カイ二乗分布

カイ二乗

確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\;}$または${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
パラメータ	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}~~}$（「自由度」と呼ばれる）
サポート	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
平均	${\displaystyle k}$
中央値	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
モード	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
分散	${\displaystyle 2k\;}$
歪度	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
エントロピ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\log \left(2\Gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}}{\Bigr )}\right)\\&\!+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)\end{aligned}}}$
MGF の	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
CF	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$[1]
PGF	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;}$

確率論と統計学において、自由度を持つカイ二乗分布（カイ二乗分布または-分布とも呼ばれる）は、独立した標準正規確率変数の二乗の合計の分布である。^[2]${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

カイ二乗分布は、ガンマ分布と単変量ウィシャート分布の特殊なケースです。具体的には 、 の場合(ここで はガンマ分布の形状パラメータと尺度パラメータ)、 となります。 ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(1,k)}$

尺度カイ二乗分布は、 ガンマ分布と単変量ウィシャート分布の再パラメータ化です。具体的に は、およびの場合です。 ${\displaystyle s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2s^{2})}$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(s^{2},k)}$

カイ二乗分布は、推論統計、特に仮説検定や信頼区間の構築において最も広く使用されている確率分布の1つです。^{[3] [4] [5] [6]この分布は、より一般的な}非心カイ二乗分布の特殊なケースである、中心カイ二乗分布と呼ばれることもあります。^[7]

カイ二乗分布は、観測された分布と理論的な分布の適合度、質的データの分類の 2 つの基準の独立性を調べる一般的なカイ二乗検定、および標本標準偏差から正規分布の母標準偏差を推定するための信頼区間を求める際に使用されます。フリードマンの順位分散分析など、他の多くの統計検定でもこの分布が使用されます。

Z ₁ , ..., Z _kが独立した標準正規分布の確率変数である場合、それらの平方和は、

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

は自由度kのカイ2乗分布に従って分布する。これは通常次のように表記される。

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

カイ二乗分布には、自由度の数(合計されるランダム変数の数、Z _i s) を指定する正の整数kという 1 つのパラメーターがあります。

カイ二乗分布は主に仮説検定に使用され、基礎となる分布が正規分布である場合の母分散の信頼区間にもそれほど使用されません。正規分布や指数分布などのより広く知られている分布とは異なり、カイ二乗分布は自然現象の直接的なモデリングにはあまり適用されません。カイ二乗分布は、特に次の仮説検定で使用されます。

• 分割表における独立性のカイ二乗検定
• 観測データと仮説分布の適合度のカイ二乗検定
• ネストモデルの尤度比検定
• 生存分析におけるログランク検定
• 層別分割表のCochran–Mantel–Haenszel 検定
• ワルドテスト
• スコアテスト

これは、 t検定、分散分析、回帰分析 で使用されるt分布とF分布の定義の構成要素でもあります。

カイ二乗分布が仮説検定で広く使用されている主な理由は、正規分布との関係です。多くの仮説検定では、t検定のt統計量などの検定統計量が使用されます。これらの仮説検定では、サンプル サイズnが増加するにつれて、検定統計量の標本分布は正規分布に近づきます (中心極限定理)。検定統計量 ( tなど) は漸近的に正規分布するため、サンプル サイズが十分に大きい場合、仮説検定に使用される分布は正規分布で近似できます。正規分布を使用した仮説検定はよく理解されており、比較的簡単です。最も単純なカイ二乗分布は、標準正規分布の 2 乗です。したがって、仮説検定に正規分布を使用できる場合はどこでも、カイ二乗分布を使用できます。

