セント（音楽）

周波数を線形スケール（Hz）で測定すると、オクターブは指数関数的に増加します。

オクターブは、対数スケール（セント）で測定した場合、等間隔になります。

セントは、音程を表す対数単位です。12平均律では、オクターブを100セントの半音12個に分割します。セントは通常、小さな音程を表したり、音程を確認したり、異なる調律システムにおける同等の音程の大きさを比較したりするために使用されます。人間にとって、1セントは小さすぎて連続する音符の間には知覚できません。

アレクサンダー・ジョン・エリスが説明したセントは、17 世紀のフアン・カラミュエル・イ・ロブコヴィッツから始まった対数による間隔測定の伝統に倣っている。 ^{[ a ]}エリスは半音の 100 分の 1 を基準に測定することを選んだ。$\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}}$ロバート・ホルフォード・マクダウェル・ボサンケットの提案により、エリスは世界中の楽器を広範囲に測定し、使用されている音階を報告および比較するためにセントを使用し、^{[ 1 ]} 1875 年版のヘルマン・フォン・ヘルムホルツの『音の感覚について』でさらにこのシステムを記述および使用しました。これは、音楽の音高と音程を表して比較するための標準的な方法になりました。^{[ 2 ] [ 3 ]}

アレクサンダー・ジョン・エリスの論文「各国の音階について」^{[ 1 ]}は、 1885年に芸術協会誌に掲載され、各国の音階を比較対照することで探求するために、セントシステムを正式に導入した。セントシステムはすでに彼の著書『音高の歴史』の中で定義されており、エリスはそこで次のように書いている。

「もし、隣接する音符のペアごとに等しい半音を形成し、その間に、互いに完全に等しい間隔を形成する他の99個の音が挿入されると仮定すると、オクターブは等しい半音の1200個の等しい100分の1、つまり簡単に言えばセントに分割されることになる。」 ^{[ 4 ]}

エリスは1880年の著書『音楽の音高の歴史』^{[ 5 ]}の中で、音符のピッチを次のように定義した。

「音が聞こえる間に空気の粒子が1秒間に往復する二重または完全な振動の数」^{[ 6 ]}

彼は後に、音高を「特定の調律体系において他のすべての音の音高を決定する、任意の名前付き音符の音高、またはV（「二重振動」の略）」と定義した。^{[ 7 ]}彼は、これらの音符を連続して鳴らすと楽器の音階が形成され、任意の2つの音符間の間隔は「小さい音高番号と大きい音高番号の比、または大きい音高を小さい音高で割ってできる分数」によって測定されると述べている。^{[ 8 ]}絶対音高と相対音高もこれらの比に基づいて定義された。^{[ 8 ]}

エリスは次のように指摘した。

「チューナーの目的は、楽器全体を通して、隣接する2つの指のキーに対応する任意の2つの音の間の音程を正確に同じにすることです。その結果は平均律または平均調律と呼ばれ、現在ヨーロッパ全土で使用されているシステムです。」^{[ 9 ]}

彼はさらに、比率の尺度をセント単位で近似するための計算式を示し、

「一般的には、最も近い整数セントを超える必要はありません。」^{[ 10 ]}

エリスはこの論文で、セントシステムの応用例をさまざまな国の音階について紹介している。これには、(I. 七音音階) 古代ギリシャと現代ヨーロッパ^{[ 11 ]} 、ペルシャ、アラビア、シリア、スコットランド高地^{[ 12 ]}、インド^{[ 13 ]}、シンガポール^{[ 14 ]} 、ビルマ^{[ 15 ]}、シャム^{[ 16 ]} 、 (II. 五音音階) 南太平洋^{[ 17 ]} 、西アフリカ [ 18 ]、^{ジャワ[ 19} ]、^{中国[ 20} ] ^{、日本[ 21 ]が}含まれる。そして彼は、次のような結論に達する。

「音階は一つではなく、『自然』でもなく、ヘルムホルツが見事に解明した音楽の音の構成法則に必ずしも基づいているわけでもなく、非常に多様で、非常に人工的で、非常に気まぐれなものである。」^{[ 22 ]}

セントは、2つの周波数の比率を表す単位です。平均律の半音（隣り合う2つのピアノの鍵盤間の音程）は、定義上100セントです。オクターブ（周波数比が2:1の2つの音）は12半音、つまり1200セントです。1セント離れた周波数の比率は、正確には2 ^{1 ⁄ 1200} = ¹²⁰⁰ √ 2、つまり2の1200乗根に等しく、これは約1.000 577 7895。したがって、周波数を1セント上げることは、元の周波数にこの定数を掛けることに相当します。周波数を1200セント上げると周波数は2倍になり、1オクターブになります。

