時間発展の基本モデル 量子系のダイナミクスは、その系が閉鎖系 （環境から隔離されている）か開放系 （環境と結合している）かによって決まる、特定の運動方程式によって支配される。
閉じた量子システム 閉じた量子系とは、外部からの影響を完全に遮断した系のことである。このような系の時間発展はユニタリー であると記述され、これは全確率が保存され、原理的にはプロセスが可逆であることを意味する。閉じた系のダイナミクスは、2つの等価な基本方程式によって記述される。[ 5 ]
量子力学の最も一般的な定式化は、時間依存シュレーディンガー方程式です。これは、ケットで表されるシステムの状態ベクトルの時間発展を記述します。| ψ （ t ） ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle }
私 ℏ ∂ ∂ t | ψ （ t ） ⟩ = H ^ | ψ （ t ） ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }
ここ、私 {\displaystyle i} ℏ {\displaystyle \hbar } | ψ （ t ） ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } t {\displaystyle t} H ^ {\displaystyle {\hat {H}}}
シュレーディンガー方程式は強力ですが、純粋状態 にのみ適用されます。量子システムのより一般的な記述は、密度行列 ρ {\displaystyle \rho } 混合状態 （量子状態の統計的アンサンブル）の両方を表すことができる。密度行列の時間発展は、リウヴィル・フォン・ノイマン方程式によって支配される。
私 ℏ d d t ρ （ t ） = [ H ^ 、 ρ （ t ） ] {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[{\hat {H}},\rho (t)]}
どこ[ H ^ 、 ρ （ t ） ] = H ^ ρ （ t ） − ρ （ t ） H ^ {\displaystyle [{\hat {H}},\rho (t)]={\hat {H}}\rho (t)-\rho (t){\hat {H}}} [ 6 ]
オープン量子システム 実際には、量子システムは環境から完全に隔離されているわけではありません。周囲（しばしば「浴」と呼ばれる）と相互作用するシステムは、開放量子システムとして知られています。この相互作用により、 非ユニタリーな 進化が起こり、情報とエネルギーが環境と交換される可能性があります。[ 7 ]
この交換によって、量子特有の現象が崩壊します。これはデコヒーレンス 散逸も [ 7 ]
開放量子システムのダイナミクスは、通常、量子マスター方程式 を使用してモデル化されます。環境に記憶がないシステム（マルコフシステム）の最も一般的な形式は、リンドブラッド方程式 であり、ゴリーニ–コサコフスキー–スダルシャン–リンドブラッド（GKSL）方程式としても知られています。[ 8 ]
d d t ρ （ t ） = − 私 ℏ [ H ^ 、 ρ ] + ∑ k （ L k ρ L k † − 1 2 { L k † L k 、 ρ } ） {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho (t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]+\sum _{k}\left(L_{k}\rho L_{k}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\{L_{k}^{\dagger }L_{k},\rho \}\right)}
この方程式では：
最初の項、− 私 ℏ [ H ^ 、 ρ ] {\displaystyle -{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]} 2番目の項は、「散逸項」または「リンドブラディアン項」と呼ばれることが多く、環境による不可逆的で非ユニタリーなダイナミクスを表します。[ 9 ] オペレーターL k {\displaystyle L_{k}} これらはリンドブラッド演算子 または量子ジャンプ 演算子[ 10 ] { A 、 B } = A B + B A {\displaystyle \{A,B\}=AB+BA} 開放量子系の研究は、量子から古典への移行を理解する上で極めて重要であり、デコヒーレンスが主要な工学的課題となる量子コンピューティングのような技術にとって不可欠である。
古典力学との関係 量子力学は古典力学とは根本的に異なるが、同時に古典力学の一般化でもある。古典力学の原理は、巨視的極限における近似として量子力学から生じるものであり、これは対応原理 として知られる概念である。[ 5 ]
古典物理学との主な違いは、物理変数の性質にある。古典力学では、位置などの変数はx {\displaystyle x} p {\displaystyle p} c数 ）です。量子力学では、これらは演算子（q数 ）で表されますが、重要なことに、これらの演算子は必ずしも可換ではありません 。例えば、位置演算子X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} P ^ {\displaystyle {\hat {P}}}
[ X ^ 、 P ^ ] = X ^ P ^ − P ^ X ^ = 私 ℏ {\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar }
この非可換性はハイゼンベルクの不確定性原理の源であり、システムのダイナミクスを根本的に変化させ、[ 6 ] [ A ^ 、 B ^ ] ↔ 私 ℏ { A 、 B } {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\leftrightarrow i\hbar \{A,B\}} [ 11 ]
この違いにもかかわらず、ハミルトニアン の役割はどちらの枠組みにおいても中心的なままである。古典的なハミルトニアンがハミルトン方程式を通して系の時間発展を生成するのと同様に、量子ハミルトニアン演算子はH ^ {\displaystyle {\hat {H}}} [ 5 ]
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![{\displaystyle [{\hat {H}},\rho (t)]={\hat {H}}\rho (t)-\rho (t){\hat {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8db97f5cd661ac238bc21d7633cf7b6c0319660)
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