不完全ガンマ関数

数学において、上側不完全ガンマ関数と下側不完全ガンマ関数は、特定の積分などのさまざまな数学の問題の解として生じる特殊関数の一種です。

それぞれの名前は、ガンマ関数と同様に定義されていますが、異なる、または「不完全な」積分限界を持つ積分定義に由来しています。ガンマ関数は、ゼロから無限大までの積分として定義されます。これは、ゼロから可変の上限までの積分として定義される下側不完全ガンマ関数とは対照的です。同様に、上側不完全ガンマ関数は、可変の下限から無限大までの積分として定義されます。

上側の不完全ガンマ関数は次のように定義されます。 一方、下側の不完全ガンマ関数は次のように定義されます。 どちらの場合も、s は複素パラメータであり、sの実部は正になります。 $${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}$$$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}$$

部分積分により 、 再帰関係が 見つかります。 通常のガンマ関数は 次 のように定義されるので 、 $${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$$$${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$$$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$$${\displaystyle \ガンマ (s,x)+\ガンマ (s,x)=\ガンマ (s)。}$$

上で正の実数sとxに対して定義した下不完全ガンマ関数と上不完全ガンマ関数は、xとs の両方に関して、複素数xとsのほぼすべての組み合わせに対して定義される正則関数に展開できます。^[1]複素解析は、実数不完全ガンマ関数の特性が正則関数にどのように拡張されるかを示しています。

下側不完全ガンマ関数に対する漸化式を繰り返し適用すると、次のべき級数展開が得られる: ^[2] k → ∞のときにΓ( z + k )の絶対値 が急速に増加すること、およびΓ( z )の逆数が整関数であることから、右端の和の係数は明確に定義され、局所的にはすべての複素sおよびxに対して和は一様に収束する。ワイエルシュトラスの定理^[3]により、 と表記されることもある極限関数^{[4] は}、z (固定sの場合) およびs (固定zの場合)の両方に関して整で あり、 ^[1]ハートークの定理によりC × C上で正則である。^[5]したがって、次の分解^{[1]により、実下側不完全ガンマ関数が、} zおよびsに関して共同および個別に、正則関数 として拡張される。およびΓ 関数の特性から、最初の 2 つの因子は( z = 0またはsが非正の整数の場合) の特異点を捉え、最後の因子は のゼロに寄与することがわかります。$${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$ $${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$ $${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),}$$${\displaystyle z^{s}}$${\displaystyle \gamma (s,z)}$

複素対数 log z = log | z | + i arg zは2 πiの倍数までしか決まらず、多値となります。複素対数を含む関数は通常この特性を継承します。これらの中には複素べき乗があり、その分解にz ^sが現れることからγ関数もこれに含まれます。

多値関数の不確定性により、値の選択方法を指定する必要があるため、複雑さが生じます。これに対処する戦略は次のとおりです。

• （最も一般的な方法）多価関数の領域CをC × Cの適切な多様体、いわゆるリーマン面によって置き換える。これにより多価性が除去されるが、その背後にある理論を知っておく必要がある。^[6]
• 多値関数が個別の単一値ブランチに分解され、個別に処理できるようにドメインを制限します。

このセクションの数式を正しく解釈するには、次の一連の規則を使用できます。特に指定がない限り、次のことが前提となります。

C内の頂点がz = 0であるセクターは、しばしば複素表現の適切な定義域であることが証明されています。セクターD は、 z ≠ 0かつα − δ < arg z < α + δ（ただし、何らかのαおよび0 < δ ≤ π ）を満たすすべての複素zから構成されます。 α は任意に選択できることが多く、その場合は指定されません。 δが指定されていない場合はπであると見なされ、セクターは実際には平面C全体ですが、 z = 0を起点として− αの方向を指す半直線（通常は分岐カットとして機能します）は例外です。 注: 多くのアプリケーションおよびテキストでは、α は暗黙的に 0 とみなされ、セクターは正の実軸の周りに中心が置かれます。

