ナビエ・ストークス方程式の導出

ナビエ・ストークス方程式の導出、および異なる流体ファミリーへの適用と定式化は、機械工学、物理学、化学、熱伝達、電気工学に応用される流体力学の重要な課題です。ナビエ・ストークス方程式の存在や滑らかさなどの特性と境界を説明する証明は、数学における重要な未解決問題の一つです。^[1]

ナビエ・ストークス方程式は、流体が対象スケールでは連続体、つまり離散粒子ではなく連続した物質であるという仮定に基づいています。もう 1 つの必要な仮定は、圧力、流速、密度、温度など、対象となるすべてのフィールドが少なくとも弱微分可能であることです。

これらの方程式は、質量の連続性、運動量保存、エネルギー保存の基本原理から導かれます。場合によっては、これらの原理を適用できる制御体積と呼ばれる有限の任意の体積を考慮する必要があります。この有限体積はΩで表され、その境界面は∂Ωで表されます。制御体積は空間内に固定することも、流体とともに移動することもできます。

移動する流体の特性の変化は、2つの異なる方法で測定できます。流体の粒子が通過するときに空間内の固定点で測定を実行するか、流体の塊をその流線に沿って追跡することにより、特定の特性を測定できます。空間内の固定位置に関する場の微分はオイラー微分と呼ばれ、移動する塊を追う微分は移流微分または物質微分（またはラグランジアン^[2]）微分と呼ばれます。

物質微分は線形演算子として定義されます。

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nブラ }$

ここで、u は流速です。方程式の右側の最初の項は通常のオイラー導関数 (固定された参照フレームでの導関数で、時間に対する点の変化を表します) ですが、2 番目の項は位置に対する量の変化を表します (移流を参照)。この「特別な」導関数は、実際には流体の動きに続く経路に沿った多くの変数の関数の通常の導関数です。これは、経路に沿ったすべての独立変数の変化 (つまり、全導関数) をチェックする連鎖律を適用することで導出できます。

たとえば、大気中の風速の変化は、気象観測所の風速計や気象観測気球の動きを観察することで測定できます。前者の場合の風速計は、空間内の固定点を通過するすべての移動粒子の速度を測定しますが、後者の場合の計器は、流れとともに移動するときの速度の変化を測定します。

ナビエ・ストークス方程式は特殊な連続方程式です。連続方程式は、以下の保存則から導かれます。

• 質量、
• 勢い、
• エネルギー。

連続方程式（または保存則）は、制御体積Ω上で定義された何らかの統合特性φの変化率が、体積の境界Γ を介して失われるまたは得られる速度と、体積内のソースとシンクによって生成または消費される速度の合計に等しくなければならないことを示す積分関係です。これは、次の積分連続方程式で表されます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Gamma }\varphi \mathbf {u\cdot n} \ d\Gamma - \int _{\オメガ }s\ d\オメガ }$

ここで、uは流体の流速、nは外向きの単位法線ベクトル、s は流れのソースとシンクを表し、シンクを正とします。

発散定理を表面積分に適用すると、表面積分は体積積分に変換されます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d \オメガ -\int _{\オメガ }s\ d\オメガ .}$

レイノルズ輸送定理を左側の積分に 適用し、すべての積分を結合します。

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega \quad \Rightarrow \quad \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s\right)d\Omega =0.}$

積分はどの制御ボリュームでもゼロでなければなりません。これは、被積分関数自体がゼロの場合にのみ当てはまります。

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s=0.}$

この有用な関係（非常に一般的な連続方程式）から、質量保存、運動量保存、エネルギー保存という 3 つの重要な概念を簡潔に記述できます。φがベクトルの場合でも有効性が保持され、その場合、第 2 項のベクトル-ベクトル積は 2項になります。

質量も考慮される。強度特性φ を質量とみなす場合、一般連続方程式に代入し、s = 0 (質量の発生源や吸収源なし) とすると、次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

