ジューコフスキー変換

応用数学において、ジュコフスキー変換（Joukovsky、Joukowski、Zhukovskyと表記されることもある）は、歴史的に翼型設計の原理を理解するために使用されてきた等角写像である。 1910年にこれを発表したニコライ・ジュコフスキーにちなんで名付けられた。 ^[1]

変換は

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

ここで、は新しい空間の複素変数であり、は元の空間の複素変数です。 ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$

航空力学では、この変換は、ジューコフスキー翼型と呼ばれる翼型のクラスの周りの2 次元の潜在的流れを解くために使用されます。ジューコフスキー翼型は、ジューコフスキー変換を - 平面の円に適用することで、複素平面( - 平面)に生成されます。円の中心の座標は変数であり、これを変更すると、結果として得られる翼型の形状が変わります。円は、点(導関数が 0 である点) を囲み、点と交差します。これは、円の半径を変更することで、 許容される任意の中心位置に対して実現できます。${\displaystyle z}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta =-1}$${\displaystyle \zeta =1.}$${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$

ジューコフスキー翼型は、後縁にカスプを持っています。密接に関連した等角写像であるカルマン・トレフツ変換は、後縁角度を制御することで、より広いクラスのカルマン・トレフツ翼型を生成します。後縁角度をゼロに指定すると、カルマン・トレフツ変換はジューコフスキー変換に簡約されます。

任意の複素数のジューコフスキー変換は次のようになります。 ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

したがって、実数部 ( ) と虚数部 ( ) は次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

単位円上のすべての複素数の変換は特別なケースです。

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

これにより

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

したがって、実数部は となり、虚数部は となります。 ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

したがって、複素単位円は、-2 から +2 までの実数直線上の平らな板にマッピングされます。

他の円からの変換により、さまざまな翼型の形状が作成されます。

円筒周りのポテンシャル流の解は解析的でよく知られています。それは、一様流、二重流、渦の重ね合わせです。

平面上の円周上の複素共役速度は ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$${\displaystyle \zeta }$$${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

どこ

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$円の中心の複素座標です。
• ${\displaystyle V_{\infty }}$流体の自由流速度であり、

${\displaystyle \alpha }$は自由流に対する翼の 迎え角であり、

• ${\displaystyle R}$は円の半径であり、次のように計算されます。${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$は循環であり、クッタ条件を使用して求められ、この場合は次のように簡約される。$${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

平面における翼の周りの複素速度は、等角写像の規則とジューコフスキー変換を用いると、 ${\displaystyle W}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

ここで、 はそれぞれおよび方向の速度成分です(およびは実数値)。この速度から、圧力係数やスパンの単位あたりの揚力など、流れの他の重要な特性を計算することができます。 ${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z=x+iy,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

カルマン・トレフツ変換は、ジュウコフスキー変換と密接に関連する等角写像である。ジュウコフスキー翼型は尖った後縁を持つが、カルマン・トレフツ翼型（これは、ジュウコフスキー翼型の定義に類似して、平面上の円を物理的な平面に変換した結果である）は、翼型の上部表面と下部表面の間の後縁にゼロ以外の角度を持つ。したがって、カルマン・トレフツ変換には、後縁角度という追加のパラメータが必要である。この変換は^{[2] [3]である。}${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha .}$

ここで、は、の位置を決定する実定数であり、2よりわずかに小さい。後縁における上部翼面と下部翼面の接線間の角度は、次のように関係している^[2]。${\displaystyle b}$${\displaystyle dz/d\zeta =0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

速度場を計算するために必要な 導関数は、${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

まず、上記のように、ジュコフスキー変換に 2 を加算して減算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

左辺と右辺を割ると

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

右辺には、ポテンシャルフロー理論の単純な2乗法則が（係数として）含まれており、後縁付近で適用されます。等角写像理論によれば、この2次写像は、-空間の半平面を半無限直線の周りのポテンシャルフローに変えると言われています。さらに、2未満のべき乗の値は、有限角度の周りの流れをもたらします。したがって、ジューコフスキー変換のべき乗を2よりわずかに小さい値に変更すると、結果は尖端ではなく有限角度になります。前の式の2をに置き換えると、 ^{[2]が得られます。}${\displaystyle \zeta =+1.}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

これはカルマン・トレフツ変換です。を解くと、方程式Aの形になります。 ${\displaystyle z}$

1943年、薛申詢は、パラメータと傾斜角に依存する半径の円を対称翼型に変換する方法を発表しました。^[4]${\displaystyle a}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

パラメータは、ゼロの場合は平板、無限大の場合は円を生成します。つまり、翼の厚さに対応します。さらに、円筒の半径。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle a=1+\epsilon }$

• ジュコウスキー変換 NASA アプレット
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