標本分布

統計学 において、標本分布または有限標本分布とは、与えられたランダム標本に基づく統計量の確率分布のことです。複数の観測値（データ点）を含む各標本が、標本ごとに統計量の値（例えば、標本平均や標本分散）を計算するために個別に使用される、任意の数の標本について、標本分布は、その統計量が取る値の確率分布となります。多くの場合、観測されるのは1つの標本（つまり、観測値の集合）だけですが、標本分布は理論的に求めることができます。

標本分布は統計学において重要です。なぜなら、標本分布は統計的推論を行う上で大きな簡略化をもたらすからです。より具体的には、標本分布を用いることで、個々の標本値の同時確率分布ではなく、統計量の確率分布に基づいて分析を行うことが可能になります。

統計量の標本分布とは、ランダムな標本サイズから得られた統計量の分布を、確率変数として捉えた場合の分布のことである。${\displaystyle n}$これは、与えられた標本サイズで同じ母集団から抽出されたすべての可能な標本に対する統計量の分布と考えることができます。標本分布は、母集団の基礎となる分布、考慮される統計量、採用された標本抽出手順、および使用される標本サイズに依存します。標本分布が漸近分布によって近似できるかどうかは、しばしば大きな関心を集めます。漸近分布とは、無限母集団から抽出され、分布を生成するために使用される有限サイズのランダム標本の数が無限大に近づく場合、または同じ母集団から同じ無限サイズの「標本」が1つだけ抽出される場合の極限ケースに対応します。

例えば、平均が正規分布に従う母集団を考えてみましょう。${\displaystyle \mu }$および分散$\displaystyle \sigma ^{2}}$この母集団から一定サイズの標本を繰り返し抽出し、算術平均を計算すると仮定します。${\displaystyle {\bar {x}}}$各サンプルについて、この統計量は標本平均と呼ばれます。これらの平均値の分布は「標本平均の標本分布」と呼ばれます。この分布は正規分布です。${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)}$（nはサンプルサイズ）母集団は正規分布に従うため、標本分布は母集団分布が正規分布に従わない場合でも正規分布に近い値になることがあります（中心極限定理を参照）。標本平均の代替として標本中央値があります。同じ母集団から計算した場合、標本中央値は平均とは異なる標本分布を持ち、一般的に正規分布には従いません（ただし、サンプルサイズが大きい場合は正規分布に近い値になることがあります）。

正規分布を持つ母集団からの標本の平均は、最も単純な統計的母集団の1 つから得られた単純な統計量の例です。他の統計量や他の母集団の場合、式はより複雑で、多くの場合、閉じた形式では存在しません。このような場合、標本分布はモンテカルロシミュレーション^{[ 1 ]}ブートストラップ法、または漸近分布理論によって近似することができます。

統計量の標本分布の標準偏差は、その統計量の標準誤差と呼ばれます 。統計量が標本平均であり、標本が無相関である場合、標準誤差は次のようになります。 $$\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$$ どこ${\displaystyle \sigma }$は、その量の母集団分布の標準偏差であり、${\displaystyle n}$はサンプルサイズ（サンプルに含まれる項目の数）です。

この公式の重要な意味合いは、測定誤差を半分（1/2）に抑えるためには、サンプルサイズを4倍（4倍）にする必要があるということです。コストが重要な要素となる統計研究を設計する際には、この点が費用対効果のトレードオフを理解する上で役立つ可能性があります。

統計量が標本合計であり、標本間に相関がない場合、標準誤差は次のようになります。 $$\displaystyle \sigma _{\Sigma x}=\sigma {\sqrt {n}}}$$ そこでは、${\displaystyle \sigma }$は、その量の母集団分布の標準偏差であり、${\displaystyle n}$はサンプルサイズ（サンプルに含まれる項目の数）です。

• Merberg, A. および SJ Miller (2008). 「中央値の標本分布」 .数学 162: 数理統計学の講義ノート、1-9 ページ。

• 正規分布母集団における様々な統計量（例：Σ x ²）の標本分布を示すMathematicaのデモンストレーション