ここで、ρは質量密度（単位体積あたりの質量）、u は流速です。この式は質量連続方程式、または単に連続方程式と呼ばれます。この方程式は一般にナビエ・ストークス方程式を伴います。

非圧縮性流体の場合、⁠dρ/日付⁠ = 0 (流体要素の経路に沿った密度は一定) であり、方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

これは実際には体積保存則を述べたものです。

運動量に保存関係を適用すると、一般的な運動量方程式が得られます。強度特性φ を質量流束（運動量密度とも呼ばれる）、つまり質量密度と流速 ρ uの積として考え、一般的な連続方程式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=\mathbf { s} }$

ここでu⊗uはダイアドであり、テンソル積の特殊なケースで、2階テンソルになります。2階テンソルの発散は再びベクトル（1階テンソル）になります。^[3]

2元対の発散の公式を用いると、

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \nabla \mathbf {b} }$

すると

${\displaystyle \mathbf {u} {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {s} }$

ベクトルの勾配は共変微分の特殊なケースであり、演算の結果は2階のテンソルになることに注意してください。 ^[3]直交座標を除いて、これは単純に要素ごとの勾配ではないことを理解することが重要です。 を整理すると：

${\displaystyle \mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

括弧で囲まれた左端の式は、質量連続性（前述）によりゼロになります。式の左側に残っているのは流速の物質微分であることに注意してください。

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

これは、ニュートンの第 2 法則( F = m a ) を点力ではなく体積力で単純に表現したもののように見えます。ナビエ-ストークス方程式のいずれの場合も、各項は体積力です。この結果を得るためのより短い (ただし厳密ではない) 方法は、連鎖律を加速度に適用することです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {d}{dt}}{\bigl (}\mathbf {u} (x,y,z,t){\bigr )}=\mathbf {s} \quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+u{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}+w{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)&=\mathbf {s} \end{aligned}}}$

ここでu = ( u , v , w )である。これが「それほど厳密ではない」理由は、

${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

正しいですが、その経路を選択すると導関数は流体の「粒子」を「追従」し、ニュートンの第 2 法則が機能するためには、粒子を追従する力を合計する必要があるため、意味があります。このため、対流導関数は粒子導関数とも呼ばれます。

先に見た運動量源の一般的な密度は、まず2つの新しい用語に分割することで具体的に表現されます。1つは内部応力を記述するもの、もう1つは重力などの外部力を表すものです。流体中の小さな立方体に作用する力を調べると、次のことが分かります。

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {\rho } {f}}$

ここで、σはコーシー応力テンソル、f は存在する体積力を表します。この方程式はコーシー運動量方程式と呼ばれ、質量を保存する任意の連続体の非相対論的運動量保存を記述します。σは、共変成分によって与えられる階数 2 の対称テンソルです。3 次元の直交座標では、3 × 3行列として表されます。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}}$

ここで、σ は法線応力、τ は せん断応力です。この行列は 2 つの項に分割されます。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$

ここで、Iは3×3の単位行列、τは偏差応力テンソルである。機械的圧力 pは平均法線応力の負の値に等しいことに注意する：^[4]

${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right).}$

これを行う動機は、圧力が通常、関心のある変数であり、また、静止している流体では上の式の右端のテンソルτがゼロでなければならないため、後で特定の流体ファミリーに適用するのが簡単になることです。 τはトレースレスであることに注意してください。コーシー方程式は、別のより明確な形式で記述できます。

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {f} }$

この方程式はまだ不完全です。完成させるには、 τとpの形式について仮説を立てなければなりません。つまり、特定の流体ファミリーに対して得られる応力テンソルの構成法則と圧力が必要です。これらの仮説のいくつかはオイラー方程式 (流体力学)につながり、他の仮説はナビエ・ストークス方程式につながります。さらに、流れが圧縮性であると仮定すると、状態方程式が必要になり、エネルギー保存則の定式化がさらに必要になる可能性があります。

