テンソル代数

余代数は、余積または対角演算子を定義することによって得られる。

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

ここ、${\displaystyle TV}$は略語として使用されます${\displaystyle T(V)}$括弧の爆発を避けるため。${\displaystyle \boxtimes }$記号は、余代数の定義に必要な「外部」テンソル積を表すために使用されます。これは、「内部」テンソル積と区別するために使用されています。${\displaystyle \otimes }$これは、テンソル代数における乗算を表すために既に使用されています（この問題に関する詳細な説明については、下記の「乗算」の項を参照してください）。これら2つの記号の混同を避けるため、ほとんどのテキストでは を に置き換えます。${\displaystyle \otimes }$単なる点によって、あるいは文脈から暗示されるという理解のもとで、それを完全に省略することもできます。これにより、${\displaystyle \otimes }$の代わりに使用するシンボル${\displaystyle \boxtimes }$記号。以下ではこの方法は用いられておらず、2つの記号はそれぞれ独立して明示的に使用されているため、それぞれの適切な位置が明確に示されている。結果として多少冗長にはなるが、理解しやすくなるはずだ。

演算子の定義${\displaystyle \Delta }$は、まず要素に対して定義することによって、段階的に構築するのが最も簡単です。${\displaystyle v\in V\subset TV}$そしてそれを代数全体に準同型的に拡張することによって。コ積の適切な選択は次のようになる。

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

そして

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

どこ${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$は場の単位です${\displaystyle K}$線形性により、明らかに

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

すべての人々のために${\displaystyle k\in K.}$この定義が余代数の公理を満たすことは容易に確認できる。すなわち、

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

どこ${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$同一性マップは${\displaystyle TV}$実際、

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

そして反対側も同様である。この時点で補題を持ち出して、次のように言うことができる。${\displaystyle \Delta }$線形性により、自明にすべての${\displaystyle TV}$、 なぜなら${\displaystyle TV}$は自由なオブジェクトであり、${\displaystyle V}$は自由代数の生成子であり、${\displaystyle \Delta }$これは準同型写像です。ただし、明示的な表現を与えることは有益です。したがって、${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$定義により、準同型写像が得られる。

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

拡大すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

上記の展開では、${\displaystyle 1\otimes v}$これは代数におけるごく普通のスカラー乗算なので、自明に次のようになります。${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

上記の拡張では、代数採点が維持されます。つまり、

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

この方法を続けると、次数mの同次要素に作用する余積の明示的な式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,mp)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

どこで${\displaystyle \omega }$記号 ш （sha）は、シャッフル積を表します。これは、すべての( p , m − p )-シャッフルについて取られる第 2 回目の総和で表されます。シャッフルは

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma$ \end{aligned} \{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{は全単射}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{および}}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}

慣例として、Sh( m, 0) と Sh(0, m ) は {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }} に等しいとみなす。また、純粋テンソル積をとることも便利である。 ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$そして${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$p = 0 およびp = m の場合、それぞれ 1 に等しくなります(空の積は${\displaystyle TV}$) シャッフルは、コ代数の第一公理、すなわち要素の相対的な順序から直接導かれる。${\displaystyle v_{k}}$リフルシャッフルでは、順序付けられたシーケンスが保持されます。リフルシャッフルは、順序付けられたシーケンスを、左側と右側の2つの順序付けられたシーケンスに分割するだけです。

同様に、

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

製品がある場所${\displaystyle TV}$、ここで和はすべての部分集合にわたるものである。${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$。

これまでと同様に、代数科目の成績評価は維持されます。

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

共同体${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$これは、代数から場の成分を射影することによって与えられる。これは次のように書ける。${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$のために${\displaystyle v\in V}$そして${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$のために${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$テンソル積による準同型写像により${\displaystyle \otimes }$これは以下まで及ぶ

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

すべての人々のために${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$ この共単位が共代数に必要な公理を満たしていることを検証するのは簡単なことである。

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

これを明示的に扱うと、

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

最後のステップでは同型性を利用した。${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$これは、共単位の定義公理として適切である。

乗算は演算子によって行われます

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

これは、この場合、すでに「内部」テンソル積として与えられています。つまり、

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

つまり、${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$上記から、${\displaystyle \boxtimes }$シンボルを使用する必要があります:${\displaystyle \otimes }$実際には同じものだった${\displaystyle \nabla }$;そして、ここで表記がずさんだと、完全な混乱を招くことになる。これをさらに強調するために、テンソル積${\displaystyle \otimes }$テンソル代数の乗算は${\displaystyle \nabla }$代数の定義で使用される一方、テンソル積は${\displaystyle \boxtimes }$は、余代数における余乗法の定義で必要とされるものです。これら2つのテンソル積は同じものではありません！

代数の単位

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

これは単なる埋め込みなので、

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

その単位がテンソル積と互換性があること${\displaystyle \otimes }$これは「自明」です。これはベクトル空間のテンソル積の標準的な定義の一部にすぎません。つまり、${\displaystyle k\otimes x=kx}$フィールド要素kおよび任意の${\displaystyle x\in TV.}$より詳しく説明すると、結合代数 の公理には、次の2つの準同型写像（または可換図）が必要です。

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

の上${\displaystyle K\boxtimes TV}$、そして対称的に、${\displaystyle TV\boxtimes K}$、 それ

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

ここで、これらの等式の右辺はスカラー積として理解されるべきである。

単位と余単位、乗算と余乗算はすべて互換性条件を満たさなければならない。

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

同様に、この単位は余乗法にも対応しています。

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

上記では同型写像の使用が必要となる。${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$機能するためには、これがないと線形性が失われます。コンポーネントごとに、

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

右辺は同型写像を利用している。

乗算と余単位は互換性があります。

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

xまたはyが要素でない場合${\displaystyle K}$それ以外の場合は、体上でスカラー乗算が成り立つ。${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$ 最も検証が難しいのは、乗算と余乗算の互換性です。

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

どこ${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$要素を交換します。互換性条件は、${\displaystyle V\subset TV}$; 完全な互換性は、すべてのものへの準同型拡張として導かれる。${\displaystyle TV.}$検証手順は冗長だが簡潔である。ここでは最終結果のみを記載する。

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

のために${\displaystyle v,w\in V,}$これに対する明示的な表現は、上記の共代数のセクションで示されました。

対蹠点と乗法および余乗法の互換性には、

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

これは、コンポーネントごとに簡単に検証できます。${\displaystyle k\in K}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

同様に、${\displaystyle v\in V}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

思い出してください

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

そしてそれは

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

いかなる場合でも${\displaystyle x\in TV}$それは​${\displaystyle K.}$

同様の方法で準同型性を用いて、シャッフルに適切な消去符号が対蹠点に挿入されることを確認し、まず互換性条件から始めることができる。${\displaystyle T^{2}V}$そして帰納法を用いて推論を進める。