ログランク検定

ログランク検定（log-rank test ）は、2 つのサンプルの生存分布を比較する仮説検定です。これはノンパラメトリック検定であり、データが右に偏っていて打ち切られている場合に適しています（技術的には、打ち切りは無情報である必要があります）。これは、イベントまでの時間（最初の治療から心臓発作までの時間など）を測定する場合に、対照治療と比較して新しい治療の有効性を確立するために臨床試験で広く使用されています。この検定は、マンテル–コックス検定と呼ばれることもあります。ログランク検定は、時間層別化されたコクラン–マンテル–ヘンツェル検定と見なすこともできます。

この検定法はネイサン・マンテルによって最初に提案され、リチャード・ペトとジュリアン・ペトによってログランク検定法と名付けられました。^{[1] [2] [3]}

ログランク検定統計は、観測された各イベント時間における 2 つのグループのハザード関数の推定値を比較します。これは、観測された各イベント時間におけるグループの 1 つにおける観測されたイベント数と期待されるイベント数を計算し、これらを加算して、イベントが発生したすべての時点にわたる全体的な要約を取得することによって構築されます。

2 つの患者グループ、例えば治療群と対照群について考えてみましょう。をいずれかのグループで観察されたイベントの異なる時刻とします。および を、それぞれ期間の開始時にグループ内で「リスクのある」被験者 (まだイベントが発生していないか、打ち切られていない) の数とします。 および を、時刻 におけるグループ内で観察されたイベントの数とします。最後に、および を定義します。 ${\displaystyle 1,\ldots ,J}$${\displaystyle N_{1,j}}$${\displaystyle N_{2,j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle O_{1,j}}$${\displaystyle O_{2,j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$${\displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$

帰無仮説は、2 つのグループが同一のハザード関数 を持つというものです。したがって、 の条件下では、各グループ は、パラメータ 、、 を持つ超幾何分布に従います。この分布の期待値は、分散はです。 ${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle O_{i,j}}$${\displaystyle N_{j}}$${\displaystyle N_{i,j}}$${\displaystyle O_{j}}$${\displaystyle E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}}$${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)}$

すべての について、ログランク統計量はにおける期待値と比較されます。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle j=1,\ldots ,J}$${\displaystyle O_{i,j}}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$      （または）${\displaystyle i=1}$${\displaystyle 2}$

中心極限定理により、各 の分布はが無限大に近づくにつれて標準正規分布の分布に収束するため、十分に大きい については標準正規分布で近似できます。Peto と Peto の論文の付録 B に記載されているように、この量を最初の 4 つのモーメントが一致するピアソン I 型または II 型 (ベータ) 分布と等しくすることで、より優れた近似値を得ることができます。^[2]${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

2 つのグループの生存関数が同じ場合、ログランク統計量はほぼ標準正規分布になります。片側レベル検定では、 が標準正規分布の上限分位数である場合に帰無仮説を棄却します。ハザード比が、被験者の総数が 、いずれかのグループの被験者が最終的にイベントを起こす確率が （つまり、 は分析時点でのイベントの期待数）、各グループにランダムに割り当てられた被験者の割合が 50% の場合、ログランク統計量は平均1、分散 1でほぼ正規分布になります。 ^[4]検出力 の 片側レベル検定では、必要なサンプルサイズは で、 および は標準正規分布の分位数です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle Z>z_{\alpha}}$${\displaystyle z_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle nd}$${\displaystyle (\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1-\beta }$${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$${\displaystyle z_{\alpha }}$${\displaystyle z_{\beta }}$

および は、同じ研究 (前述) の 2 つの異なる時点におけるログランク統計であると仮定します。ここでも、2 つのグループのハザード関数はハザード比 に比例し、は、被験者が 2 つの時点でイベントを起こす確率であると仮定します。 および は、 平均および で相関であるほぼ 2 変量正規分布です。結合分布を含む計算は、データが研究中にデータ モニタリング委員会によって複数回検査される場合に、エラー率を正しく維持するために必要です。 ${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$

• ログランク統計は、2 つのグループを比較するCox 比例ハザード モデルのスコア テストとして導出できます。したがって、この統計は、そのモデルに基づく尤度比検定統計と漸近的に等しくなります。
• ログランク統計量は、比例ハザード代替分布の任意の分布族の尤度比検定統計量と漸近的に等しくなります。たとえば、2 つのサンプルのデータが指数分布である場合です。
• がログランク統計量、が観測されたイベント数、がハザード比の推定値である場合、 となります。この関係は、2 つの量が既知である（たとえば、公開された記事から）が、3 つ目の量が必要な場合に役立ちます。${\displaystyle Z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$
• ログランク統計は、観測値が打ち切られている場合に使用できます。データ内に打ち切られた観測値が存在しない場合は、ウィルコクソン順位和検定が適切です。
• ログランク統計は、イベントが発生した時間に関係なく、すべての計算に同じ重みを与えます。Peto ログランク検定統計は、観測数が多い場合に、以前のイベントにより多くの重みを与えます。

ログランク検定は、カプランマイヤー生存曲線と同じ仮定に基づいています。つまり、打ち切りは予後とは無関係であり、研究の初期段階と後期段階の被験者の生存確率は同じであり、イベントは指定された時間に発生するという仮定です。これらの仮定からの逸脱は、比較対象のグループで異なる条件が満たされている場合、たとえば、あるグループでは他のグループよりも打ち切りが発生する可能性が高い場合など、最も重要になります。^[5]

• カプランマイヤー推定量
• ハザード比