特に、任意のセクター D 上に、虚部が範囲( α − δ、α + δ )に制限された単値の正則対数が存在する。このような制限された対数に基づくと、z ^sと不完全ガンマ関数は、 D (またはC × D )上の単値の正則関数に縮小され、 D 上の多値関数のブランチと呼ばれる。2 πの倍数をαに追加すると、同じセットD上の相関ブランチの異なるセットが生成されます。ただし、ここでの任意のコンテキストでは、αは固定であると想定され、関連するすべてのブランチがそれに関連付けられています。| α | < δの場合、ブランチは、正の実軸上の実際の類似物に等しいため、主ブランチと呼ばれます。注: 多くのアプリケーションとテキストでは、公式は主ブランチに対してのみ有効です。

複素べき関数と下側不完全ガンマ関数の異なる枝の値は、 kを適切な整数 として、^[1]の乗算によって互いに導くことができます。${\displaystyle e^{2\pi iks}}$

上記の分解はさらに、γ がz = 0付近で 漸近的に次のように振舞うことを示しています。 $${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

正の実数x、y、sに対して、( x、y ) → (0、s )のとき、x ^y /y → 0です。これは、実数s > 0に対してγ ( s、 0) = 0と設定することを正当化しているように見えます。しかし、複素数領域では状況が多少異なります。 (a) sの実部が正であり、 (b) 値u ^vが有限の枝の集合からのみ取得される場合に限り、それらは( u、v ) → (0、s )としてゼロに収束することが保証され、 γ ( u、v )も同様です。 γ ( b )の単一の枝では自然に満たされるため、正の実部を持つsに対してγ ( s、 0) = 0は連続極限です。また、このような継続は決して解析的なものではないことにも注意してください。

実数γ ( s , z )で観察されるすべての代数関係と微分方程式は、その正則な対応物にも当てはまります。これは、実区間で有効な正則関数間の方程式はどこでも成り立つという恒等定理の結果です。特に、再帰関係^[2]と∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z [2]}は、対応する枝で保存されます。

最後の関係式は、s を固定すると、γ は正則関数z ^{s −1} e ^{− z}の原始的または不定積分であることを示しています。したがって、任意の複素u、v ≠ 0に対して、 積分経路が被積分関数の枝の領域に完全に含まれている 限り、が成り立ちます。さらに、 sの実部が正の場合、 u → 0に対して極限γ ( s、u ) → 0 が適用され、最終的にγの複素積分定義に到達します^[1] $${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$ $${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

先頭にのみ 0 を含む積分パス、またはそれ以外は被積分関数のブランチのドメインに制限される積分パスは、ここでは有効です。たとえば、 0とz を結ぶ直線などです。

γの主枝の積分表現が与えられると、すべての正の実数s、xに対して次の式が成り立つ: ^[7] $${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

この結果は複素数sに拡張されます。まず1 ≤ Re( s ) ≤ 2かつ1 < a < bと仮定します。すると となり、 途中 で^{[8]が使用されています。} aが十分に大きい場合のみ最終積分が任意に小さくなるため、γ ( s , x )はストリップ1 ≤ Re(s) ≤ 2上でx → ∞に対して正則関数^[3]に一様収束します。これは恒等定理により Γ(s) でなければなりません。再帰関係γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x}の極限を取り、x → ∞およびすべてのnに対してlim x ⁿ e ^{− x} = 0 であることに注目すると、γ ( s , x ) はストリップの外側でも Γ 関数の再帰関係に従う関数に収束することが示されます。これは、 正でない整数でないすべての複素数s 、実数x 、および主 γ に対して当てはまります。$${\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt}$$ $${\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

ここで、uをセクター| arg z | < δ < π /2から、 δを固定して( α = 0 )、γをこのセクターの主枝とし、 $${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$$

