トーラス座標

トロイダル座標は、2 次元双極座標系を2 つの焦点を分ける軸を中心に回転させて得られる3 次元直交 座標系です。したがって、双極座標の2 つの焦点は、トロイダル座標系の平面で半径のリングになります。 - 軸が回転軸です。焦点リングは基準円とも呼ばれます。 ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle z}$

トーラス座標の最も一般的な定義は ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,\phi )}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

と併せて）。点の座標は角度に等しく、座標は焦点リングの反対側までの 距離と距離の比の自然対数に等しい。${\displaystyle \mathrm {符号} (\sigma )=\mathrm {符号} (z}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

座標範囲は、、および${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi .}$

定数の表面は異なる半径の球に対応する ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(za\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

すべて焦点リングを通過しますが、同心円ではありません。定数面は、異なる半径の交差しないトーラスです。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

焦点リングを囲む定数球の中心は- 軸に沿って位置し、定数トーラスの中心は平面上にあります。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle xy}$

座標は、直交座標（x、y、z）から次のように計算できます。方位角は、次の式で与えられます。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

点Pの 円筒半径は次のように与えられる。${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \rho^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

そして、平面上の焦点までの距離は次のように定義される。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

座標は焦点距離の 自然対数に等しい${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

は焦点までの光線間の角度に等しく、これは余弦定理から決定できる。${\displaystyle |\sigma |}$

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.}$

あるいは、記号を含めて明示的に、

${\displaystyle \sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

どこ。 ${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$

円筒座標とトーラス座標間の変換は複素数表記で次のように表すことができます。

${\displaystyle z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},}$

${\displaystyle \tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.}$

トーラス座標のスケール係数とは次のようになる。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

一方、方位角スケール係数は

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

したがって、微小体積要素は

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

ラプラシアンは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

ベクトル場の場合、ベクトルラプラシアンは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_ {\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

3変数ラプラス方程式

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

は、トーラス座標における 変数分離によって解くことができる。

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

すると分離可能な方程式が得られます。変数の分離によって得られる特定の解は次のようになります。

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

ここで、各関数は次の線形結合です。

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

ここで、P と Q はそれぞれ第 1 種および第 2 種の ルジャンドル関数です。これらのルジャンドル関数は、しばしばトロイダル高調波と呼ばれます。

トロイダル高調波には興味深い性質が数多くあります。変数置換を行うと、例えば、次数が消える（慣例的に、消える場合は次数を書かない）場合、${\displaystyle z=\cosh \tau >1}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

そして

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

ここで、およびはそれぞれ第 1 種および第 2種の完全楕円積分です。残りのトロイダル調和関数は、たとえば、ルジャンドル関数の漸化式を使用して、完全楕円積分によって得ることができます。 ${\displaystyle \,\!K}$${\displaystyle \,\!E}$

トーラス座標の典型的な応用は、偏微分方程式を解くことです。たとえば、トーラス座標では変数の分離が可能なラプラス方程式や、トーラス座標では変数の分離が不可能なヘルムホルツ方程式などです。典型的な例としては、導電性トーラスの電位と電場、または縮退したケースでは電流リングが挙げられます (Hulme 1982)。

あるいは、別の代替手段が用いられることもある（Andrews 2006）

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

どこ

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

再び、分離可能な方程式が得られます。変数の分離によって得られる特定の解は次のようになります。

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

ここで、各関数は次の線形結合です。

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.}$

T関数では再びトロイダル調和関数が使われますが  、引数ではなく となり、と の添え字が交換されることに注意してください。この方法は、荷電リング、無限半平面、または2つの平行平面など、境界条件が球面角 に依存しない状況で役立ちます。引数が双曲余弦のトロイダル調和関数と引数が双曲余弦のトロイダル調和関数を関連付ける恒等式については、ホイップルの公式を参照してください。 ${\displaystyle \coth \tau }$${\displaystyle \cosh \tau }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \theta }$

• バイアリー、W E. (1893)フーリエ級数と球面、円筒、楕円体の調和関数に関する初等論文、数理物理学の問題への応用、ギン＆カンパニー、pp. 264–266
• Arfken G (1970).物理学者のための数学的手法(第2版). フロリダ州オーランド: Academic Press. pp. 112–115.
• アンドリュース、マーク (2006)。「ラプラス方程式のトロイダル座標における代替分離と静電気学への応用」。Journal of Electrostatics。64 ( 10 ): 664–672。CiteSeerX 10.1.1.205.5658。doi :10.1016/ j.elstat.2005.11.005。 
• Hulme, A. (1982). 「電流リングの磁気スカラーポテンシャルに関するノート」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 92 (1): 183–191. Bibcode :1982MPCPS..92..183H. doi :10.1017/S0305004100059831.

• Morse PM, Feshbach H (1953).理論物理学の方法、第1部. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 666.
• Korn GA, Korn TM (1961).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 182. LCCN  59014456.
• Margenau H, Murphy GM (1956).物理と化学の数学. ニューヨーク: D. van Nostrand. pp. 190–192. LCCN  55010911.
• Moon PH、Spencer DE (1988)。「トロイダル座標 ( η、θ、ψ )」。座標系、微分方程式、およびその解を含む場の理論ハンドブック(第 2 版、第 3 版改訂)。ニューヨーク: Springer Verlag。pp. 112–115 (セクション IV、E4Ry) 。ISBN 978-0-387-02732-6。

• MathWorld によるトーラス座標の説明