ワルドテスト

統計学において、ワルド検定（アブラハム・ワルドにちなんで名付けられた）は、帰無仮説の下での無制限推定値とその仮説値との間の重み付き距離に基づいて統計パラメータの制約を評価し、重みは推定値の精度である。 ^{[1] [2]}直感的には、この重み付き距離が大きいほど、制約が真である可能性は低くなる。ワルド検定の有限サンプル分布は一般に不明であるが、^{[3] : 138}帰無仮説の下で漸近的なχ ²分布を持ち、この事実を使用して統計的有意性を判断できる。^[4]

ラグランジュ乗数検定および尤度比検定とともに、ワルド検定は仮説検定の 3 つの古典的なアプローチの 1 つです。ワルド検定が他の 2 つより優れている点は、制約のないモデルの推定のみを必要とするため、尤度比検定に比べて計算負荷が軽減されることです。ただし、大きな欠点は (有限サンプルでは) 帰無仮説の表現の変化に対して不変ではないことです。言い換えれば、非線形パラメータ制約の代数的に同等な式により、検定統計量の値が異なる可能性があります。 ^{[5] [6]}これは、ワルド統計量がテイラー展開から導出されるためであり、^[7]同等の非線形式の書き方が異なると、対応するテイラー係数に重要な違いが生じます。^[8]もう一つの異常現象であるハウク・ドナー効果^[9]は、推定された（制約のない）パラメータがパラメータ空間の境界に近い場合、例えば近似確率が0または1に極めて近い場合に二項モデルで発生する可能性があり、その結果、ワルド検定は制約のないパラメータと制約のあるパラメータ間の距離が単調に増加しなくなります。 ^{[10] [11]}

Wald 検定では、制約のない尤度関数の最大化引数として見つかった推定値が、仮説値 と比較されます。特に、差の二乗は、対数尤度関数の曲率によって重み付けされます。 ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}-\theta _{0}}$

仮説に単一のパラメータ制限のみが含まれる場合、Wald 統計は次の形式になります。

${\displaystyle W={\frac {{({\widehat {\theta }}-\theta _{0})}^{2}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}}$

これは帰無仮説の下では自由度1の漸近的χ ²分布に従う。単一制限ワルド統計量の平方根は（疑似）t比として理解できるが、正規分布誤差を伴う線型回帰の特殊な場合を除いて、実際にはt分布しない。^{[12]一般に、漸近的}z分布に従う。^[13]

${\displaystyle {\sqrt {W}}={\frac {{\widehat {\theta }}-\theta _{0}}{\operatorname {se} ({\hat {\theta }})}}}$

ここで、 は最大尤度推定値(MLE) の標準誤差(SE) 、つまり分散の平方根です。有限サンプルで分散行列を一貫して推定する方法はいくつかあり、標準誤差と関連する検定統計量およびp値の代替推定値につながります。^{[3] : 129}のMLE推定量をSEにプラグインした後でも漸近的に正規分布が得られるという妥当性は、スラツキーの定理に依存しています。 ${\displaystyle \operatorname {se} ({\widehat {\theta }})}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

Wald 検定は、複数のパラメータで単一の仮説を検定する場合だけでなく、単一/複数のパラメータで複数の仮説を共同で検定する場合にも使用できます。 をPパラメータのサンプル推定値(つまり、はベクトル) とします。これは、共分散行列V、を持つ正規分布に漸近的に従うと想定されます。 Pパラメータに対するQ仮説の検定は、行列 Rで表されます。 ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$${\displaystyle P\times 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)}$${\displaystyle Q\times P}$

${\displaystyle H_{0}:R\theta =r}$

${\displaystyle H_{1}:R\theta \neq r}$

帰無仮説の下での検定統計量の分布は

${\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,n-P)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2}/Q,}$

それはつまり

${\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2},}$

ここで共分散行列の推定値である。^[14]${\displaystyle {\hat {V}}_{n}}$

標準形式では、ワルド検定は単一の行列 Rで表すことができる線形仮説を検定するために使用されます。次の形式の非線形仮説を検定したい場合:

${\displaystyle H_{0}:c(\theta )=0}$

${\displaystyle H_{1}:c(\theta )\neq 0}$

検定統計量は次のようになります。

${\displaystyle c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\left[c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\left({\hat {V}}_{n}/n\right)c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\right]^{-1}c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\quad {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2}}$

ここで、 はサンプル推定値で評価された c の導関数です。この結果は、分散の一次近似を使用する デルタ法を使用して得られます。${\displaystyle c'({\hat {\theta }}_{n})}$

分散の近似値を使用するという事実は、ワルド統計量が仮説の非線形変換/再パラメータ化に対して不変ではないという欠点がある。つまり、質問の表現方法によっては、同じ質問に対して異なる答えが得られる可能性がある。^{[15] [5]}たとえば、R = 1かどうかを尋ねることは、log R = 0 かどうかを尋ねることと同じです  が、R = 1のワルド統計量は、log R = 0 のワルド統計量と同じではありません （一般に、 Rとlog  R の標準誤差の間には明確な関係がないため、近似値にする必要があるためです）。^[16]

ワルド検定の代替として、尤度比検定やラグランジュ乗数検定（スコア検定とも呼ばれる）などがある。ロバート・F・エングルは、ワルド検定、尤度比検定、ラグランジュ乗数検定の3つの検定 が漸近的に同等であることを示した。^[17]これらは漸近的に同等であるが、有限のサンプルでは、​​異なる結論につながるほど相違する可能性がある。

尤度比検定やラグランジュ乗数をワルド検定よりも優先する理由はいくつかある。^{[18] [19] [20]}

• 非不変性: 上で述べたように、ワルド検定は再パラメータ化に対して不変ではないが、尤度比検定はR、log  R 、またはRの他の単調変換の いずれを使用してもまったく同じ答えを出す。^[5]
• もう 1 つの理由は、ワルド検定では 2 つの近似値 (標準誤差またはフィッシャー情報と最大尤度推定値がわかっている) が使用されるのに対し、尤度比検定では帰無仮説と対立仮説の下での尤度関数の比のみに依存することです。
• ワルド検定では、最大化引数を用いた推定値が必要であり、これは「完全」モデルに対応する。場合によっては、帰無仮説の下ではモデルが単純になるため、スコア検定（ラグランジュ乗数検定とも呼ばれる）を使用する方がよい場合もある。スコア検定は、最大化要素の変動を推定するのが難しい場合や、最大尤度推定量に従って推定値を計算するのが難しい場合に定式化できるという利点がある。たとえば、コクラン・マンテル・ヘンツェル検定はスコア検定である。^[21]

• チャウテスト
• 連続確率比検定
• Sup-Wald テスト
• スチューデントのt検定
• ウェルチのt検定

• グリーン、ウィリアム H. (2012)。計量経済分析（第 7 国際版）。ボストン: ピアソン。pp. 155–161。ISBN 978-0-273-75356-8。
• クメンタ、ヤン(1986)。『計量経済学の要素』（第2版）。ニューヨーク：マクミラン。pp. 492–493。ISBN 0-02-365070-2。
• Thomas, RL (1993).入門計量経済学: 理論と応用(第2版). ロンドン: ロングマン. pp. 73–77. ISBN 0-582-07378-2。

• 数学用語の最も古い使用例に関するワルドテスト