回転（数学）

ベクトル解析において、回転（ローターとも呼ばれる）は、 3次元ユークリッド空間におけるベクトル場の微小循環を表すベクトル演算子である。場のある点における回転は、長さと方向がそれぞれ最大循環の大きさと軸を表すベクトルで表される^{[ 1 ]}。場の回転は、形式的には場の各点における循環密度として定義される。

回転がゼロのベクトル場は非回転ベクトル場と呼ばれる。回転はベクトル場の微分の一形態である。微積分学の基本定理の対応する形式はストークスの定理であり、これはベクトル場の回転の面積分と、境界曲線に沿ったベクトル場の線積分を関連付けるものである。

表記curl Fは英語圏でより一般的です。世界の他の地域、特に 20 世紀の科学文献では、伝統的に代替表記rot Fが使用されており、これはそれが表す「回転速度」に由来します。混乱を避けるため、現代の著者は、次のようにdel (nabla) 演算子を使用した外積表記を使用する傾向があります。${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$^{[ 2 ]}また、回転（ローター）、発散、勾配演算子の関係も明らかにしています。

勾配や発散とは異なり、ベクトル解析で定式化された回転は、単純に他の次元に一般化することはできません。いくつかの一般化は可能ですが、幾何学的に定義されたベクトル場の回転が再びベクトル場となるのは、3次元の場合のみです。この欠点は、ベクトル解析の限界の直接的な結果です。一方、幾何解析のウェッジ演算子を介して反対称テンソル場として表現すると、回転はすべての次元に一般化されます。この状況は、3次元外積の場合と同様であり、実際、その関連性は表記法に反映されています。${\displaystyle \nabla \times }$カールのために。

「カール」という名称は、 1871年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって初めて提案されました^{[ 3 ]}が、この概念は、 1839年にジェームズ・マッカローによって光学場理論の構築において初めて使用されたようです^{[ 4 ] [ 5 ]。}

平面上の閉曲線Cに垂直で接する、位置rにおけるFの成分は、平面ベクトル領域を囲む。${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$。

右手の法則

線積分のベクトル方向に関する規約

親指は${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$そして指はCの向きに沿って曲がる

ベクトル場Fの回転はcurl Fと表記され、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$、またはrot Fは、 R ^3のC ^k個の関数をR ^3のC ^{k −1 個}の関数に写像する演算子であり、特に、連続微分可能な関数R ³ → R ³を連続関数R ³ → R ³に写像します。これは、以下に述べるように、いくつかの方法で定義できます。

ある点におけるベクトル場の回転を定義する一つの方法は、その点を通る様々な軸に沿った成分を通して暗黙的に定義することです。${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$は任意の単位ベクトルであり、方向に沿ったFの回転の成分である。${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$は、に垂直な平面における閉じた線積分の極限値として定義される。${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$積分経路は点の周りで無限に縮小されるため、囲まれた領域で分割されます。

より具体的には、回転は点pで次のように定義されます^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C(p)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$ ここで、線積分は点 p を含む領域Aの境界Cに沿って計算され、| A |は面積の大きさです。この式は、 Fの回転の方向成分を定義します。${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$Cで囲まれた微小曲面は${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$通常の. Cは右手の法則によって方向付けられます。

上記の式は、ある軸に沿ったベクトル場の回転の成分が、その軸に垂直な平面におけるベクトル場の循環の微小面積密度であることを意味する。この式は、あらかじめ正当なベクトル場を定義するものではない。なぜなら、様々な軸に関する個々の循環密度は、ベクトルの成分のように互いに関係しているとは限らないからである。それらが実際にこの正確な方法で互いに関係していることは、別途証明されなければならない。

この定義には、定義に対応する包括的な公式として、ケルビン・ストークスの定理が自然に当てはまります。この定理は、ベクトル場の回転の面積分を、表面の境界に沿って取られた上記の線積分と等しいと定めています。

