不適切な回転

幾何学において、不適切な回転^{[ 1 ]} (回転反射^{[ 2 ]} 、回転反射^[¹^]、回転反射^[³^]、または回転反転^[⁴^]とも呼ばれる) は、ユークリッド空間における等長変換であり、軸を中心とした回転と、その軸に垂直な平面での反射の組み合わせである。反射と反転はそれぞれ不適切な回転の特殊な場合である。不適切な回転はすべてアフィン変換であり、座標原点を固定する場合は線形変換である。^[⁵^] これは、幾何学的対称性、分子対称性、結晶学の文脈で対称操作として使用され、回転と反射の組み合わせによって変化しないオブジェクトは、不適切な回転対称性を持つと言われる。

回転反射と回転反転の対称操作、およびそれらに関連する対称要素には違いがあります。回転反射は一般的に個々の分子の対称性を記述するために使用され、n 回回転軸を中心とした 360°/n 回転に続いて、n 回回転軸に垂直な鏡面に対する反射として定義されます。回転反転は一般的に結晶の対称性を記述するために使用され、n 回回転軸を中心とした 360°/n 回転に続いて、原点を通る反転として定義されます。回転反射操作には回転反転の類似物があり、その逆も同様ですが、同じ次数の回転反射と回転反転は必ずしも同一である必要はありません。たとえば、6 回回転反転軸とその関連する対称操作は、6 回反射軸から生じるものとは異なります。

三次元

3 次元では、不適切な回転は、軸を中心とした回転と、軸上の点における反転の組み合わせとして等価に定義されます。 ^{[ 1 ]}このため、回転反転または回転反転とも呼ばれます。角度 θ による回転とそれに続く反射は、θ + 180°による回転とそれに続く反転 (反転点が反射面内にあると仮定) と同じ変換であるため、2 つの定義は等価です。どちらの定義でも、操作は可換です。

固定点が1つしかない3次元対称性は、必然的に不適切な回転である。^{[ 3 ]}

物体の不適切な回転は、その鏡像の回転を生じさせる。この軸は回転反射軸と呼ばれる。^{[ 6 ]}反射前または反射後の回転角が 360°/ n ( n は偶数でなければならない)である場合、これはn重不適切な回転と呼ばれる。 ^[⁶^]個々の不適切な回転に名前を付けるための異なるシステムがいくつかあります。

シェーンフリース記法では、 n は偶数でなければならない記号S _n (ドイツ語でSpiegel、鏡を意味する) は、n回不適切回転によって生成される対称群を表します。たとえば、対称操作S _{6は、(360°/6)=60° の回転と鏡面反射の組み合わせです。(これは、}対称群の同じ記法と混同しないでください)。^[⁶^]
ヘルマン・モーガン記法では、記号nはn回の回転反転、つまり 360°/ nの回転角と反転を表します。n が偶数の場合は4 で割り切れる必要があります。（2 は単なる鏡映であり、通常は「m」（鏡）で表されます。）nが奇数の場合は、2 n回不適切回転（または回転反射）に対応します。
S ₂_nのCoxeter表記は[2 n ⁺ ,2 ⁺ ]であり、[2 n ,2]の指数 4 の部分群として、 3 つの反射の積として生成されます。
オービフォールド表記はn × で、次数は 2 nです。
S ₂からS ₂₀の部分群。C 1_は恒等群。S 2_は中心反転。C n_は巡回群。

サブグループ

S ₂_nの直部分群はC n_であり、位数はn、指数は2 で、回転反射生成子が 2 回適用されている。
nが奇数の場合、S _{2 n}には反転が含まれており、C _iまたはS ₂と表記されます。nが奇数の場合、S _{2 n}_は直積です。S 2 _n = C _n × S ₂となります。
任意のnに対して、奇数p がnの約数であるならば、S _{2 n / p}はS _{2 n}の部分群であり、指数はp である。例えば、S _4はS ₁₂の部分群であり、指数は 3 である。

間接的な等長変換として

より広い意味では、不適切な回転は、任意の間接等長変換、すなわちE (3)\E ⁺ (3) の要素として定義できます。したがって、平面内の純粋な反射であったり、すべり面を持つこともあります。間接等長変換は、行列式が −1 である直交行列を持つアフィン変換です。

適切な回転とは、通常の回転のことです。より広い意味では、適切な回転は直接等長変換、つまり E ⁺ (3)の要素として定義されます。また、恒等変換、軸に沿った平行移動を伴う回転、または純粋な平行移動である場合もあります。直接等長変換とは、行列式が 1 である直交行列を持つアフィン変換のことです。

狭義においても広義においても、2つの不適切回転の合成は適切回転であり、不適切回転と適切回転の合成は不適切回転である。

物理システム

物理システムの対称性を不適切な回転の下で研究する場合（例えば、システムが鏡面対称面を持つ場合）、ベクトルと擬似ベクトル（スカラーと擬似スカラー、一般にテンソルと擬似テンソルも同様）を区別することが重要です。なぜなら、後者は適切な回転と不適切な回転の下で異なる変換を行うからです（3次元では、擬似ベクトルは反転に対して不変です）。

参考文献

1 2 3 Morawiec, Adam (2004), Orientations and Rotations: Computations in Crystallographic Textures , Springer, p. 7, ISBN 978-3-540-40734-8。
↑ Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Inorganic Chemistry (5 ed.), Pearson, p. 78
1 2キンジー、L. クリスティン、ムーア、テレサ E. (2002)、『対称性、形状、表面：幾何学を通して学ぶ数学入門』、スプリンガー、p. 267、ISBN 978-1-930190-09-2。
↑クライン、フィルポッツ (2013).地球の物質. ケンブリッジ大学出版局. pp. 89–90 . ISBN 978-0-521-14521-3。
↑サロモン、デイビッド (1999)、コンピュータグラフィックスと幾何モデリング、スプリンガー、p. 84、ISBN 978-0-387-98682-1。
1 2 3ビショップ、デイビッド M. (1993)、群論と化学、クーリエ・ドーバー出版、p. 13、ISBN 978-0-486-67355-4。

[Morawiec-1] 1 2 3 Morawiec, Adam (2004), Orientations and Rotations: Computations in Crystallographic Textures , Springer, p. 7, ISBN 978-3-540-40734-8。

[2] Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Inorganic Chemistry (5 ed.), Pearson, p. 78

[sss-3] 1 2キンジー、L. クリスティン、ムーア、テレサ E. (2002)、『対称性、形状、表面：幾何学を通して学ぶ数学入門』、スプリンガー、p. 267、ISBN 978-1-930190-09-2。

[4] クライン、フィルポッツ (2013).地球の物質. ケンブリッジ大学出版局. pp. 89–90 . ISBN 978-0-521-14521-3。

[5] サロモン、デイビッド (1999)、コンピュータグラフィックスと幾何モデリング、スプリンガー、p. 84、ISBN 978-0-387-98682-1。

[Bishop-6] 1 2 3ビショップ、デイビッド M. (1993)、群論と化学、クーリエ・ドーバー出版、p. 13、ISBN 978-0-486-67355-4。

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不適切な回転

三次元

サブグループ

間接的な等長変換として

物理システム

関連項目

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関連するトピック

幾何学

ユークリッド空間

長変換

回転