運動方程式の一般的な形式は「すぐに使用できる」状態ではなく、応力テンソルはまだ不明であるため、より多くの情報が必要です。この情報は通常、流体の粘性挙動に関する知識です。さまざまなタイプの流体の流れに対して、ナビエ・ストークス方程式の特定の形式が結果として生じます。

ニュートン流体の定式化は、ニュートンがほとんどの流体について、

${\displaystyle \tau \propto {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

これをナビエ-ストークス方程式に適用するために、ストークスは 3 つの仮定を立てました。

• 応力テンソルは、ひずみ速度テンソル、または同等の速度勾配の線形関数です。
• 流体は等方性です。
• 静止した流体の場合、∇ ⋅ τ はゼロでなければなりません（その結果、静水圧が発生します）。

上記のリストは、せん断ひずみ速度テンソル（速度勾配の（対称的な）せん断部分）は純粋なせん断テンソルであり、流入/流出部分（圧縮/膨張部分）を含まないという古典的な議論^{[5]を述べています。これは、そのトレースがゼロであることを意味し、これはテンソルの対角要素から対称的に}∇ ⋅ uを減算することによって実現されます。粘性応力への圧縮の寄与は、別の対角テンソルとして追加されます。

これらの仮定を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)+\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} }$

またはテンソル形式で

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}}$

つまり、変形速度テンソルの偏差は、係数μまで応力テンソルの偏差と同一視される。^[6]

δ _{ij は}クロネッカーのデルタです。μとλ は、応力がひずみに線形に依存するという仮定に関連する比例定数です。μは第 1粘性係数またはせん断粘性 (通常は単に「粘度」と呼ばれます) と呼ばれ、 λ は第 2 粘性係数または体積粘性(バルク粘性と関連しています) です。体積変化に関連する粘性効果を生み出すλの値を決定するのは非常に難しく、その符号さえも絶対的な確実性を持ってわかっていません。圧縮性の流れであっても、 λ を含む項は無視できることが多いですが、ほぼ非圧縮性の流れであっても重要になることがあり、議論の的となっています。ゼロ以外の値を取る場合、最も一般的な近似値はλ ≈ − ⁠です。2/3⁠ μ . ^[7]

運動量保存方程式にτ _ijをそのまま代入すると、圧縮性ニュートン流体を記述する ナビエ・ストークス方程式が得られます。

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right]+\rho \mathbf {g} }$

体積力は密度と外部加速度に分解され、f = ρ gとなります。関連する質量連続方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

この方程式に加えて、状態方程式とエネルギー保存の方程式が必要です。使用する状態方程式は状況によって異なりますが (多くの場合、理想気体の法則)、エネルギー保存は次のようになります。

${\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\nabla T)+\Phi }$

ここで、hは比エンタルピー、Tは温度、Φ は粘性効果によるエネルギーの消散を表す関数です。

${\displaystyle \Phi =\mu \left(2\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial w}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\right)+\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )^{2}.}$

状態方程式が適切で、パラメータ（粘度など）の変数への依存性を表す関数が適切であれば、この方程式系は既知のすべての気体とほとんどの液体のダイナミクスを適切にモデル化できると思われます。

特殊な（しかし非常に一般的な）非圧縮流の場合、運動量方程式は大幅に単純化されます。次の仮定を使用します。

• 粘度μは定数となる
• 2番目の粘性効果λ = 0
• 簡略化された質量連続方程式∇ ⋅ u = 0

これは非圧縮性ニュートン流体を記述する非圧縮性ナビエ・ストークス方程式を与える。

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\rho \mathbf {g} }$

次に、例えば x運動量方程式の粘性項を見ると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\right)\\[8px]&\qquad =2\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}{\cancelto {0}{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u\end{aligned}}\,}$