が標準正規分布から抽出されたランダム変数で、平均が で分散が であるとします。ここで、ランダム変数 について考えます。ランダム変数の分布は、カイ二乗分布の例です。下付き文字の 1 は、この特定のカイ二乗分布が 1 つの標準正規分布のみから構築されていることを示します。単一の標準正規分布を二乗して構築されたカイ二乗分布は、自由度が 1 であると言われています。したがって、仮説検定のサンプル サイズが増加すると、検定統計量の分布は正規分布に近づきます。正規分布の極端な値の確率が低い (p 値が小さい) のと同様に、カイ二乗分布の極端な値の確率も低くなります。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$${\displaystyle Q=Z^{2}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}}$

カイ二乗分布が広く使用されているもう 1 つの理由は、一般化尤度比検定(LRT) の大標本分布として現れることです。^[8] LRT にはいくつかの望ましい特性があります。特に、単純な LRT は一般に帰無仮説を棄却する最も高い検出力 (ネイマン-ピアソンの補題) を提供し、これは一般化 LRT の最適性特性にもつながります。ただし、正規近似とカイ二乗近似は漸近的にのみ有効です。このため、小さな標本サイズでは、正規近似やカイ二乗近似よりもt分布を使用する方が望ましいです。同様に、分割表の分析では、カイ二乗近似は小さな標本サイズでは不十分であり、フィッシャーの正確検定を使用する方が望ましいです。Ramsey は、正確な二項検定が常に正規近似よりも強力であることを示しています。 ^[9]

ランカスターは、二項分布、正規分布、カイ二乗分布の関係を次のように示している。^[10]ド・モアブルとラプラスは、二項分布が正規分布で近似できることを確立した。具体的には、ランダム変数の漸近正規性を示した。

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}}$

ここで、は試行における成功の観測数、 は成功確率、です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

方程式の両辺を二乗すると

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}}$

、、およびを使用すると、この式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(N-m)}$${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}}$

右の式は、カール・ピアソンが一般化した次 の式である。

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

どこ

${\displaystyle \chi ^{2}}$= ピアソンの累積検定統計量。漸近的に分布に近づきます。 = タイプ の観測数。 = タイプ の期待される（理論的な）頻度。これは、母集団におけるタイプ の割合が であるという帰無仮説によって主張されます。 = 表内のセルの数。^{[引用が必要]}${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle O_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle n}$

二項結果（コインを投げる）の場合、二項分布は正規分布で近似できます（ が十分に大きい場合）。標準正規分布の二乗は自由度 1 のカイ二乗分布であるため、10 回の試行で 1 回表が出るなどの結果の確率は、正規分布を直接使用するか、観測値と期待値の差を正規化した二乗のカイ二乗分布を使用して近似できます。ただし、多くの問題では二項分布の可能な結果が 2 つ以上含まれており、代わりに 3 つ以上のカテゴリが必要となり、多項分布になります。ド・モアブルとラプラスが二項分布の正規近似値を求めて発見したのと同様に、ピアソンは多項分布の退化した多変量正規近似値を求めて発見しました（各カテゴリの数値を合計すると合計サンプル サイズになり、これは固定されていると見なされます）。ピアソンは、異なるカテゴリーの観測値の数の間の統計的依存性（負の相関）を注意深く考慮して、カイ二乗分布が多項分布の多変量正規近似から生じることを示しました。^[10]${\displaystyle n}$

カイ二乗分布の 確率密度関数（ pdf）は

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

ここで、 はガンマ関数を表し、整数 に対して閉じた形式の値を持ちます。 ${\textstyle \Gamma (k/2)}$${\displaystyle k}$

自由度が1、2、の場合の pdf の導出については、カイ二乗分布に関連する証明を参照してください。 ${\displaystyle k}$

累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}$

ここで は下側不完全ガンマ関数であり、は正規化ガンマ関数です。 ${\displaystyle \gamma (s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

この関数の特別なケースでは、単純な形式になります。 ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

これは直接積分することで簡単に導出できます。ガンマ関数の整数再帰性により、他の小さい、さらには についても簡単に計算できます。 ${\displaystyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}}$${\displaystyle F(x;\,k)}$${\displaystyle k}$

