フリードマンテスト

フリードマン検定は、ミルトン・フリードマンによって開発されたノンパラメトリック 統計検定である。^{[1] [2] [3]}パラメトリック反復測定分散分析と同様に、複数の検定試行における処理の違いを検出するために使用される。この手順では、各行（またはブロック）をまとめて順位付けし、次に列ごとに順位の値を考慮する。完全ブロック設計に適用できるため、ダービン検定の特殊なケースである。

典型的な使用例は次のとおりです。

• ${\textstyle n}$ワイン審査員はそれぞれ異なるワインを評価します。他のワインよりも一貫して高い評価または低い評価を受けているワインはありますか?${\textstyle k}$${\textstyle k}$
• ${\textstyle n}$溶接工はそれぞれ溶接トーチを使用し、その後の溶接の品質を評価しました。どのトーチでも一貫して優れた溶接、または劣った溶接が得られるでしょうか?${\textstyle k}$${\textstyle k}$

フリードマン検定は、順位による一元配置反復測定分散分析に使用されます。順位の使用法は、クラスカル・ワリスの一元配置順位による分散分析に似ています。

フリードマン検定は、多くの統計ソフトウェア パッケージで広くサポートされています。

1. データ、つまり行(ブロック)、列 (処理)、および各ブロックと処理の交差点にある単一の観測値を含む行列が与えられた場合、各ブロック内の順位を計算します。同点値がある場合は、同点値ごとに、同点がない場合に割り当てられる順位の平均を割り当てます。データを、エントリがブロック内のの順位である新しい行列に置き換えます。${\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle i}$
2. 価値を見つける${\displaystyle {\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}}$
3. 検定統計量は で与えられる。 の値はデータ内の同点値に合わせて調整する必要があることに注意してください。^[4]${\displaystyle Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}}$${\textstyle Q}$
4. 最後に、またはが大きい場合（つまり、 または）、の確率分布はカイ二乗分布の確率分布で近似できます。この場合、p値はで与えられます。またはが小さい場合、カイ二乗への近似は不十分になり、p値はフリードマン検定用に特別に用意されたの表から取得する必要があります。 p値が有意 である場合、適切な事後多重比較検定が実行されます。${\textstyle n}$${\textstyle k}$${\textstyle n>15}$${\textstyle k>4}$${\textstyle Q}$${\displaystyle \mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)}$${\textstyle n}$${\textstyle k}$${\textstyle Q}$

• バイナリ応答にこの種の設計を使用する場合は、代わりにCochran の Q テストを使用します。
• 符号検定（両側検定）は、2 つのグループに対するフリードマン検定と同等です。
• Kendall の W は、と の間の Friedman 統計量の正規化です。${\textstyle 0}$${\textstyle 1}$
• ウィルコクソンの符号順位検定は、2 つのグループのみからの独立していないデータのノンパラメトリック検定です。
• Skillings-Mack テストは、任意の欠損データ構造を持つほぼすべてのブロック設計で使用できる一般的な Friedman タイプの統計です。
• Wittkowski検定は、Skillings-Mack検定に似た一般的なFriedman型統計です。データに欠損値が含まれていない場合は、Friedman検定と同じ結果が得られます。しかし、データに欠損値が含まれている場合は、Skillings-Mack検定よりも精度と感度が高くなります。^[5]

事後検定は、グループの平均順位差に基づいて、どのグループが互いに有意に異なるかを決定するために、 SchaichとHamerle（1984）^[6]とConover（1971、1980）^[7]によって提案されました。これらの手順は、Bortz、Lienert、Boehnke（2000、p.275）に詳細に説明されています。^[8] Eisinga、Heskes、Pelzer、Te Grotenhuis（2017）^[9]は、Rで実装されたFriedman順位和のペアワイズ比較の正確検定を提供しています。Eisinga cs正確検定は、特にグループ数（）が大きく、ブロック数（）が少ない 場合に、利用可能な近似検定よりも大幅に改善されています。${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

すべての統計パッケージがフリードマン検定の事後分析をサポートしているわけではないが、これらの機能を提供するユーザー提供のコードが存在する（例えば、SPSS 、 [ ^10]やR ^{[11] ）。また、} Rにはフリードマン検定後の事後分析のための多数のノンパラメトリック手法を含む専用パッケージが存在する。 ^[12]

• ダニエル、ウェイン W. (1990)。「フリードマンの2元配置分散分析の順位付け」。応用ノンパラメトリック統計(第2版)。ボストン: PWS-Kent。pp. 262–74。ISBN 978-0-534-91976-4。
• ケンドール、MG（1970）。順位相関法（第4版）。ロンドン：チャールズ・グリフィン。ISBN 978-0-85264-199-6。
• Hollander, M.; Wolfe, DA (1973).ノンパラメトリック統計学. ニューヨーク: J. Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8。
• シーゲル, シドニー;カステラン、N. ジョン ジュニア (1988)。行動科学のためのノンパラメトリック統計 (第 2 版)。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-100326-1。