関数Fの点における回転ベクトルを定義する別の方法は、点pを囲むシェルの周りのベクトル値面積分を、シェルがpの周りで無限に収縮したときの、囲まれた体積で割った極限値として明示的に定義することです。

より具体的には、回転はベクトル式によって定義される。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S}$$ここで、表面積分は体積Vの 境界Sに沿って計算され、| V |は体積の大きさであり、${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$表面SからS内のすべての点において垂直に外側を向いている。

この式において、被積分関数内の外積は、表面S上の各点におけるFの接線成分を表し、 Fの接線投影に対して直角に表面に沿って方向を向いています。この外積を表面全体で積分すると、大きさがSの周りのFの全体的な循環を表し、方向がこの循環に対して直角なベクトルが得られます。上記の式は、ある点におけるベクトル場の回転が、その点の周りのこの「循環ベクトル」の微小体積密度であることを示しています。

この定義には、ベクトル場の回転の体積積分を、体積の境界上で取られた上記の面積積分と等しくする、別のグローバルな公式（ケルビン・ストークスの定理に類似）が自然に当てはまります。

回転を定義する3つ目の方法は、微小球状場の回転ベクトルの2倍として解釈することを強調する。回転は、 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (O)=\lim _{\varepsilon \to 0}{3 \over {\text{Vol}}(B_{\varepsilon })}\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {F} (P)-\mathbf {F} (O))}{r^{2}}}\,dV,}$$ どこ${\displaystyle P}$そして${\displaystyle O}$はポイントです$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$、 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {P} -\mathbf {O} }$、 そして${\displaystyle B_{\varepsilon }}$半径の球を表す${\displaystyle \varepsilon }$中心は${\displaystyle O}$。

一方、瞬間回転ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$運動場を持つ剛体の${\displaystyle \mathbf {v} }$ボールごとに与えられます${\displaystyle B_{\varepsilon }}$積分平均の公式により $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {3}{2\,\mathrm {Vol} (B_{\varepsilon })}}\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} (O))}{r^{2}}}\,dV}$$ （したがって$\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} (O).}$）回転は、微小な球状体積の場の回転ベクトルの2倍として現れることがわかります。${\displaystyle \mathbf {F} }$（3次まで）運動場が等しい剛体として見なされる${\displaystyle \mathbf {F} }$。

上記３つの回転の定義は座標に依存しないが、曲線直交座標系、例えばデカルト座標系、球面座標系、円筒座標系、あるいは楕円座標系や放物線座標系における回転の「覚えやすい」定義がもう一つある。$${\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

各成分(curl F ) _kの式は、添え字 1、2、3 の各出現箇所を巡回置換で交換することによって得られます。1  →  2、2  →  3、3 →  1 (添え字は関連するインデックスを表します)。  

( x ₁ , x ₂ , x ₃ )がデカルト座標で、( u ₁ , u ₂ , u ₃ )が直交座標である 場合、$$${\displaystyle h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}$$$はu _i に対応する座標ベクトルの長さです。curl の残りの 2 つの成分は、インデックスの巡回置換3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1 によって生成されます。    

実際には、上述の2つの座標に依存しない定義はほとんど使用されません。なぜなら、ほぼすべての場合において、曲線座標を用いて回転演算子を適用することができ、より単純な表現が導出されているからです。

表記法${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$これは3次元外積との類似性に由来し、デカルト座標系では記憶術として役立ちます。${\displaystyle \nabla }$はベクトル微分演算子delとして扱われます。このような演算子を含む表記は、物理学や代数学でよく見られます。

3次元直交座標で展開（球面座標と円筒座標の表現については、Del in cylinder and spherical coordinatesを参照）、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$つまり、${\displaystyle \mathbf {F} }$で構成されている${\displaystyle [F_{x},F_{y},F_{z}]}$（添え字はベクトルの成分を示し、偏微分を示すものではありません。） $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$$ ここで、 i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の単位ベクトルである。これは次のように展開される。^{[ 8 ]}$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}}$$$