カイ二乗累積分布関数の表は広く利用可能であり、この関数は多くのスプレッドシートやすべての統計パッケージに含まれています。

とすると、CDFの下限と上限のチェルノフ境界が得られる。 ^[11]の場合（このCDFが半分未満となるすべての場合を含む）では、 ${\displaystyle z\equiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

同様に、の場合の裾野は、 ${\displaystyle z>1}$

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

ガウスの 3 乗をモデル化した CDF の別の近似については、 「非心カイ 2 乗分布」を参照してください。

以下はコクランの定理の特殊なケースです。

定理。独立同一分布（iid）の 標準正規確率変数 の場合、${\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}}$${\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}$

カイ二乗分布の定義から、独立したカイ二乗変数の合計もカイ二乗分布に従うことがわかります。具体的には、がそれぞれ自由度を持つ独立したカイ二乗変数である場合、 は自由度を持つカイ二乗分布に従います。 ${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+\cdots +X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$

次数のiidカイ 2 乗変数のサンプル平均は、形状とスケールパラメータを持つガンマ分布に従って分布します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$

漸近的には、形状パラメータが無限大に近づくと、ガンマ分布は期待値と分散を持つ正規分布に収束し、標本平均は次のように収束します。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =\alpha \cdot \theta }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}}$

${\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)}$

代わりに中心極限定理を適用しても同じ結果が得られることに注目してください。つまり、 次数のカイ二乗変数ごとに期待値は、その分散（したがってサンプル平均の分散は）であることに注意してください。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\,k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2k}{n}}}$

微分エントロピーは次のように表される。

${\displaystyle h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),}$

ここで、 はディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi (x)}$

カイ二乗分布は、およびが固定されたランダム変量に対する最大エントロピー確率分布です。カイ二乗はガンマ分布の族に属しているため、ガンマの対数モーメントの期待値に適切な値を代入することで導出できます。より基本的な原理からの導出については、十分な統計量のモーメント生成関数の導出を参照してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

自由度を持つカイ二乗分布の非心モーメント（生モーメント）は^{[12] [13]}で与えられる。${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left(m+{\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}.}$

キュムラントは特性関数の対数の べき級数展開によって簡単に得られます。

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

カイ二乗分布は平均値の周囲に強い集中を示す。標準的なローラン・マサート^[14]の境界は以下の通りである。

${\displaystyle \operatorname {P} (X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)}$

1 つの結果として、 が内のガウス乱数ベクトルである場合、次元が大きくなるにつれて、ベクトルの長さの 2 乗が の幅で の周りに密集します。ここで、指数は内の任意の値として選択できます。 ${\displaystyle v\sim N(0,1)^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{1/2+\alpha }}$$${\displaystyle Pr(\|v\|^{2}\in [n-2n^{1/2+\alpha },n+2n^{1/2+\alpha }+2n^{\alpha }])\geq 1-e^{-n^{\alpha }}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (0,1/2)}$

中心極限定理によれば、カイ二乗分布は有限の平均と分散を持つ独立したランダム変数の和であるため、 が大きい場合、正規分布に収束します。多くの実用目的では、 の場合、分布は正規分布に十分近いため、その差は無視できます。^[15]具体的には、 の場合、 が無限大に近づくにつれて、 の分布は標準正規分布に近づきます。 ただし、歪度、過剰尖度のように、収束は遅くなります。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

の標本分布は、の標本分布よりもはるかに速く正規分布に収束します。^{[16]これは、}対数変換によって非対称性の多くが除去されるためです。^[17]${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

カイ二乗分布の他の関数は、より急速に正規分布に収束します。いくつかの例を次に示します。

• ならば、は平均と単位分散を持つ正規分布に近い分布となる（1922年、 RAフィッシャー著、ジョンソンの426ページの（18.23）を参照）。^[5]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• ならば、は平均と分散で近似的に正規分布する^{[18]これは}ウィルソン・ヒルファティ変換として知られている。ジョンソンの(18.24)、426ページを参照。^[5]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • この正規化変換は、正規分布の平均（中央値でもある）から逆変換することで、一般的に使用される中央値の近似値に直接つながります。${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$

