レギュラーカテゴリー

圏論において、正則圏とは、核対と呼ばれるすべての射の対の有限極限と共等化子を持ち、特定の正確性条件を満たす圏である。このように、正則圏は、加法性を必要とせずに、像の存在など、アーベル圏の多くの特性を再現する。同時に、正則圏は、正則論理として知られる 一階述語論理の断片の研究の基礎を提供する。

カテゴリCは、次の3つの性質を満たす場合、正則カテゴリと呼ばれます。 ^[1]

• C は有限完全です。
• f  :  X  →  YがCの射で あり、

がプルバックである場合、 p ₀、p ₁の共等化子が存在します。ペア ( p ₀、  p _{1 ) は}fのカーネルペアと呼ばれます。プルバックであるため、カーネルペアは一意の同型を除いて一意です。

• f  :  X  →  YがCの射で あり、

は引き戻しであり、f が正則エピモーフィズムであれば、gも正則エピモーフィズムです。正則エピモーフィズムとは、いくつかの射のペアの共等化子として現れるエピモーフィズムです。

通常のカテゴリの例は次のとおりです。

• 集合、集合と集合間の関数のカテゴリ
• より一般的には、あらゆる基本トポス
• Grp 、群と群準同型のカテゴリ
• 環と環準同型のカテゴリ
• より一般的には、あらゆる種類のモデルのカテゴリ
• 任意の有界なmeet-semilatticesは、順序関係によって与えられる射を持つ
• すべてのアーベル圏

以下のカテゴリは正規ではありません:

• Top 、位相空間と連続関数のカテゴリ
• Cat 、小さなカテゴリと関数のカテゴリ

正則カテゴリでは、正則エピモーフィズムと単射は因数分解システムを形成します。すべての射f:X→Y は、正則エピモーフィズム e:X→Eとそれに続く単射 m:E→Yに因数分解できるため、f=meとなります。この因数分解は、e':X→E'が別の正則エピモーフィズムで、m':E'→Yがf=m'e'となる別の単射である場合、 he=e'かつm'h=mとなる同型 h:E→E'が存在するという意味で一意です。単射m はfの像と呼ばれます。

正則圏において、図式が共等化子と核対の両方である場合、それは完全列であると言われる。この用語はホモロジー代数における完全列の一般化である。アーベル圏において、図式は、 ${\displaystyle R\rightrightarrows X\to Y}$

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

が通常の意味での 短完全列である場合に限り、この意味では正確である。${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$

正則カテゴリ間の関数は、有限の極限と核ペアの共等化子を保存する場合、正則と呼ばれます。関数が正則となるのは、有限の極限と正確なシーケンスを保存する場合のみです。このため、正則関数は、正確な関数と呼ばれることもあります。有限の極限を保存する関数は、左正確であると言われることがよくあります。

正規論理は、次のような文を表現できる 一階述語論理の一部である。

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$、

ここで、 およびは正規の公式、すなわち原子公式、真理定数、二項結合（連言）、および存在量化から構築された公式である。このような公式は正規のカテゴリで解釈することができ、の解釈を通して因子の解釈が可能であるならば、解釈はシークエントのモデルである。^[2] これにより、各理論（シークエントの集合）Tに対して、各正規のカテゴリCに対して、 CにおけるTのモデルのカテゴリMod ( T ,C)が得られる。この構成により、小さな正規のカテゴリのカテゴリRegCatから、および小さなカテゴリへの正規の関数Mod ( T ,-): RegCat → Catが得られる。各理論Tに対して正規のカテゴリR(T)が存在し、各正規のカテゴリCに対して同値が存在することは重要な結果である。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)}$、

これはCにおいて自然である。ここで、R(T)は正則理論Tの分類圏と呼ばれる。同値性を除き、任意の小さな正則圏はこのようにして何らかの正則理論の分類圏として生じる。^[2]

同値関係の理論は正則理論です。正則カテゴリのオブジェクト上の同値関係は、反射性、対称性、推移性の条件の解釈を満たす への単射です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$

すべてのカーネルペアは同値関係を定義します。逆に、同値関係はカーネルペアとして発生する場合、有効であると言われます。 ^[3] 同値関係は、共等化子を持ち、それがこのカーネルペアである場合にのみ有効です。 ${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$

正則圏は、すべての同値関係が有効である場合、正確である、またはBarrの意味で正確である、あるいは有効正則であると言われる。 ^{[4] （「正確な圏」という用語は}、Quillenの意味での正確な圏に対しても異なる意味で使用されていることに注意。）

• 集合のカテゴリはこの意味で正確であり、任意の（基本）トポスも同様です。すべての同値関係には共等化子があり、同値類を取ることで見つかります。
• すべてのアーベルカテゴリは正確です。
• 集合のカテゴリに対してモナド的なすべてのカテゴリは正確です。
• 石の空間のカテゴリは規則的ですが、正確ではありません。

• 寓話（カテゴリー理論）
• トポス
• 正確な完了