致する「最も一般的な可能なS 行列」が生成されます。^{[2] [3]}一般に、この要件を満たす項は無限にあります。したがって、物理的な予測を行うには、事前に決定された重要度によって項を整理するべき乗順序付けスキームを理論に割り当てます。この順序付けにより、一部の項を保持し、安全に一時的に無視できるその他の高次の補正をすべて省略できます。

ChPT には、いくつかのべき乗カウント方式があります。最も広く使用されているのは、が運動量を表す -展開です。ただし、 、、展開も存在します。これらの展開はすべて有限体積で有効です (ただし、展開は無限体積で有効な唯一のものです)。有限体積の特定の選択では、物理を正しく理解するために、カイラル理論の異なる再構成を使用する必要があります。これらの異なる再構成は、異なるべき乗カウント方式に対応しています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta ,}$${\displaystyle \epsilon ^{\prime }}$${\displaystyle p}$

順序付けスキームに加えて、近似ラグランジアン内のほとんどの項には、各項によって表される力の相対的な強さを表す結合定数が乗算されます。これらの定数 (低エネルギー定数または L とも呼ばれます) の値は通常は不明です。定数は、実験データに当てはめて決定することも、基礎理論から導き出すこともできます。

-展開のラグランジアン は、 対称性によって除外されないすべての相互作用を書き出し、それらを運動量と質量の累乗の数に基づいて順序付けすることによって構築されます。 ${\displaystyle p}$

次数は、一次近似で考慮されるように選択される。ここで、はパイ中間子場、パイ中間子質量であり、基礎となるカイラル対称性を明示的に破る（PCAC）。^{[4] [5]} などの項は、他の高次の補正の一部である。 ${\displaystyle (\partial \pi )^{2}+m_{\pi }^{2}\pi ^{2}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{\pi }}$${\displaystyle m_{\pi }^{4}\pi ^{2}+(\partial \pi )^{6}}$

また、各項の単一のパイ中間子場をパイ中間子場のあらゆる可能な組み合わせの無限級数に置き換えることによってラグランジアンを圧縮することも慣例となっている。最も一般的な選択肢の1つは

${\displaystyle U=\exp \left\{{\frac {i}{F}}{\begin{pmatrix}\pi ^{0}&{\sqrt {2}}\pi ^{+}\\{\sqrt {2}}\pi ^{-}&-\pi ^{0}\end{pmatrix}}\right\}}$

ここで、はパイオン崩壊定数と呼ばれ、93 MeV です。 ${\displaystyle F}$

一般に、 の正規化にはさまざまな選択肢があるため、荷電パイ中間子の崩壊率と一致する値を選択する必要があります。 ${\displaystyle F}$

有効理論は一般に非繰り込み可能ですが、ChPT の特定のべき乗計算方式が与えられた場合、有効理論はカイラル展開の特定の順序で繰り込み可能です。たとえば、観測量を に計算したい場合、ラグランジアンから得られる接触項(SU(2) 理論と SU(3) 理論では異なります) をツリーレベルで計算し、ラグランジアンからの1 ループ寄与を計算する必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$

積分測度は 、プロパゲータは、導関数寄与は と数えられることに注意すれば、ラグランジアンからの 1 ループ寄与がと数えられることが簡単にわかります。したがって、計算は まで有効であるため、ラグランジアンから低エネルギー定数 (LEC) を繰り込むことで計算の発散を除去します。したがって、特定の観測量の への計算ですべての発散を除去したい場合は、ラグランジアンの式の結合定数を使用してそれらの発散を除去します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$${\displaystyle p^{4}}$${\displaystyle p^{-2}}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$

この理論は、パイ中間子間の相互作用、およびパイ中間子と核子（または他の物質場）間の相互作用を記述することを可能にする。SU(3) ChPTは、K中間子とイータ中間子の相互作用も記述でき、同様の理論を使用してベクトル中間子を記述することができる。カイラル摂動論はカイラル対称性を仮定し、したがって質量のないクォークを仮定するため、より重いクォークの相互作用をモデル化するために使用できない。

SU(2)理論では、主要次数のカイラルラグランジアンは^[1]で与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {F^{2}}{4}}{\rm {tr}}(\partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger })+{\frac {\lambda F^{3}}{4}}{\rm {tr}}(m_{q}U+m_{q}^{\dagger }U^{\dagger })}$

ここでMeVとクォーク質量行列である。ChPTの-展開において、小さな展開パラメータは ${\displaystyle F=93}$${\displaystyle m_{q}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {p}{\Lambda _{\chi }}},{\frac {m_{\pi }}{\Lambda _{\chi }}}.}$

ここで はカイラル対称性の破れのスケールで、1 GeV のオーダーである（ と推定されることもある ）。この展開では、 はカイラル展開の主要オーダーであるためとみなされる。 ^[6]${\displaystyle \Lambda _{\chi }}$${\displaystyle \Lambda _{\chi }=4\pi F}$${\displaystyle m_{q}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$${\displaystyle m_{\pi }^{2}=\lambda m_{q}F}$

いくつかのケースでは、カイラル摂動論は強い相互作用の非摂動領域におけるハドロン間の相互作用を記述することに成功している。例えば、少数核子系に適用することができ、摂動展開の2番目に主要な順序では、 3核子の力を自然な方法で説明することができる。 ^[7]

• ハワード・ジョージ『弱い相互作用と現代粒子理論』ベンジャミン・カミングス、1984年、2008年改訂版
• H Leutwyler、「カイラル摂動論の基礎について」、Annals of Physics、 235、1994年、p 165-203。
• ステファン・シェラー、「カイラル摂動論入門」、Adv. Nucl. Phys. 27 (2003) 277。
• ゲルハルト・エッカー「カイラル摂動論」Prog. Part. Nucl. Phys. 35 (1995)、pp. 1–80。