上で示したように、 | u |が十分に大きい場合、最初の差は任意に小さくすることができます。 2 番目の差により、次の推定が可能になります。 ここで、 γ の積分表現と上記の| z ^s |に関する式を使用しました。 uと| u |を結ぶ半径R = | u |の円弧に沿って0 の周りを積分すると、最後の積分は次の ようになります。 ここで、 M = δ (cos δ ) ^{−Re s} e ^{Im sδ}はuやRに依存しない定数です。 再び、大きなxに対するx ⁿ e ^{− x}の挙動を参照すると、 R が∞に向かって増加するにつれて、最後の式は 0 に近づくことがわかります。 合計すると、次のようになります。 s が非負の整数でない 場合、 0 < ε < π /2は任意に小さいですが固定されており、γ はこのドメインの主枝を示します。 $${\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}$$$${\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}$$

${\displaystyle \gamma (s,z)}$は：

• 固定された正の整数sの場合、 zは整数。
• 整数でない固定sに対してzの多値正則で、z = 0に分岐点がある。
• 各枝は固定されたz ≠ 0に対してsに関して有理型であり、非正の整数 s に単純な極を持つ。

上側不完全ガンマ関数に関しては、右辺が存在する 点( s , z )において、 zまたはsに関する正則拡大が^[1]によって与えられます。は多価であるため、 についても同じことが当てはまりますが、主値に制限すると、 の単一値の主枝のみが生成されます。 $${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

上記の式でs が非正の整数である場合、差のどちらの部分も定義されず、ここでs → 0に対して展開される極限プロセスによって、欠損値が埋められます。複素解析により、 は固定されたzに対してその極限の近傍で有界であることが証明されるため、正則性が保証されます。 ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

極限を決定するには、z = 0におけるのべき級数が役立ちます。の積分定義で のべき級数を で置き換えると、次式が得られます (今のところ x、s は正の実数と仮定します)。 または^[4] これは、関数全体の級数表現として、すべての複素数x (および非正の整数でない すべての複素数s ) に対して収束します。${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$$ $${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$

実数値への制限が解除されると、この級数は次のように展開できるようになります。 $${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$$

s → 0のとき: ^[9] (はオイラー・マスケローニ定数)、したがって は s → 0 としての上不完全ガンマ関数の極限関数であり、指数積分としても知られています。^[10]$${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$$ ${\displaystyle E_{1}(z)}$

再帰関係により、正の整数nに対するの値は、この結果から導くことができる。^[11]したがって、上側不完全ガンマ関数は、すべてのsおよびz ≠0に対して、 zとsの 両方に関して存在し、正則であることが証明される。 ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$ $${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$は：

• 固定された正の整数sの場合、 z 軸方向に全体。
• 固定されたs がゼロ以外かつ正の整数でない場合、zの多値正則であり、 z = 0に分岐点がある。
• は、実部が正でz = 0 ( のときの極限) であるsに対してに等しいが、これは連続的な拡張であり、解析的な拡張ではない(は実数s < 0に対しては成立しない!)。${\displaystyle \Gamma (s)}$${\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}$
• 各枝はsにおいてz ≠ 0を固定して完全である。

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$sが正の整数の場合、
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$sが正の整数の場合、^[12]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$、
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$、
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$、
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$のために、${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$、
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$、
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$。

ここ で、は指数積分、は一般化指数積分、は誤差関数、 は相補誤差関数です。${\displaystyle \operatorname {Ei} }$${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}$として、${\displaystyle x\to 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}$（実数sに対して、Γ( s , x ) ~ − x ^s / sの誤差は、 s ≠ −1の場合にはO ( x ^{min{ s + 1, 0}} )程度、s = −1の場合にはO (ln( x ))程度である）、${\displaystyle x\to 0}$${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}$漸近級数として表される。[ ^13]${\displaystyle x\to 0^{+}}$${\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$
• ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}$漸近級数として、および、、、ここでオイラー・マスケローニ定数である。^[13]${\displaystyle x\to 0^{+}}$${\displaystyle N=1,2,\dots }$${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}$として、${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}$として、${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$漸近級数として表される。[ ^14]${\displaystyle |z|\to \infty }$${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

