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5 リミット チューニング、5 リミット チューニング、または5 素数リミット チューニング( 5 奇数リミット チューニングと混同しないでください) は、各音の周波数を、与えられた基準音 (ベース ノート) の周波数に 2、3、または 5 (5 以下に制限された素数) の整数乗の積を掛けることによって得る楽器のチューニングシステムです。たとえば、2 −3 ·3 1 ·5 1 = 15/8などです。
2 のべき乗は、オクターブによる音程の動きを表します。3 のべき乗は、完全 5 度 (プラス 1 オクターブ、1/2 を掛けることで削除可能、つまり 2 −1 ) による音程の動きを表します。5 のべき乗は、長 3 度 (プラス 2 オクターブ、1/4 を掛けることで削除可能、つまり 2 −2 ) による音程を表します。したがって、5 限界調律は、3 つの基本的な純粋調律音程 (オクターブ、3 度、5 度) の積み重ねによって完全に構成されます。協和音の知覚は倍音列の低い数に関連しているようで、5 限界調律は 3 つの最も低い素数に依存しているため、5 限界調律は非常に協和的なハーモニーを生み出すことができるはずです。したがって、5 限界調律は純正律を得る方法と考えられています。
5リミットチューニングで使用可能な音程、音高クラス、音高、調の中心、和音、転調の数は無限です。なぜなら、どの素数の（ゼロ以外の整数）べき乗も、他の素数のべき乗と等しくならないため、使用可能な音程は3次元格子（各素数につき1次元、つまり1方向）で無限に広がっていると考えることができるからです。オクターブを無視すれば、音高クラス（音名）の2次元格子が2方向に無限に広がっていると考えることができます。
しかし、アコースティック楽器用に設計されたほとんどの調律システムは、実用的な理由から音高の総数を制限しています。また、固定された音高クラスのオクターブ移調を表すため、各オクターブに同じ数の音高が含まれるのが一般的です（ただし、常にそうとは限りません）。この場合、調律システムは、1オクターブあたり一定数の音高を持つオクターブ繰り返しスケールと考えることもできます。
特定の5リミットチューニングシステムにおける任意の音高の周波数は、チューニングシステム用に選択された固定基準音高（A440、A442、A432、C256など）の周波数に、音高クラスを決定するための3と5のべき乗の組み合わせと、オクターブを決定するための2のべき乗の組み合わせを掛けることによって得られます。
例えば、基準音がC256（つまり、1秒間に256サイクルで、これをCと呼ぶことにする）である5リミットチューニングシステムの場合、f C = 256 Hz、つまり「Cの周波数は256 Hzに等しい」となります。このCより上のEを定義する方法はいくつかあります。3度を用いると、5倍を1つ上げて2倍を下げることで周波数比5/4に達するか、5度を用いると、3倍を4つ上げて2倍を6つ下げることで81/64に達することができます。周波数は次のようになります。
または
7つの音高クラス（1オクターブあたり7つの音）に限定すると仮定すると、5リミットチューニングを使用して馴染みのある全音階をチューニングする方法はいくつかあり、いずれの方法でもほとんどの三和音は理想的なチューニングになり、可能な限り協和的で安定したものになりますが、一部の三和音は不安定な音程構成のままになります。
ある音階の主要音は、その周波数の比が比較的小さな整数になるように調律されています。例えば、ハ長調では、CからG（完全5度）までの周波数の比は3/2ですが、CからF（下降完全5度）までの周波数の比は2/3、上昇するにつれて4/3（完全4度）となり、長3度であるCからEまでの周波数の比は5/4となります。
純正全音階は次のように導き出すことができる。ハ長調を例にとると、下属音のFと属音のGは主音のCから両側に5度（3:2）離れており、和音FAC、CEG、GBDは純正長三和音（周波数比4:5:6）であると仮定する。
これはプトレマイオスの強烈な全音階として知られています。ここで「自然」と題された行は、共通の自然数のリストを使用してこれらの比率をすべて表しています（上の行にその分母の最小公倍数を掛けることによって）。言い換えれば、倍音列の中でこの1オクターブの音階形状が最も低い出現は、倍音24から48までのオクターブに含まれる24の倍音のうち7つの部分集合として現れます。
3つの長三度は正しく（5:4）、3つの短三度は予想通り（6:5）ですが、DからFは半音またはピタゴラス短三度（オクターブ調整された3つの下降完全五度に相当）であり、純正律（6:5）短三度よりもシントニックコンマが1つ狭くなっています。