• として、（正規分布）${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$（非心度パラメータを持つ非心カイ二乗分布）${\displaystyle \lambda =0}$
• ならば、カイ二乗分布に従う。${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$

• 特別な場合として、の場合にはカイ二乗分布に従う。${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$（ k個の標準正規分布変数の二乗ノルムは、自由度kのカイ二乗分布である）
• かつならば。（ガンマ分布）${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$
• ならば（カイ分布）${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$
• の場合、 は指数分布です。(詳細についてはガンマ分布を参照してください。)${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1/2)}$
• の場合、 はアーラン分布です。${\displaystyle X\sim \chi _{2k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• もし、${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}}$
• （レイリー分布）ならば${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• もし（マクスウェル分布）ならば${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,}$
• ならば（逆カイ二乗分布）${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,}$
• カイ二乗分布はタイプIIIピ​​アソン分布の特殊なケースである。
• とが独立である場合（ベータ分布）${\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,}$${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$
• もし（一様分布）ならば${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• もしそうなら${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,}$
• パラメータ付き一般化正規分布（バージョン1）に従う場合、^[19]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,}$
• カイ二乗分布はパレート分布の変形である
• スチューデントのt分布はカイ二乗分布の変換である
• スチューデントのt分布はカイ二乗分布と正規分布から得られる。
• 非心ベータ分布はカイ二乗分布と非心カイ二乗分布の変換として得られる。
• 非心t分布は正規分布とカイ二乗分布から得られる。

自由度を持つカイ二乗変数は、独立した標準正規乱数変数の二乗の合計として定義されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

が平均ベクトルと順位共分散行列を持つ 次元のガウス乱数ベクトルである場合、 は自由度を持つカイ二乗分布に従います。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )}$${\displaystyle k}$

平均がゼロでない、統計的に独立した単位分散のガウス変数の二乗和は、非心カイ二乗分布と呼ばれるカイ二乗分布の一般化をもたらします。

がiid標準正規乱数のベクトルで、がランクの対称冪等行列である場合、2 次形式は自由度 の カイ 2 乗分布に従います。${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k-n}$ ${\displaystyle Y^{T}AY}$${\displaystyle k-n}$

が正の対角要素を持つ正半正定値共分散行列である場合、および から 独立なランダム-ベクトルに対して、${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi _{1}^{2}.}$^[17]

カイ二乗分布は、ガウス分布から生じる他の分布とも自然に関連しています。特に、

• ${\displaystyle Y}$はF 分布します。ただし、と は統計的に独立です。${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$
• とが統計的に独立している場合、 となります。と が独立していない場合、 はカイ二乗分布しません。${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

カイ二乗分布は、 k 個の独立した、平均 0、分散 1 のガウス確率変数の二乗の合計として得られます。この分布の一般化は、他の種類のガウス確率変数の二乗を合計することによって得られます。以下に、そのような分布のいくつかについて説明します。

がカイ二乗確率変数で の場合、 の分布は一般化カイ二乗分布の特殊なケースです。この分布の閉じた表現は知られていません。しかし、カイ二乗確率変数の特性関数の性質を使って効率的に近似することができます。 ^[20]${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

非心カイ二乗分布は、単位分散と非ゼロ平均を持つ独立したガウスランダム変数の二乗の合計から得られます。

一般化カイ二乗分布は、z が任意の共分散行列を持つ平均ゼロのガウスベクトルであり、A が任意の行列である 二次形式z'Azから得られます。

カイ二乗分布は、ガンマ分布の速度パラメータ化（または ガンマ分布の尺度パラメータ化）を使用する点で、ガンマ分布の特殊なケースであり、 kは整数です。 ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},2\right)}$

