非圧縮性流体

流体力学、あるいはより一般的には連続体力学において、非圧縮性流れとは、物質密度が時間とともに変化しない流れのことである。言い換えれば、非圧縮性流れの速度の発散はゼロである。特定の条件下では、圧縮性流体の流れを非圧縮性流れとして高い精度でモデル化することができる。

非圧縮性流れの基本的な要件は、密度、${\displaystyle \rho }$は、流れの速度uで移動する小さな要素体積dV内で一定です。数学的には、この制約は、非圧縮性の流れを保証するために、密度の物質微分(後述) がゼロでなければならないことを意味します。この制約を導入する前に、質量保存則を適用して必要な関係式を生成する必要があります。質量は、密度の体積積分によって計算されます。${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

質量保存則によれば、制御体積内の質量の時間微分は、その境界を横切る質量流量Jに等しくなければならない。数学的には、この制約を面積分で表すことができる。

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }$

上記の式における負の符号は、表面積ベクトルが外向きであるという慣例に従い、外向きの流れが時間に対して質量の減少をもたらすことを保証する。ここで、発散定理を用いて、フラックスと密度の時間偏微分との関係を導出することができる。

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

したがって：

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

非圧縮性の流れを保証するために、密度の時間に関する偏微分がゼロになる必要はありません。密度の時間に関する偏微分について話すとき、固定位置の制御体積内のこの変化率を指します。密度の時間に関する偏微分をゼロでないとすることで、非圧縮性流体に限定しているわけではありません。なぜなら、流体が制御体積を通過する際に、固定位置から観測される密度が変化する可能性があるからです。このアプローチは一般性を維持し、密度の時間に関する偏微分がゼロになることを要求しないことで、非圧縮性流体でも圧縮性の流れを起こすことができることを示しています。私たちが関心を持っているのは、流速uとともに移動する制御体積の密度の変化です。流量は、次の関数によって流速と関連付けられます。

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

つまり、質量保存の法則は以下を意味する。

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

前述の関係式（適切な積の法則を用いたもの）は連続の式として知られています。次に、密度の全微分に関する以下の関係式（連鎖律を適用したもの）が必要です。

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

したがって、流体と同じ速度で移動する制御体積（つまり、( dx / dt、dy / dt、dz / dt ) = u）を選択すると、この式は物質微分に簡略化されます。    

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

そして、上で導出した連続の式を用いると、次のことがわかる。

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

時間の経過に伴う密度の変化は、流体が圧縮または膨張した（あるいは、一定体積dVに含まれる質量が変化した）ことを意味するが、これは禁止されている。したがって、密度の物質微分がゼロになることを要求する必要があり、同様に（密度がゼロでない場合は）流速の発散もゼロにならなければならない。

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

そこで、質量保存の法則と、流体の移動する体積内の密度が一定であるという制約から出発して、非圧縮性流れに必要な同等の条件は、流速の発散がゼロになることであることが示された。

一部の分野では、流れの非圧縮性の尺度として、圧力変化による密度の変化が用いられる。これは圧縮率の観点から最もよく表現される。

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

圧縮率が許容範囲内に小さい場合、その流れは非圧縮性であるとみなされる。

非圧縮性流体は、ソレノイド流速場によって記述される。しかし、ソレノイド場は、発散がゼロであることに加えて、非ゼロの回転（すなわち、回転成分）を持つという追加的な意味合いも持つ。

そうでなければ、非圧縮性の流れの回転もゼロである場合、つまり非回転である場合、流れの速度場は実際にはラプラシアンになります。

先に定義したように、非圧縮性（等積）流とは、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

これは、

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

すなわち、密度の物質微分はゼロである。したがって、物質要素を追跡すると、その質量密度は一定のままである。物質微分は2つの項から構成されることに注意されたい。第1項${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$物質要素の密度が時間とともにどのように変化するかを表します。この項は非定常項とも呼ばれます。2 番目の項は、${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$これは、物質要素が一点から別の点へ移動する際の密度の変化を表します。これは移流項（スカラー場の対流項）です。流れが非圧縮性を持つとみなされるためには、これらの項の合計がゼロになる必要があります。

一方、均質で非圧縮性の材料とは、全体にわたって密度が一定である材料のことである。このような材料の場合、${\displaystyle \rho ={\text{定数}}}$これはつまり、

$\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$そして

${\displaystyle \nabla \rho =0}$独立して。

連続の式から、

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

したがって、均質な物質は常に非圧縮性の流れを経験するが、その逆は必ずしも真ではない。つまり、圧縮性物質は流れの中で圧縮を受けない可能性がある。

流体力学において、流れの速度の発散がゼロの場合、流れは非圧縮性であるとみなされます。ただし、モデル化される流れのシステムによっては、関連する定式化が使用される場合もあります。以下にいくつかの例を示します。

1. 非圧縮性流れ：${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$これは、一定密度（厳密な非圧縮性）または密度変動流のいずれかを仮定できます。密度変動流の場合、密度、圧力、温度場の小さな摂動を含む解を受け入れ、領域内の圧力成層を考慮に入れることができます。
2. 非弾性流：${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$主に大気科学の分野で用いられる非弾性制約は、非圧縮性流れの妥当性を成層密度および/または温度、圧力にまで拡張する。これにより、例えば気象学の分野で用いられる場合、熱力学的変数が下層大気に見られる「大気」の基本状態に緩和される。この条件は、さまざまな天体物理系にも適用できる。^{[ 1 ]}
3. 低マッハ数流れ、または擬似非圧縮性：${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$低マッハ数制約は、無次元量のスケール解析を用いて圧縮性オイラー方程式から導出できます。この制約は、このセクションの前の制約と同様に、音波の除去を可能にするだけでなく、密度や温度の大きな摂動も許容します。このような制約を用いた解が有効であるためには、流れがマッハ数制限（通常は0.3未満）内に留まるという仮定が必要です。繰り返しますが、すべての非圧縮性流れと同様に、圧力偏差は圧力基準状態と比較して小さくなければなりません。^{[ 2 ]}

これらの手法は流れに関して異なる仮定を置いているが、いずれも制約の一般的な形式を考慮に入れている。${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$一般的な流れ依存関数について${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$。

非圧縮性流体方程式の厳密な性質ゆえに、それらを解くための特別な数学的手法が考案されてきた。これらの手法には以下のようなものがある。

1. 投影法（近似投影法と厳密投影法の両方）
2. 人工圧縮技術（近似）
3. 圧縮性前処理

• ベルヌーイの原理
• オイラー方程式（流体力学）
• 等積流
• ナビエ・ストークス方程式