積分の微分

数学において、積分の微分の問題は、点の小さな近傍における適切な関数の平均積分値が 、どのような状況下でその点における関数の値に近似するかを決定する問題です。より正式には、測度μと計量d を持つ空間Xが与えられたとき、関数f  :  X  →  Rが すべての (または少なくともμ -ほぼすべての) x  ∈  Xに対して何を行うか を尋ねます。 (ここで、記事の残りの部分と同様に、B _r ( x )は、 d -半径rと中心xを持つXの開球を表します。) これは、特に、 f ( x ) が x の近くの f の値の「適切な代表」であることがほぼ暗黙的であるリーマン積分の発見的構成を考慮すると、自然な質問です。 $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)}$$

積分の微分化に関する結果の 1 つに、 1910 年にアンリ ルベーグによって証明されたルベーグの微分定理があります。n次元ユークリッド空間R ⁿ上のn次元ルベーグ測度λ ^{n を}考えます。すると、任意の局所積分可能関数f  :  R ⁿ  →  Rに対して、 λ ⁿ に対してほぼすべての点x  ∈  R ⁿが成り立ちます 。ただし、「悪い」点の測度ゼロ集合は関数fに依存することに注意することが重要です。 $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\lambda ^{n}{\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(y)=f(x)}$$

ルベーグ測度に関する結果は、ベシコヴィッチ被覆定理に基づく次の結果の特殊なケースであることがわかります。μがR ⁿ上の任意の局所有限ボレル測度であり、f  :  R ⁿ  →  Rがμに関して局所積分可能である場合、 μ に対してほぼすべての点x  ∈  R ⁿが成立します。 $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)}$$

積分の微分問題は、無限次元の設定でははるかに困難です。ガウス測度γを備えた可分 ヒルベルト空間( H , ⟨ , ⟩ ) を考えます。ヴィタリ被覆定理に関する記事で述べたように、ヴィタリ被覆定理は無限次元ヒルベルト空間上のガウス測度では成り立ちません。David Preiss (1981 および 1983) の 2 つの結果は、この設定で遭遇すると予想される困難の種類を示しています。

• 可分ヒルベルト空間Hとボレル集合M  ⊆  H上にガウス測度γ が存在するので、γ -ほぼすべてのx  ∈  Hに対して、$${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {\gamma {\big (}M\cap B_{r}(x){\big )}}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}=1.}$$
• 可分ヒルベルト空間H上のガウス測度γと関数f∈L1  (  H ^, γ ; R ) が 存在し、$${\displaystyle \lim _{r\to 0}\inf \left\{\left.{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{s}(x){\big )}}}\int _{B_{s}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)\right|x\in H,0<s<r\right\}=+\infty .}$$

しかし、 γの共分散をうまく制御できれば、いくらか希望が持てる。 γの共分散演算子をS  :  H  →  Hとすると 、 これは次のように表される。あるいは、Hの可算な正規直交基底( e _i ) _{i ∈ N}に対して、 $${\displaystyle \langle Sx,y\rangle =\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \gamma (z),}$$ $${\displaystyle Sx=\sum _{i\in \mathbf {N} }\sigma _{i}^{2}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.}$$

1981 年に Preiss と Jaroslav Tišer は、定数 0 <  q  < 1 が存在する場合 、すべてのf  ∈  L ¹ ( H ,  γ ;  R ) に対して、 収束はγに関する測度での収束となることを示しました。1988 年に Tišer は、 あるα  > 5 ⁄ 2 に対して、 γ -ほぼすべてのxおよびすべてのf  ∈  L ^p ( H ,  γ ;  R ) に対して、 p  > 1 となることを示しました。 $${\displaystyle \sigma _{i+1}^{2}\leq q\sigma _{i}^{2},}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{\gamma }}f(x),}$$$${\displaystyle \sigma _{i+1}^{2}\leq {\frac {\sigma _{i}^{2}}{i^{\alpha }}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{}}f(x),}$$

2007 年現在、可分ヒルベルト空間H上に無限次元ガウス測度γ が存在し、すべてのf  ∈  L ¹ ( H ,  γ ;  R ) に対して、 γ に対してほぼすべてのx  ∈  Hが成り立つかどうかは未解決の問題です。しかし、 σ _{i は}非常に急速に減衰する必要がある ため、そのような測度は存在しないと推測されています。$${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)=f(x)}$$

• 微分法の規則 – 関数の微分を計算するための規則
• ライプニッツの積分則 – 積分記号公式による微分
• レイノルズ輸送定理 – ライプニッツ積分則の 3D 一般化