周波数が分かっている場合${\displaystyle f_{1}}$そして${\displaystyle f_{2}}$2枚の紙幣のうち、セントの数${\displaystyle c}$間隔を測定する${\displaystyle f_{1}}$に${\displaystyle f_{2}}$は：

${\displaystyle c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}$

同様に、もし知っているなら${\displaystyle f_{1}}$そしてセントの数${\displaystyle c}$区間内で${\displaystyle f_{1}}$に${\displaystyle f_{2}}$、 それから${\displaystyle f_{2}}$等しい:

${\displaystyle f_{2}=f_{1}\times 2^{\frac {c}{1200}}\,.}$

xが0から1/12まで増加すると、関数2xは^ほぼ線形に増加します。1.000 00から1.059 46となり、区分的線形近似が可能となる。したがって、セントは対数スケールを表すが、小さな間隔（100セント未満）は、線形関係 1 +で大まかに近似 できる。  0.000 5946 ${\displaystyle c}$真の指数関係 2 ^{c ⁄ 1200}の代わりに。丸め誤差は、${\displaystyle c}$は 0 または 100 であり、約 0.72 セント高いだけです。${\displaystyle c}$= 50 (その正しい値は 2 ^{1 ⁄ 24} ≅  1.029 30は 1  +で近似されます 0.000 5946  ×  50  ≅  1.02973)。この誤差は人間の耳で聞き取れるレベルをはるかに下回っており、この区分的線形近似はほとんどの実用的な目的に十分である。

人間が何セントの音程を知覚できるかを確定することは困難であり、この精度は人によって大きく異なります。ある著者は、人間は約 5～6 セントの音程の違いを区別できると述べています。^{[ 23 ]} 知覚できる閾値、技術的には最小可聴差(JND) として知られていますが、周波数、振幅、音色によっても変化します。ある研究では、音質の変化により、学生ミュージシャンが適切な値から ±12 セントずれた音程を不調として認識する能力が低下しました。^{[ 24 ]} また、音のコンテキストが増加すると、リスナーは音程をより正確に判断できるようになることも確立されています。^{[ 25 ]}「数セント未満の音程はメロディーのコンテキストでは人間の耳には知覚できませんが、ハーモニーでは非常に小さな変化が拍子やコードの粗さに大きな変化をもたらす可能性があります。」^{[ 26 ]}

ビブラートをかけた音程を聞くと、人間は平均周波数を音程の中心として認識するという証拠がある。^{[ 27 ]}シューベルトの「アヴェ・マリア」の現代の演奏に関するある研究では、ビブラートの範囲は通常±34セントから±123セントで、平均は±71セントであり、ヴェルディのオペラのアリアではより大きな変動が見られることがわかった。 ^{[ 28 ]}

正常な成人は、25セント程度の音程の差を非常に確実に認識できます。しかし、失音楽症の成人は、100セント未満の差を認識するのが難しく、場合によってはこれよりも大きな音程の認識にも問題があります。^{[ 29 ]}

以下の音声ファイルは、様々な音程を再生します。いずれの場合も、最初に再生される音は中央のハ音です。次に再生される音は、ハ音よりも指定されたセント値だけ高い音です。最後に、この2つの音が同時に再生されます。

音高差の最小可聴差（JND）は5～6セントであることに注意してください。音を別々に演奏した場合、音差は聞き取れないかもしれませんが、同時に演奏すると、うなりが聞こえることがあります（例えば、中央のドと10セント高い音を同時に演奏した場合など）。特定の瞬間において、2つの波形は、その瞬間的な位相関係に応じて、互いに強め合ったり、打ち消し合ったりします。ピアノ調律師は、2本の弦を同時に鳴らしたときのうなりのタイミングを計ることで、調律の精度を確認することがあります。

中央のCと、その1セント上の音を演奏してください。^ⓘ、うなり周波数 = 0.16Hz中央のCと、その10.06セント上の音を演奏してください。^ⓘ、うなり周波数 = 1.53 Hz 中央のCと、その上の25セントを演奏してください。^ⓘ、うなり周波数 = 3.81 Hz

• 程度
• グラディアン
• マイクロトーン
• ラジアン

• セント換算：整数比からセントへの換算（2017年4月22日にWayback Machineにアーカイブ済み） [整数に丸め]
• セント換算：複数の機能を備えたオンラインユーティリティ