下ガンマ関数はべき級数展開を使って評価できる: ^[15] ここで はポッホハマー記号である。 $${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$$${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

別の展開は、 Mがクンマーの合流型超幾何関数 であるときです。 $${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$$

zの実部が正のとき、 は無限大の収束半径を持ちます。 $${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$$$${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

再び合流型超幾何関数とクンマーの恒等式を用いると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}$$

実際の数値の計算では、ガウスの連分数が便利な展開を提供します。 $${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

この連分数は、s が負の整数でない 限り、すべての複素数zに対して収束します。

上ガンマ関数は連分数^[16] と^{[要出典]を持つ。}$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

次の乗法定理が成り立つ^[要出典]： $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).}$$

不完全ガンマ関数は、さまざまなコンピュータ代数システムで利用できます。

ただし、直接利用できない場合でも、スプレッドシート(およびコンピュータ代数パッケージ) に一般的に含まれている関数を使用して、不完全な関数値を計算できます。たとえば、 Excelでは、ガンマ関数とガンマ分布関数 を組み合わせて計算できます。

• 下の不完全関数: 。${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)
• 上の不完全関数: 。${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

これらはガンマ分布の累積分布関数の定義から導かれます。

Pythonでは、Scipy ライブラリが における不完全ガンマ関数の実装を提供しますscipy.specialが、最初の引数の負の値はサポートされていません。mpmathgammaincライブラリの関数は、すべての複素引数をサポートします。

関連する 2 つの関数は、正規化されたガンマ関数です。 これは、形状パラメーターとスケール パラメーターが 1 であるガンマ ランダム変数の累積分布関数です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle P(s,x)}$ ${\displaystyle s}$

が整数のとき、 はポアソン確率変数の累積分布関数です。 が確率変数のとき、 ${\displaystyle s}$${\displaystyle Q(s+1,\lambda )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}$$${\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}$$

この式は部分積分を繰り返すことで導き出すことができます。

安定したカウント分布のコンテキストでは、パラメータはレヴィの安定性パラメータ の逆数として考えることができます。 ここで、 は形状 の標準的な安定したカウント分布です。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle Q(s,x)=\int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu ,\quad (s>1)}$$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle \alpha =1/s<1}$

${\displaystyle P(s,x)}$scipyでは^[17]と^[18]として実装されています。 ${\displaystyle Q(s,x)}$gammaincgammaincc

上記の積分表現を使用すると、上不完全ガンマ関数のxに関する導関数は 、次のようになります。 1 番目の引数に関する導関数は^[19]で与えられ 、2 番目の導関数は で 与えられます。 ここで、関数はMeijer G 関数の特殊なケースです。 この特定の特殊なケースは、すべての連続する導関数を表現するために使用できるため、独自の内部閉包特性を持っています。一般に、 はPochhammer 記号によって定義される置換です。 このようなすべての導関数は、次から連続して生成できます 。 および この関数は、が負の整数またはゼロではない ことを理解すれば、 に対して有効な級数表現から計算できます。このような場合、極限を使用する必要があります。 の結果は、解析接続によって取得できます。この関数のいくつかの特殊なケースは簡略化できます。たとえば、、で、 は指数積分です。これらの導関数と関数は、上不完全ガンマ関数の積分定義を繰り返し微分することにより、いくつかの積分の正確な解を提供します。^{[20] [21]} 例えば、 この式はさらに拡張または一般化して、ラプラス変換やメリン変換の膨大なクラスにすることができます。コンピュータ代数システムと組み合わせると、特殊関数の利用により、特に実用的なエンジニアリングアプリケーションで遭遇する定積分を解く強力な方法が得られます（詳細については記号積分を参照してください）。 ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$$${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}$$${\displaystyle T(m,s,x)}$ $${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$$${\displaystyle P_{j}^{n}}$$${\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}}$$${\displaystyle T(m,s,x)}$${\displaystyle |z|<1}$$${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}}$$${\displaystyle |z|\geq 1}$${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}$${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}$${\displaystyle T(m,s,x)}$$${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$