指数分布もガンマ分布の特殊なケースであるため、 の場合、 は指数分布であることもわかります。 ${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)}$

アーラン分布もガンマ分布の特殊なケースであり、 が偶数の場合、 は形状パラメータとスケールパラメータを持つアーラン分布であることもわかります。 ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k/2}$${\displaystyle 1/2}$

カイ二乗分布は、カイ二乗検定や分散の推定など、推論統計学において数多くの用途があります。スチューデントのt分布における役割を介して、正規分布する母集団の平均を推定する問題や回帰直線の傾きを推定する問題に関与します。カイ二乗分布は、F分布における役割を介して、すべての分散分析の問題に関与します。F分布は、2つの独立したカイ二乗ランダム変数をそれぞれの自由度で割った比の分布です。

以下は、ガウス分布のサンプルからカイ二乗分布が発生する最も一般的な状況の一部です。

• がiidランダム変数である場合、となります。${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X_{i}}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\overline {X_{i}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• 下のボックスには、カイ二乗分布に関連する確率分布を持つ独立したランダム変数に基づくいくつかの統計が示されています。${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k}$

カイ二乗分布は磁気共鳴画像法でもよく見られる。^[21]

値は、カイ二乗分布で少なくとも同程度に極端な検定統計量を観測する確率です。したがって、適切な自由度(df)の累積分布関数(CDF) はこの点よりも極端でない値を得る確率を与えるので、CDF 値を 1 から引くとp値が得られます。選択した有意水準を下回る低いp値は、統計的に有意であること、つまり帰無仮説を棄却するのに十分な証拠であることを示します。有意水準 0.05 は、有意な結果と有意でない結果のカットオフとしてよく使用されます。 ${\textstyle p}$

以下の表は、最初の 10 の自由度 に一致するp値の数を示しています。${\displaystyle \chi ^{2}}$

これらの値は、カイ二乗分布の分位関数（「逆CDF」または「ICDF」とも呼ばれる）を評価することで計算できます。 ^[23]たとえば、p ⁼ 0.05およびdf = 7の場合のχ2 ICDFは、上の表のように2.1673 ≈ 2.17になります。1 - pは表の p値であることに注意してください。

この分布は、ドイツの測地学者で統計学者のフリードリヒ・ロバート・ヘルメルトが1875年から1876年の論文で初めて記述しました。 ^{[24] [25]彼は、正規母集団の標本分散の標本分布を計算しました。そのため、ドイツ語では伝統的に}Helmert'sche（「ヘルメルティアン」）または「ヘルメルト分布」 として知られていました。

この分布は、適合度の文脈でイギリスの数学者カール・ピアソンによって独立に再発見され、ピアソンのカイ二乗検定を開発して 1900 年に出版された。計算された値の表は (Elderton 1902) に掲載され、(Pearson 1914, pp. xxxi–xxxiii, 26–28, Table XII) にまとめられている。「カイ二乗」という名前は、結局のところ、ピアソンが多変量正規分布の指数をギリシャ文字のChiで省略して−½χ ²と書いたことに由来しており、これは現代の表記では−½ x ^T Σ ⁻¹ xとなる (Σ は共分散行列)。^[26]ただし、「カイ二乗分布」の族というアイデアはピアソンによるものではなく、1920 年代のフィッシャーによるさらなる発展として生まれたものである。^[24]

• 数学用語の最も古い使用例：カイ二乗の項には簡単な歴史がある
• イェール大学統計学 101 クラスの、カイ二乗適合度検定に関するコースノート。
• 正規分布の母集団に対するさまざまな統計量（Σx²など）のカイ二乗標本分布を示す Mathematica のデモ
• ポケット電卓でカイ二乗分布の cdf と逆 cdf を近似する簡単なアルゴリズム
• カイ二乗分布の値