カイ二乗分布に関する証明

以下はカイ二乗分布に関連するいくつかの特性の証明です。

ランダム変数Y をY = X ²と定義します。ここで、X は平均 0 および分散 1 の正規分布に従います(つまり、X  ~  N (0,1))。

それから、
${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{for}}~y<0,&~~F_{Y}(y)=P(Y<y)=0~~{\text{そして}}\\{\text{for}}~y\geq 0,&~~F_{Y}(y)=P(Y<y)=P(X^{2}<y)=P(|X |<{\sqrt {y}})=P(-{\sqrt {y}}<X<{\sqrt {y}})\\~~&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X }(-{\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}})-(1-F_{X}({\sqrt {y}}))=2F_{X}({\sqrt {y}})-1\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&={\tfrac {d}{dy}}F_{Y}(y)=2{\tfrac {d}{dy}}F_{X}({\sqrt {y}})-0=2{\frac {d}{dy}}\left(\int _{-\infty }^{\sqrt {y}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt\right)\\&=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {y}{2}}}({\sqrt {y}})'_{y}=2{\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\left({\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\right)\\&={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}y^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\end{aligned}}}$

ここで、およびは対応するランダム変数の cdf と pdf です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

それから${\displaystyle Y=X^{2}\sim \chi _{1}^{2}.}$

単調変換に対する変数変換式（上記で暗黙的に導出された）は次のようになります。 ${\displaystyle y=g(x)}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

この場合、変化は単調ではありません。なぜなら、 のあらゆる値には、対応する の値が 2 つ（正と負）あるからです。しかし、対称性のため、両方の半分は同じように変換されます。つまり、 ${\displaystyle \scriptstyle Y}$${\displaystyle \scriptstyle X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

この場合、変換は であり、その導関数は ${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

それで、ここに:

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

そして、ガンマ関数の特性に注目すると、 カイ二乗分布が得られます。${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$

自由度が 2 のカイ二乗分布を導出する方法はいくつかあります。ここでは、自由度が 1 の分布に基づく方法を紹介します。

およびが、およびを満たす 2 つの独立変数であると仮定すると、およびの確率密度関数はそれぞれ次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\sim \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle Y\sim \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}x^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x}{2}}}}$

そしてもちろん です。すると の結合分布を導くことができます。 ${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(y)}$${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle f(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)={\frac {1}{2\pi }}(xy)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}}$

ここで。さらに^{[説明が必要]}、 および とすると、次のようになります。 ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})^{2}=\pi }$${\displaystyle A=xy}$${\displaystyle B=x+y}$

${\displaystyle x={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

そして

${\displaystyle y={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

あるいは逆に

${\displaystyle x={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

そして

${\displaystyle y={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

2 つの変数変更ポリシーは対称的であるため、上側のポリシーを取り、その結果に 2 を掛けます。ヤコビ行列式は次のように計算できます^{[説明が必要]} :

${\displaystyle \operatorname {Jacobian} \left({\frac {x,y}{A,B}}\right)={\begin{vmatrix}-(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1+B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1-B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\\end{vmatrix}}=-(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

^{ここで、 [説明が必要]}に 変更することができます: ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f(A,B)}$

${\displaystyle f(A,B)=2\times {\frac {1}{2\pi }}A^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {B}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

ここで、先頭の定数 2 は、2 つの変数変更ポリシーの両方を考慮に入れるためのものです。最後に、^{[明確化が必要] を}積分しての分布を取得します。 つまり、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle f(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {B^{2}}{4}}A^{-{\frac {1}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}dA}$

代入すると次のようになります。 ${\displaystyle A={\frac {B^{2}}{4}}\sin ^{2}(t)}$

${\displaystyle f(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\,dt}$

結果は次のとおりです。

${\displaystyle f(B)={\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2}}}$

k次元空間内の 1 つの点を表すk 個のサンプルを考えてみましょう。自由度kのカイ二乗分布は次のように表されます。 ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle P(Q)\,dQ=\int _{\mathcal {V}}\prod _{i=1}^{k}(N(x_{i})\,dx_{i})=\int _{\mathcal {V}}{\frac {e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\,dx_{1}\,dx_{2}\cdots dx_{k}}$

ここで、は標準正規分布であり、はQ ( x )における要素殻体積であり、 k空間 における( k  − 1)次元表面に比例し、${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}}$

この表面はk次元の球、または 半径 のn  =  k - 1 であるn 次元球の表面であり、指数の項は単にQで表現されることがわかります。これは定数なので、積分内から削除できます。 ${\displaystyle R={\sqrt {Q}}}$

${\displaystyle P(Q)\,dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\int _{\mathcal {V}}dx_{1}\,dx_{2}\cdots dx_{k}}$

積分は単純に（k − 1）球の表面積A と球の無限小厚さの積分となり、

${\displaystyle dR={\frac {dQ}{2Q^{1/2}}}.}$

( k  − 1)球の面積は:

${\displaystyle A={\frac {2R^{k-1}\pi ^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}}$

を代入し、 であることを認識し、項を消去すると次のようになります。 ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

${\displaystyle P(Q)\,dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}A\,dR={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}\,dQ}$