その結果、EGBとACEが単なる短三和音（10:12:15）であるスケールが得られますが、DFA三和音は私たちが期待するような短調の形や音ではなく、（27:32:40）となります。さらに、BDF三和音は、 2つの6:5短三度を重ねることで得られる減三和音（25:30:36）ではなく、（45:54:64）となります。[ 1 ] [ 2 ]
基本的な段階的なスケール間隔が現れることが分かる。
これらは組み合わさってより大きな間隔を形成することもあります（その他にも）：
別の方法としては、次のとおりです。イ短調の相対短調で考え、D、A、Eを五度音程の骨格として使用することで、コードDFA、ACE、EGBは単なる短三和音（10:12:15）であると主張できます。
これを以前の音階と比較すると、連続する5組の音符については音程の比率が同じままですが、1つの音符Dでは音程CDとDEの比率が入れ替わっていることがわかります。
3つの長三和音は依然として5:4で、3つの短三和音は依然として6:5で、4つ目は32:27ですが、32:27なのはDFではなくBDです。FACとCEGは依然として長三和音（4:5:6）を形成しますが、GBDは（108:135:160）、BDFは（135:160:192）になっています。
Dを下げる代わりにAを上げるなど、他の可能性もあるが、どの調整も他の部分に悪影響を及ぼす。
明らかに、7つの音高に限定すると、長三和音の場合は(4:5:6)、短三和音の場合は(10:12:15)、減三和音の場合は(25:30:36)という構成で、7つの全音階的三和音すべてを同時に得ることは不可能です。
これは、望ましいハーモニーを正確に演奏するためには、音高の数を増やす必要があることを示している。
5リミットチューニングで12音音階を構築するには、まず15個の純正律音程を含む表を作成することから始めます。
最初の行と最初の列に示されている係数は、それぞれ3と5のべき乗です（例：1/9 = 3⁻² ）。色は、ほぼ同じ音高を持つ異名同音の音のペアを示しています。比率はすべて、この図の中央にあるC（この音階の基準音）を基準として表されています。比率は2つのステップで計算されます。
2 番目のステップで使用される 2 のべき乗は、上昇オクターブまたは下降オクターブとして解釈できることに注意してください。たとえば、音の周波数を 2 6倍することは、6 オクターブ上げることを意味します。さらに、表の各行は5 度のシーケンス(右に上昇)、各列は長 3 度のシーケンス(上方に上昇) と考えることができます。たとえば、表の最初の行には、D から A への上昇 5 度と、A から E への別の上昇 5 度 (下降オクターブが続く) があります。これは、同じ比率を計算するための別の同等の方法を示唆しています。たとえば、C から始めて、表で 1 つのセルを左に、1 つのセルを上に移動することで A (5/3 の比率) を得ることができます。これは、1 つの 5 度 (2/3) だけ下降し、1 つの長 3 度 (5/4) だけ上昇することを意味します。
これはCより低い音なので、目的の比率範囲（1/1から2/1）に収まるように、1オクターブ上に移動する必要があります。
12音音階は、異名同音の音のペアごとに1つの音を削除することによって得られます。これは少なくとも3つの方法で実行できますが、共通しているのは、Cを基点とするピタゴラス音階や1/4コンマ平均音階でも有効な慣例に従ってG ♭を削除することです。G♭は主音Cの半オクターブ近くにある減5度であり、不調和な音程であることに注意してください。また、その比率は音階のすべての音の中で分子と分母に最大の値を持つため、最も調和が悪く、これらはすべて避けるべき理由です。 最初の戦略は、ここでは操作的に対称音階1と表記しますが、表の左上隅と右下隅の音を削除するように選択することからなります。2番目の戦略は、対称音階2と表記され、2行目（「 1 」とラベル付けされている）の最初と最後のセルの音を破棄することからなります。 3つ目は非対称スケールと呼ばれ、最初の列（「1/9」とラベル付けされている列）を破棄することによって行われます。結果として得られる12音スケールは以下のとおりです。
第1音階と第2音階では、B ♭とDは互いに完全に反転しています。しかし、第3音階ではそうではありません。これが、これら2つの音階が対称的であると見なされる理由です（ただし、G ♭を除去すると、他の調律システムで生成されたものも含め、12音音階すべてがわずかに非対称になります）。
