優位収束定理

測度論において、ルベーグの優収束定理は、関数列の極限と積分を交換できる緩やかな十分条件を与える。より厳密に言えば、関数列が積分可能な関数によって絶対値で制限され、ほとんど至るところで関数に点ごとに収束する場合、関数列は収束する。${\displaystyle L_{1}}$ルベーグ積分は、その点ごとの極限、特に極限の積分が積分の極限となる。その強力さと有用性は、リーマン積分に対するルベーグ積分の主な理論的利点の 2 つである。

数学解析や偏微分方程式に頻繁に登場するだけでなく、確率論においても広く用いられている。なぜなら、確率変数の期待値の収束のための十分条件を与えるからである。

ルベーグの優収束定理。^{[ 1 ]}${\displaystyle (f_{n})}$測度空間上の複素数値可測関数の列である${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$数列が関数に点ごとに収束すると仮定する。${\displaystyle f}$つまり

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

すべての${\displaystyle x\in S}$さらに、シーケンスが${\displaystyle f_{n}}$ある積分可能な関数によって支配される${\displaystyle g}$そういう意味で

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

すべてのポイントについて${\displaystyle x\in S}$そしてすべて${\displaystyle n}$インデックスセット内。次に${\displaystyle f_{n},f}$（ルベーグの意味で）積分可能であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$。

実際、我々のほうが強い主張をしている

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0.}$

注釈1.声明「${\displaystyle g}$「積分可能である」とは、測定可能な関数が${\displaystyle g}$はルベーグ積分可能、すなわち${\displaystyle g\geq 0}$。

${\displaystyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .}$

注釈2.数列の収束と支配${\displaystyle g}$リラックスして保持することができます${\displaystyle \mu }$-ほぼあらゆる場所で、つまり測定可能な集合上を除いて${\displaystyle Z}$の${\displaystyle \mu }$-測定${\displaystyle 0}$実際、関数を変更することができます${\displaystyle f_{n}}$（したがって、ポイントごとの制限）${\displaystyle f}$）0にするために${\displaystyle Z}$積分値を変更せずに。（例えば、定義することにこだわる場合）${\displaystyle f}$限界が存在する場合、測定不可能な部分集合にたどり着く可能性があります${\displaystyle Z}$測度空間が不完全な場合、収束が破られるため、${\displaystyle f}$測定できない可能性がある。しかし、ヌル集合内の限界を無視しても害はない。${\displaystyle Z}$)したがって、${\displaystyle f_{n}}$そして${\displaystyle f}$定義されるものとして、ただし以下のセットを除く${\displaystyle \mu }$-測定0。

注釈3.もし${\displaystyle \mu (S)<\infty }$支配的な積分可能な関数が存在するという条件${\displaystyle g}$数列 ( f _n )の一様積分可能性に緩和することができる。ヴィタリ収束定理を参照のこと。

注釈4 .${\displaystyle f}$はルベーグ積分可能だが、一般にはリーマン積分可能ではない。例えば、有理数を次の順序に並べる。${\displaystyle [0,1]}$、そして${\displaystyle f_{n}}$定義される${\displaystyle [0,1]}$最初の n 個の有理数に対しては 1 を、それ以外の場合は 0 を取る。${\displaystyle f}$ディリクレ関数は${\displaystyle [0,1]}$これはリーマン積分可能ではないが、ルベーグ積分可能である。

注釈 5優収束定理のより強いバージョンは次のように再定式化できます。可測複素関数の列の場合${\displaystyle f_{n}}$ほぼ至るところで関数に点収束する${\displaystyle f}$そしてほとんど至るところで絶対値が積分可能な関数によって制限され、${\displaystyle f_{n}\to f}$バナッハ空間において${\displaystyle L_{1}(S,\mu )}$

一般性を失うことなく、 fは実数であると仮定できます。なぜなら、 f を実部と虚部に分解し（複素数列が収束するのは、実部と虚部の両方が収束する場合に限る）、最後に三角不等式を適用できるからです。

ルベーグの優収束定理は、ファトゥ・ルベーグの定理の特殊な場合である。しかし、以下では、ファトゥの補題を主要なツールとして用いた直接的な証明を示す。

f はgによって支配される可測関数の列 ( f _n ) の点ごとの極限であるため、f も可測であり、 gによって支配されるため、積分可能です。さらに、(これらは後で必要になります)、

