ペンローズ図

理論物理学において、ペンローズ図（数理物理学者ロジャー・ペンローズにちなんで名付けられた）は、無限大の共形的取り扱いを通じて時空内の異なる点間の因果関係を捉えた2 次元の図です。これは、垂直次元が時間、水平次元が空間次元を表す特殊相対性理論のミンコフスキー図の拡張（一般相対性理論などの曲がった時空に適したもの）です。この設計を使用すると、すべての光線は 45° の経路をとります。局所的には、ペンローズ図上の計量は、描かれた時空の計量と共形的に等価です。共形因子は、無限時空全体が有限サイズのペンローズ図に変換され、図の境界上に無限大が存在するように選択されます。球対称時空では、ペンローズ図のすべての点は 2 次元球に対応します。 ${\displaystyle (c=1)}$${\displaystyle (\theta ,\phi )}$

ペンローズ図は、局所的に漸近的に平坦な時空に対する他の時空図と同じ基本的な座標ベクトル系を共有しているが、遠方の時空を、より遠くにある距離を縮小または「トリトゥランド」することによって表すシステムを導入している。したがって、一定の時間の直線と一定の空間座標の直線は双曲線になり、図の角の点で収束するように見える。これらの点と境界は、1963年にペンローズによって初めて導入された時空の共形無限大を表す。 ^[1]

ペンローズ図は、より正確には（あまり頻繁ではないが）ペンローズ・カーター図（またはカーター・ペンローズ図）^{[2]と呼ばれ、これを最初に使用した研究者である}ブランドン・カーターとロジャー・ペンローズの両者に敬意を表している。これらは共形図、または単に時空図とも呼ばれる（ただし後者はミンコフスキー図を指すこともある）。

45° の角度で引かれた 2 本の線は、対応する 2 本の光線が実際の時空で交差する場合にのみ、図で交差します。したがって、ペンローズ図は、観察可能な時空領域の簡潔な図解として使用できます。ペンローズ図の対角境界線は、「ヌル無限大」と呼ばれる領域、または光線が終わらなければならない特異点に対応します。したがって、ペンローズ図は、時空と特異点の漸近特性の研究にも役立ちます。無限の静的ミンコフスキー宇宙座標は、ペンローズ座標と次の関係にあります。 ${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle \tan(u\pm v)=x\pm t}$

ペンローズ図の角は、空間的および時間的共形無限大を表し、原点から来ています。 ${\displaystyle \pi /2}$

ペンローズ図は、ブラックホールを含む時空の因果構造を説明するためによく使用されます。シュワルツシルト解の特異点は、従来の時空図に見られる時間的境界とは異なり、空間的境界によって表されます。これは、ブラックホールの地平線内で時間的座標と空間的座標が入れ替わるためです (地平線内では空間が一方向であり、地平線の外側では時間が一方向であるため)。特異点は空間的境界によって表され、物体が地平線を通過すると、回避行動をとろうとしても必然的に特異点にぶつかることを明確にします。

ペンローズ図は、最大限に拡張されたシュワルツシルトブラックホール解において、2つの別々の宇宙を接続する仮想的なアインシュタイン・ローゼン橋を説明するためによく使用されます。ペンローズ図の前身は、クラスカル・セケレス図でした。(ペンローズ図は、クラスカルとセケレスの図に、ブラックホールから遠く離れた平坦な時空領域の共形クランチングを追加したものです。) これらは、事象の地平線を45°の角度で配向された過去と未来の地平線に揃える方法(シュワルツシルト半径から平坦な時空に戻るには光よりも速く移動する必要があるため)、および特異点を過去と未来の水平方向の線に分割する方法(特異点がブラックホールに入ると未来へのすべての経路を「遮断」するため)を導入しました。

アインシュタイン・ローゼン橋は急速に閉じるため（「未来」の特異点を形成）、2 つの漸近的に平坦な外部領域の間を通過するには光速を超える速度が必要となり、したがって通過は不可能になります。さらに、高度に青方偏移した光線（ブルーシートと呼ばれる）により、誰も通過できなくなります。

最大限に拡張された解は、崩壊した星の表面が過去志向のホワイトホール幾何学と他の宇宙を含む解のセクターを置き換えるため、星の崩壊から作成された典型的なブラックホールを記述しません。

静的なブラックホールの基本的な空間的通路は通過できないが、回転および/または電荷を帯びたブラックホールを表す解のペンローズ図は、これらの解の内部事象の地平線（未来にある）と垂直方向の特異点を示し、これが時間のような「ワームホール」と呼ばれるものを開き、未来の宇宙への通路を可能にする。回転するブラックホールの場合、リング状の特異点（図では依然として線として描かれている）を通って入る「負の」宇宙もあり、回転軸の近くからブラックホールに入ると、この特異点を通過できる。しかし、これらの解の特徴は摂動下では安定せず、このようなブラックホールの内部領域の現実的な説明とは考えられていない。内部の本当の特徴は未だに未解決の問題である。

• 因果関係
• 因果構造
• 共形周期宇宙論
• ワイル変換

• ディンヴェルノ、レイ（1992年）。アインシュタインの相対性理論入門（復刻版）。オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-859686-8。共形無限の概念とその例についての非常に読みやすい入門書については、第 17 章(および後続のさまざまなセクション)を参照してください。
• Frauendiener, Jörg (2004). 「共形無限大」. Living Reviews in Relativity . 7 (1): 1. Bibcode :2004LRR.....7....1F. doi : 10.12942/lrr-2004-1 . ISSN  2367-3613. PMC 5256109.  PMID 28179863  .
• カーター、ブランドン (1966)。「アインシュタイン方程式のカーの解の対称軸の完全な解析的拡張」。フィジカルレビュー。141 (4): 1242–1247。Bibcode :1966PhRv..141.1242C。doi : 10.1103 /PhysRev.141.1242。ISSN 0031-899X  。 オンライン版も参照してください。2011-09-27にWayback Machineにアーカイブされています（アクセスするにはサブスクリプションが必要です）
• ホーキング、スティーブン W.; エリス、ジョージ FR; ホーキング、SW & エリス、GFR (1973)。『時空の大規模構造』。ケンブリッジ数理物理学モノグラフ (第 21 版)。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-09906-6。ペンローズ図 (ホーキングとエリスが使用した用語) に関する多くの例を交えた非常に明確な説明については、第 5 章を参照してください。
• カウフマン、ウィリアム J. III (1977)。一般相対性理論の宇宙の最前線。リトルブラウン＆カンパニーISBN 978-0-316-48341-4。シンプルなミンコフスキー図からクラスカル-シェケレス図、ペンローズ図への移行を詳細に解説し、ワームホールに関する事実と虚構を詳細に解説しています。わかりやすい図解が満載です。それほど複雑ではありませんが、非常に参考になる本としては、Kaufmann, William J. (1979). Black hole and warped spacetime があります。サンフランシスコ: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1152-0。

• 等角図 – 等角図入門、Pau Amaro Seoane によるミニ講義シリーズ
• ウィキメディア・コモンズのペンローズ図に関連するメディア