非対称システムは、設計上、最も「公正な」比率（より小さな数値を含む比率）、9つの完全5度（係数3/2）、8つの完全長3度（係数5/4）を持つという利点がありますが、6つの完全短3度（係数6/5）も含まれています。しかし、2つの不完全5度（例えば、DからAは3/2ではなく40/27）と3つの不完全短3度（例えば、DからFは6/5ではなく32/27）も含まれており、事実上、転調できるキーの範囲が狭く制限されます。主音C、属音G、下属音Fのコードは完全であり、D ♭、A ♭、E ♭、および短調コードFm、Cm、Gm、Am、Bm、Emも同様ですが、Dmは完全ではありません。
非対称システムの欠点は、対称システムの場合の12個のウルフ間隔ではなく、 14個のウルフ間隔を生成することである。
最初の対称音階のB ♭は、他の音階のB ♭とはシントニック・コンマ分だけ異なり、21セントを超えている。平均律音階では、すべての音程の周波数比を同じにすることで、この差は解消される。
非対称音階の構成は図に示されています。各ブロックの高さは、構成周波数比2/1、3/2、5/4をセント単位で表しています。繰り返し現れるパターンが見られます。例えば、多くの場合、次の音符は5/4ブロックと3/2ブロックを2/1ブロックに置き換えることで作成され、16/15の比率を表しています。
周波数係数2/1、3/2、5/4ではなく、2、3、5を使用して作成された同様の画像については、こちらを参照してください。
これらの音階を構成するために使用される純正比は、他の音階の音程の協和性を評価するための基準として使用できます（たとえば、この比較表を参照してください）。ただし、純正律を得る方法は5リミット調律だけではありません。より「純正」な比、または平均律の等価値に近い値を使用して純正音程を構成することも可能です。たとえば、短7度（7/4）とその転回形である長2度（8/7）に対して、より純正で、結果としてより協和的な音程を得るために、 7リミット調律が使用されることがあります。純粋または厳密に純正な音程または比と呼ばれるこれらの基準比のリストを以下に示します。
黄色で強調表示されているセルは、同じ行の着色されていないセルよりも間隔がより均等であることを示しています。シアンで強調表示されているセルは、さらに均等な比率であることを示しています。
トリトーン（増4度と減5度）の比率45/32と64/45は、すべての文脈で厳密に正弦とみなされるわけではないが、上記の5リミット調律スケールでは可能な限り正弦であることに注意してください。拡張非対称5リミットスケール（下記参照）は、両方のトリトーンに対してわずかに正弦な比率（25/18と36/25）を提供しますが、その純粋性も議論の的となっています。7リミット調律では、可能な限り正弦な比率、すなわち7/5（約582.512セント、七分音トリトーンとしても知られる）と10/7（約617.488セント）が実現します。これらの比率は、17リミットチューニングで得られる17/12（約603.000セント）や24/17（約597.000セント）よりも協和的ですが、後者も平均律の値である600.000セントに近いため、かなり一般的です。
前述の7/4音程（約968.826セント）は、七分短七度、または和声七度とも呼ばれ、音楽理論の歴史を通じて議論の的となってきた。これは平均律短七度よりも31セント低い音程である。
上記の表は、各音符の基準音に対する周波数比のみを示しています。しかし、音程はどの音符からでも開始できるため、各音程タイプごとに12種類の音程を定義できます。つまり、 12種類のユニゾン、12種類の半音、12種類の2半音間隔などです。
5リミット調律では、ユニゾンとオクターブを除く各音程タイプに3つまたは4つの異なるサイズがあります。これは純正律を追求する代償です。右の表は、非対称音階の周波数比を示しており、偏差は色分けされ、ウルフ音程に対応する偏差は紫色で示されています。偏差が生じるのは、音が4つの異なる半音を決定するためです。
対照的に、平均律の半音階では、すべての半音は
また、どの種類の音程も同じ大きさであるが、ユニゾンとオクターブを除いて、どれも正しく調律されていない。
他の調律システムでは、コンマは1分間隔として定義され、2種類の半音（全音階的半音と半音階的半音、短2度m2、または増1度A1とも呼ばれる）の差に等しい。しかし、この場合は4種類の半音（2つのA1、S1とS2、および2つのm2、S3とS4）が生成され、 12種類の異なるコンマを、セント単位でのそれらの大きさの差、または同等にそれらの比率の比率として定義できる。これらのうち、比率が1/1より大きく、セント単位で正の大きさを持つ6つの昇順のものを選択する。