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

すべてのnに対して、

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0}$

どこ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$限界は上ですか。

これらのうち2番目は自明に正しい（ fの定義から）。ルベーグ積分の線形性と単調性を用いると、

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

逆ファトゥ補題により（ここで、| f − f _n | が可積分関数によって上から抑えられるという事実を利用する）

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

これは極限が存在して消滅することを意味する。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

最後に、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

私たちはそれを持っています

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

定理は以下の通りである。

仮定がほとんど至るところでのみ成り立つ場合、関数f _n 1 _{S \ N}がS上の至るところで仮定を満たすようなμ-零集合N ∈ Σが存在する。このとき、 x ∈ S \ N に対して f n ( x ) の点ごとの極限として定義され、x ∈ Nに対してf ₍ x ) = 0と なる 関数f ( x )は可測であり、この修正された関数列の点ごとの極限となる。これらの積分の値は、この μ-零集合N上の被積分関数に対するこれらの変更の影響を受けないため、定理は引き続き成り立つ。  

DCTは、 f _nが測度（有限測度）においてfに収束し、支配関数がほとんど至るところで非負である場合でも成立する。

数列が何らかの積分可能な関数gによって支配されるという仮定は、無視できない。これは次のように理解できる。区間(0, 1/ n ]内のxに対してf _n ( x ) = nと定義し、それ以外の場合はf _n ( x ) = 0 とする。数列を支配する任意のgは、点ごとの上限h = sup _n f _nも支配しなければならない。

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

調和級数の発散により、ルベーグ積分の単調性から、[0,1] 上の数列を支配する積分可能な関数は存在しないことがわかります。直接計算すると、この数列では積分と点ごとの極限が可換ではないことがわかります。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

なぜなら、数列の各点における極限はゼロ関数だからです。数列 ( f _n ) は一様積分可能ですらないため、ヴィタリ収束定理も適用できません。

優収束定理の帰結の一つに有界収束定理がある。これは、( f _n )が有界測度空間( S , Σ, μ) (すなわち μ( S ) が有限である) 上で点ごとに関数fに収束する一様有界複素数値可測関数列である場合、極限fは可積分関数であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

注記:測度空間( S , Σ, μ)が完備であるか、またはfが μほぼ至る所で既存のμほぼ至る所極限と一致する可測関数として選択されている場合、数列の点ごとの収束と一様有界性はμほぼ至る所でのみ成り立つように緩和できます。

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$測度空間である、${\displaystyle 1\leq p<\infty }$実数と${\displaystyle (f_{n})}$一連の${\displaystyle {\mathcal {A}}}$測定可能な関数${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$。

シーケンスを仮定します${\displaystyle (f_{n})}$収束する${\displaystyle \mu }$-ほぼどこでも${\displaystyle {\mathcal {A}}}$測定可能な関数${\displaystyle f}$、そして、${\displaystyle g\in L^{p}}$（Lp空間を参照）すなわち、すべての自然数に対して${\displaystyle n}$我々は持っています：${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$、μ-ほぼどこにでも。

そしてすべて${\displaystyle f_{n}}$同様に${\displaystyle f}$は${\displaystyle L^{p}}$そしてそのシーケンス${\displaystyle (f_{n})}$収束して${\displaystyle f}$の意味で${\displaystyle L^{p}}$つまり：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

証明の考え方：元の定理を関数列に適用する${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$支配的な機能を持つ${\displaystyle (2g)^{p}}$。

優収束定理は、バナッハ空間に値をとる可測関数にも適用され、優関数は上記と同様に非負かつ積分可能である。ほとんど至るところで収束するという仮定は、測度での収束のみを要求するように弱めることができる。

支配収束定理は条件付き期待値にも適用される。^{[ 2 ]}

• 確率変数の収束、平均値の収束
• 単調収束定理（可積分関数による支配を必要とせず、代わりに数列の単調性を仮定する）
• シェッフェの補題
• 一様積分可能性
• ヴィタリの収束定理（ルベーグの優収束定理の一般化）

• Bartle, RG (1995).積分とルベーグ測度の要素. Wiley Interscience. ISBN 9780471042228。
• ロイデン、HL（1988）。実解析。プレンティス・ホール。ISBN 9780024041517。
• ウィアー、アラン・J. (1973). 「収束定理」.ルベーグ積分と測度. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. pp. 93–118 . ISBN  0-521-08728-7。
• ウィリアムズ、D. (1991).マルチンゲールを用いた確率論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-40605-6。
• ジトコビッチ、ゴードン（2013年秋）。「講義10：条件付き期待値」（PDF） 。 2020年12月25日取得。