同様に、y^およびz運動量方向^については、μ∇2vおよびμ∇2wとなります。

上記の解は、密度と粘度が一定の場合の流体力学の運動方程式から ナビエ-ストークス方程式を導くための鍵となります。

非ニュートン流体は、流動特性がニュートン流体と何らかの点で異なる流体である。最も一般的には、非ニュートン流体の粘度は、せん断速度またはせん断速度履歴の関数である 。しかし、せん断に依存しない粘度を持ち、それにもかかわらず通常の応力差やその他の非ニュートン挙動を示す非ニュートン流体もいくつかある。多くの塩溶液や溶融ポリマーは非ニュートン流体であり、ケチャップ、カスタード、歯磨き粉、デンプン懸濁液、塗料、血液、シャンプーなど、一般的に見られる多くの物質も非ニュートン流体である。ニュートン流体では、せん断応力とせん断速度の関係は原点を通る直線であり、比例定数は粘性係数である。非ニュートン流体では、せん断応力とせん断速度の関係は異なり、時間に依存することさえある。非ニュートン流体の研究は通常、レオロジーと呼ばれる。ここでいくつかの例を示します。

ビンガム流体では状況は少し異なります。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\[5px]{\dfrac {\tau -\tau _{0}}{\mu }},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

これらは、流れ始める前にある程度の圧力に耐えることができる流体です。一般的な例としては、歯磨き粉や粘土などがあります。

べき乗法則流体は、せん断応力τが次のように与えられる理想化された流体で ある。

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$

この形式は、せん断減粘性（ラテックス塗料など）やせん断増粘性（コーンスターチと水の混合物など）を含む、あらゆる種類の一般的な流体を近似するのに役立ちます。

流れの解析では、方程式の数や変数の数を減らすことが望ましい場合がよくあります。質量連続性を持つ非圧縮ナビエ・ストークス方程式 (4 つの未知数に対する 4 つの方程式) は、2D では 1 つの従属変数を持つ 1 つの方程式に、3D では 1 つのベクトル方程式に減らすことができます。これは、2 つのベクトル計算恒等式によって可能になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \phi )&=0\\\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )&=0\end{aligned}}}$

任意の微分可能なスカラーφとベクトルAに対して成り立ちます。最初の恒等式は、ナビエ・ストークス方程式でスカラーの勾配として表される項は、方程式の回転を取ると消えることを意味します。通常、圧力pと外部加速度g は消去され、次のようになります (これは 2D でも 3D でも当てはまります)。

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)}$

ここで、すべての物体の力は勾配として記述可能であると仮定します（たとえば、重力の場合）。また、密度は、粘性が動粘性になるように分割されています。

上記の 2 番目のベクトル解析恒等式は、ベクトル場の回転の発散がゼロであることを示しています。(非圧縮) 質量連続方程式は流速の発散がゼロであることを指定しているため、質量連続性が常に満たされるように 流速を何らかのベクトルψの回転に置き換えることができます。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=0\quad \Rightarrow \quad 0=0}$

したがって、流速がu = ∇ × ψで表される限り、質量連続性は無条件に満たされます。この新しい従属ベクトル変数により、ナビエ-ストークス方程式 (回転は上記のように取られます) は単一の 4 次ベクトル方程式になり、未知の圧力変数が含まれなくなり、別の質量連続方程式に依存しなくなります。

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)}$

4 次導関数を含むこと以外にも、この方程式はかなり複雑で、あまり一般的ではありません。交差微分を省略すると、結果は、上記の 4 次方程式に適用するのと同じ境界条件から決定できる未知のベクトル場 (圧力の勾配) を含む 3 次ベクトル方程式になることに注意してください。

この定式化の真の有用性は、流れが本質的に 2 次元であり、方程式が一般直交座標系、つまり基底ベクトルが直交するシステムで記述されているときに見られます。これは決して直交座標への適用を制限するものではなく、実際には円筒形などのよく知られたものやトロイダルなどのあまり知られていないものを含め、一般的な座標系のほとんどは直交していることに注意してください。

3D 流速は次のように表されます (これまでの説明では座標を使用していないことに注意してください)。

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

ここで、e _{i は}必ずしも定数ではなく、正規化もされていない基底ベクトルであり、u _{i は}流速成分です。また、空間の座標は( x ₁、x ₂、x ₃ )とします。