座標で表現されているものの、結果は座標軸の適切な回転に対しては不変であるが、鏡映に対しては反転する。

一般座標系では、回転は^{[ 1 ]で与えられる。}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}}$$ ここで、εはレヴィ・チヴィタテンソル、∇は共変微分を表す。${\displaystyle g}$は計量テンソルの行列式であり、アインシュタインの総和規約によれば、繰り返される添え字は総和されます。共変微分に関与するクリストッフェル記号の対称性により、この式は偏微分に簡略化されます。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}$$ ここで、 R _kは局所基底ベクトルである。同様に、外微分を用いると、回転は次のように表される。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }(\mathbf {F} ^{\flat }){\big )}\right)^{\sharp }}$$

ここで♭と♯は音楽的同型写像であり、★はホッジスター演算子です。この式は、任意の座標系におけるFの回転の計算方法と、回転を任意の向き付けられた3次元リーマン多様体に拡張する方法を示しています。これは向きの選択に依存するため、回転はカイラル演算です。言い換えれば、向きが反転すると、回転の方向も反転します。

このセクションでは、すべてのスカラーとベクトル場は滑らかであると仮定します。つまり、恒等式が意味をなすのに十分な次数で連続的に微分可能であるとします。

ベクトル場vとFの外積の回転は $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .}$$

ベクトル場vと∇演算子を入れ替えることで、ベクトル場とベクトル場の回転の外積が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$$ ここで、∇ _Fはファインマンの添え字表記であり、ベクトル場Fによる変動のみを考慮しています(つまり、この場合、vは空間的に一定であるとみなされます)。

もう1つの例は、ベクトル場の回転の回転です。一般座標では、 $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$$ そしてこの恒等式はFのベクトルラプラシアンを定義し、∇ ² Fと表記される。

勾配の回転は常にゼロベクトル場 である$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$$これは、回転の定義における反対称性と、 2階微分の対称性 から導かれる。

任意のベクトル場の回転の発散はゼロに等しい。 $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

φがスカラー値関数でFがベクトル場である 場合、$${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$$

ベクトル演算であるgrad、curl、div は、微分形式の文脈で最も容易に一般化できますが、これにはいくつかの手順が必要です。簡単に言うと、これらはそれぞれ 0 形式、1 形式、2 形式の導関数に対応します。回転としての curl の幾何学的解釈は、 3 次元の双ベクトル(2-ベクトル) を特別な直交リー代数と同一視することに対応します。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$無限小回転 (座標では、歪対称 3  ×  3 行列) の一方、回転をベクトルで表すことは 1-ベクトル (等価的に 2-ベクトル) と を同一視することに対応します。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$これらはすべて3次元空間である。

ベクトル場Vの発散がゼロの場合、 V = curl( W )となるようなベクトル場Wが存在する。これが、発散がゼロである磁場が、磁気ベクトルポテンシャルの回転として表される理由である。

Wがcurl( W ) = Vを満たすベクトル場である場合、任意の勾配ベクトル場grad( f )をWに加えると、別のベクトル場W + grad( f )が得られ、これもまたcurl( W + grad( f )) = Vとなります。これは、3 次元ベクトル場の逆回転は、未知の非回転場を除いて、ビオ・サバールの法則によって得られると要約できます。

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• コーン、グラニーノ・アーサー、テレサ・M・コーン（2000年1月）。科学者と技術者のための数学ハンドブック：参照と復習のための定義、定理、および公式。ニューヨーク：ドーバー出版。157 ～ 160ページ。ISBN  0-486-41147-8。
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus . New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5。

• 「カール」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 「多変数微積分」 . mathinsight.org . 2022年2月12日取得。
• 「発散と回転：マクスウェル方程式、流体の流れなどの言語」。2018年6月21日。 2021年11月24日にYouTube経由でオリジナルからアーカイブされました。