他の 6 つの比率は、これらと正反対であるため、長さは全く同じですが方向が逆 (つまり、下降方向、1/1 より小さい比率、セント単位で負のサイズ) なので破棄されます。 4 つの異なるサイズのコンマ、すなわち、ディアスキスマ、小ディエシス、シントニック コンマ、および大ディエシスが得られます。 S 1 (純正 A1 ) と S 3 (純正 m2 ) はこの 12 音階で最も頻繁に出現する半音であるため (上の表を参照)、それらの間の比率として定義される小ディエシスが最も頻繁に観察されるコンマです。
5リミット調律では、シントニック・コンマは長音（9/8のM2）と短音（10/9のM2）の比として定義されます。他の調律システムでは、全音階と半音階の半音の比（m2/A1）として定義することはできませんが、シントニック音律連続体（平均律を含む）のあらゆる調律システムにおいて完全5度を調律するために使用される重要な基準値です。
上記のコンマのうち、ディアスキスマ、ディエシス、大ディエシスの3つは、全音階と半音階の半音の大きさのセントの差（または同等に、それらの周波数比の比）である減2度の定義を満たしています。
それとは対照的に、同音コンマは、2つの半音階的半音（S 2と S 1）または2つの全音階的半音（S 4と S 3）の間のセントの差として定義され、減2度とはみなされません。
上記の表では、基本比率を構築するために3と5の低いべき乗のみを使用しています。しかし、5の2乗＝25、5の-2乗＝1/25、3の3乗＝27、3の-3乗＝ 1/27のように、同じ数のより高い正のべき乗と負のべき乗を使用することで、簡単に拡張できます。これらの基本比率を組み合わせることで、25、35、あるいはそれ以上の音高を持つ音階を得ることができます。
例えば、各方向に以下のように列を追加することで、35ピッチを得ることができます。
左列（1/9）は、時として（上記の非対称スケールのように）削除され、より少ない数の音高を持つ非対称テーブルが作成されます。上記で説明した制限された5リミットチューニング（CからG ♭ - =64/45）と比較して、減5度（CG ♭ =36/25）に対してより適切な比率が生成されることに注目してください。[ 4 ]
いわゆる「ピタゴラス調律」では、バビロニア人から借用され、ピタゴラスに誤って帰せられた調律法[ 5 ]において、最も協和的な音程は完全5度とその転回形である完全4度のみであった。ピタゴラスの長3度（81:64）と短3度（32:27）は不協和音であり、このため音楽家は三和音や和音を使用できず、何世紀にもわたって比較的単純なテクスチャーの音楽を作曲せざるを得なかった。中世後期、音楽家はいくつかの音のピッチをわずかに平均化することで、ピタゴラスの3度を協和音にできることに気づいた。例えば、同音コンマ（81:80）だけ減らすと、E、CE（長3度）、EG（短3度）の周波数が純正律になる。つまり、CEは純正律の比率に狭められる。
そして同時に、EGは適切な比率に拡大される。
欠点は、5度音程AEとEBがEを半音下げることで、ピタゴラスの狼の5度音程とほぼ同じくらい不協和音になってしまうことです。しかし、5度音程CGはEだけが半音下げられているため（CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2）、協和音のままであり、CEと組み合わせてハ長調の三和音（CEG）を作ることができます。
この単純な論理を一般化することで、16世紀後半にジョゼッフォ・ザルリーノは、純正完全五度（3:2）、純正長三度、純正短三度を含む、最初の純正調性7音（全音階）音階を作り出した。
F → A → C → E → G → B → D
これは、Fから始まる長三度（M3、比率5:4）と短三度（m3、比率6:5）のみのシーケンスです。
F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3
M3 + m3 = P5 (完全5度)、つまり 5/4 * 6/5 = 3/2 であるため、これは 5 音域限定純正律で得られる全音階と完全に等価であり、したがって 12 音 (半音階) スケールに使用される構成表のサブセットと見なすことができます。
ここで、両方の行はちょうど5度音程のシーケンスであり、FA、CE、GBはちょうど長3度音程である。
![${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{セント}}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50bf0d2901461be5393a3b513729b1a5a0d84c9)