ここで、流れが 2D であると仮定します。これは流れが平面上にあることを意味するのではなく、1 つの方向の流速成分がゼロで、残りの成分が同じ方向から独立していることを意味します。その場合 (成分 3 をゼロとします) は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2};\qquad {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0}$

ベクトル関数ψは次のように定義されます。

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

しかし、流れは 2D であると想定されるため、これも何らかの方法で単純化する必要があります。直交座標を想定すると、回転はかなり単純な形になり、上記の展開された式は次のようになります。

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)\right]+}$

${\displaystyle {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)\right]}$

この式を調べると、ψ ₁ = ψ ₂ = 0と設定して、一般性を失うことなく等式を維持できることがわかります。

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)}$

ここで重要なのは、ψの 1 つの要素のみが残るため、2D フローは 1 つの従属変数のみを持つ問題になるということです。交差微分されたナビエ - ストークス方程式は、2 つの0 = 0方程式と 1 つの意味のある方程式になります。

残りの要素ψ ₃ = ψは流れ関数と呼ばれます。 ψの式は、さまざまな量がゼロになるため、次のように簡略化できます。

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(\psi h_{1}h_{2}\right)=0}$

スケール係数 h ₁とh _2もx ₃に依存しない場合。また、ベクトルラプラシアンの定義から

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}=-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}$

上記の2つの方程式とさまざまな恒等式^[8]を使用してクロス微分ナビエ-ストークス方程式を操作すると、最終的に流れ関数の1Dスカラー方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$

ここで、∇ ⁴は重調和演算子です。これは、2D での運動量保存と質量保存の両方を記述する単一の自己完結型スカラー方程式であるため、非常に便利です。この偏微分方程式に必要な他の方程式は、初期条件と境界条件だけです。

ストリーム関数方程式の仮定は次のとおりです。

• 流れは非圧縮性でニュートン流体です。
• 座標は直交します。
• 流れは2Dです: u ₃ = ⁠∂u ₁です/∂ × ₃⁠ = ⁠∂u ₂です/∂ × ₃⁠ = 0
• 座標系の最初の 2 つのスケール係数は、最後の座標とは独立しています。∂h ₁の/∂ × ₃⁠ = ⁠∂h ₂の/∂ × ₃⁠ = 0、それ以外の場合は追加の項が表示されます。

ストリーム関数には、いくつかの便利なプロパティがあります。

• −∇ ² ψ = ∇ × (∇ × ψ ) = ∇ × uなので、流れの渦度は流れ関数のラプラシアンの負の値になります。
• 流れ関数のレベル曲線は流線です。

ナビエ・ストークス方程式の導出には流体要素に作用する力の考慮が含まれるため、応力テンソルと呼ばれる量がコーシー運動量方程式に自然に現れます。このテンソルの発散を考慮するため、応力テンソルの本来の姿が失われるように、方程式を完全に簡略化して書き出すのが通例です。

しかし、応力テンソルは、特に流体界面の境界条件を定式化する際に、依然として重要な用途があります。σ = − p I + τを思い出すと、ニュートン流体の場合、応力テンソルは次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} .}$

流体が非圧縮性であると仮定すると、テンソルは大幅に単純化されます。たとえば、3D 直交座標では次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}}&2\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}&\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}}&\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}}&2\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\[6px]&=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\[6px]&=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {e} \end{aligned}}}$

e は定義により ひずみ速度テンソルです

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}$

• 離散LBEからのナビエ・ストークス方程式の導出
• 熱力学第一法則（流体力学）

• バチェラー、G.K.（2000）。流体力学入門。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-66396-0。
• ホワイト、フランク M. (2006)。粘性流体の流れ(第 3 版)。ニューヨーク: マグロウヒル。ISBN 0-07-240231-8。
• 表面張力モジュールは、2007 年 10 月 27 日にWayback Machineにアーカイブされました。著者: John WM Bush、MIT OCW
• ガルディ、ナビエ・ストークス方程式の数学的理論入門：定常状態問題。Springer 2011