画像料金の方法

鏡像電荷法の最も単純な例は、電荷qを持つ点電荷がに位置する場合である。${\displaystyle (0,0,a)}$無限に接地された(つまり:${\displaystyle V=0}$) xy平面内の導体板。この問題を単純化するために、等電位板を電荷 −q で置き換えることができます。${\displaystyle (0,0,-a)}$この配置では、どの点においても、${\displaystyle z>0}$（すなわち、導体板の上）であり、板に沿った電位がゼロでなければならないという境界条件を満たします。この状況は元の設定と等価であるため、実電荷にかかる力は、 2 つの点電荷間のクーロンの法則を使用して計算できます。^{[ 2 ]}

z軸上の+ aにある+ qと-aにある-qの2つの点電荷による空間内の任意の点における電位は、円筒座標で次のように表される。

${\displaystyle V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(za\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,}$

したがって、接地された平面上の表面電荷密度は次のように与えられる。

${\displaystyle \sigma =-\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}}$

さらに、導体平面上に誘起される総電荷は、平面全体にわたる電荷密度の積分となるため、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}$

平面上に誘起される総電荷は、単純に −q となります。これは、ガウスの法則からも確認できます。双極子場は遠距離では距離の3乗に反比例して減少するため、無限に大きな球体を通過する場の総束はゼロになります。

電場は重ね合わせの原理を満たすため、複数の点電荷の下にある導体平面は、それぞれの電荷の鏡像で置き換えることができ、他の変更は必要ありません。

電気双極子モーメント pの画像${\displaystyle (0,0,a)}$xy平面内の無限に接地された導体平面の上には双極子モーメントが存在する。${\displaystyle (0,0,-a)}$大きさと方向が等しく、方位角方向にπだけ回転した双極子モーメント。つまり、デカルト座標成分を持つ双極子モーメント。${\displaystyle (p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$画像には双極子モーメントが存在します${\displaystyle (-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$双極子はz方向に力を受け、その力は次のように表される。

${\displaystyle F=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

そして、双極子と導体面に垂直な面内のトルク、

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta }$

鏡像法は球にも適用できる。^{[ 4 ]}実際、平面上の鏡像電荷の場合は、球の鏡像の場合の特殊なケースである。図を参照すると、原点を中心とする半径Rの接地された球の内部にある点電荷によって生じる電位を求めたい。${\displaystyle \mathbf {p} }$（反対の場合、つまり球の外側の電荷による球の外側の電位についても、同様の方法が適用されます。）図では、これは緑色の点で表されています。この点の点電荷をqとします。接地された球に対するこの電荷の像は赤色で示されています。この電荷はq ′ = − qR / pの電荷を持ち、球の中心とベクトル位置にある内部電荷を結ぶ線上にあります。${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$半径ベクトルで指定された点における電位は、${\displaystyle \mathbf {r} }$両方の電荷のみによる電位は、電位の合計によって与えられる。

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}}$

右端の式に掛け算をすると次のようになります。

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}$

そして、球の表面（つまりr = Rのとき）では電位がゼロになることがわかります。したがって、球内部の電位は、2 つの電荷の電位に関する上記の式で与えられます。この電位は球の外側では有効ではありません。なぜなら、鏡像電荷は実際には存在せず、むしろ球の内部電荷によって球に誘起される表面電荷密度を「代用」しているからです。${\displaystyle \mathbf {p} }$接地された球体の外部電位は、球体の外部電荷分布のみによって決定され、球体内部の電荷分布とは無関係です。簡略化のため（一般性を失うことなく）、内部電荷がz軸上にあると仮定すると、誘導電荷密度は極角θの関数となり 、次式で与えられます。

${\displaystyle \sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|_{r=R}={\frac {-q\left(R^{2}-p^{2}\right)}{4\pi R\left(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta \right)^{3/2}}}}$

球体全体の電荷は、すべての角度について積分することで求めることができる。

${\displaystyle Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q}$

なお、この方法では逆数の問題も解決できます。ベクトル位置に電荷qがある場合${\displaystyle \mathbf {p} }$半径Rの接地された球の外側では、球の外側の電位は、球内部の電荷とその鏡像電荷の電位の和によって与えられます。最初のケースと同様に、鏡像電荷は − qR / pの電荷を持ち、ベクトル位置に配置されます。${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$球内部の電位は、球内部の真の電荷分布のみに依存します。最初のケースとは異なり、積分値は − qR / pとなります。

電気点双極子のイメージはもう少し複雑です。双極子を小さな距離で隔てられた2つの大きな電荷として描くと、双極子のイメージは上記の手順で電荷が変更されるだけでなく、それらの間の距離も変更されます。上記の手順に従うと、双極子モーメントを持つ双極子が見つかります。${\displaystyle M}$ベクトル位置で${\displaystyle \mathbf {p} }$半径Rの球の内部にあるものは、ベクトル位置にある画像を持つ。${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$（つまり、単純電荷の場合と同じ）そして、以下の単純電荷を持つことになります。

${\displaystyle q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}}$

そして双極子モーメントは次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}$

• ジャクソン、ジョン・D. (1962).古典電磁気学.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ.
• ジーンズ、ジェームズ・H. (1908).電気と磁気の数学理論.ケンブリッジ大学出版局.