非心ベータ分布

非中心ベータ

表記	ベータ(α, β, λ)
パラメータ	α > 0形状(実数) β > 0形状(実数) λ ≥ 0非心性(実数)
サポート	${\displaystyle x\in [0;1]\!}$
PDF	（タイプI）${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {x^{\alpha +j-1}\left(1-x\right)^{\beta -1}}{\mathrm {B} \left(\alpha +j,\beta \right)}}}$
ドイツ連邦共和国	（タイプI）${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}I_{x}\left(\alpha +j,\beta \right)}$
平均	(タイプ I) (合流型超幾何関数を参照)${\displaystyle e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +1\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +1;\alpha ,\alpha +\beta +1;{\frac {\lambda }{2}}\right)}$
分散	(タイプI)ここで平均です。(合流型超幾何関数を参照)${\displaystyle e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +2\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +2\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +2;\alpha ,\alpha +\beta +2;{\frac {\lambda }{2}}\right)-\mu ^{2}}$${\displaystyle \mu}$

確率論と統計学において、非心ベータ分布は、 （中心）ベータ分布の非心一般化である連続確率分布です。

非心ベータ分布（タイプI）は、比率の分布である。

${\displaystyle X={\frac {\chi _{m}^{2}(\lambda )}{\chi _{m}^{2}(\lambda )+\chi _{n}^{2}}},}$

ここで、 は自由度m、非心パラメータ を持つ 非心カイ二乗確率変数であり、 は とは無関係な自由度nを持つ中心カイ二乗確率変数である。^[1] この場合、${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}},\lambda \right)}$

タイプII非心ベータ分布は、比率の分布である。

${\displaystyle Y={\frac {\chi _{n}^{2}}{\chi _{n}^{2}+\chi _{m}^{2}(\lambda )}},}$

ここで、非心カイ二乗変数は分母にのみ存在します。^[1]がタイプII分布に従う場合、はタイプI分布に従います。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=1-Y}$

タイプI累積分布関数は通常、中心ベータランダム変数のポアソン混合として表される： ^[1]

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha +j,\beta ),}$

ここでλは非心パラメータ、P (.)はポアソン(λ/2)確率質量関数、\alpha=m/2と\beta=n/2は形状パラメータ、そしては不完全ベータ関数である。つまり、 ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(\alpha +j,\beta ).}$

混合形式の タイプII累積分布関数は

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha ,\beta +j).}$

非心ベータ分布関数を評価するアルゴリズムは、ポステン^[2]とチャタムヴェッリ^{[1]によって与えられている。}

非心ベータ分布の （タイプ I）確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty}{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda}{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}.}$

ここで、はベータ関数、およびは形状パラメータ、およびは非心パラメータです。Yの密度は、自由度を逆にした1-Xの密度と同じです。 ^[1]${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \lambda}$

の場合、 は自由度 、非心度パラメータの非心 F 分布に従います。 ${\displaystyle X\sim {\mbox{Beta}}\left(\alpha ,\beta ,\lambda \right)}$${\displaystyle {\frac {\beta X}{\alpha (1-X)}}}$${\displaystyle 2\alpha ,2\beta }$${\displaystyle \lambda }$

分子自由度と分母自由度 を持つ非心F分布に従う場合、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{\mu _{1},\mu _{2}}\left(\lambda \right)}$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle Z={\cfrac {\cfrac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}{{\cfrac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}+X^{-1}}}}$

非心ベータ分布に従います。

${\displaystyle Z\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {1}{2}}\mu _{1},{\frac {1}{2}}\mu _{2},\lambda \right)}$。

これは、単純な変換を行うことから得られます。

のとき、非心ベータ分布は（心）ベータ分布と同等になります。 ${\displaystyle \lambda =0}$