四面体八面体ハニカム

四面体八面体ハニカム、交互立方ハニカムは、ユークリッド 3 次元空間における準正則空間充填モザイク(またはハニカム)です。これは、正八面体と正四面体が1:2 の比率で 交互に配置されて構成されます。

他の名前には、半立方ハニカム、半立方セルレーション、または正方二蝶形セルレーションなどがあります。ジョン・ホートン・コンウェイは、このハニカムを四八面体、その双対を十二面体と呼んでいます。

R. バックミンスター フラーは、八面体と四面体という2 つの単語を組み合わせて、1 つの八面体 (または 2 つの四角錐) と 2 つの向かい合う四面体で構成される菱形面体であるオクテット トラスを作成しました。

これは頂点推移的であり、各頂点の周囲には8 つの四面体と 6 つの八面体があります。これは辺推移的であり、各辺には 2 つの四面体と 2 つの八面体が交互に配置されています。

幾何学的ハニカムは、多面体または高次元のセルで空間を埋め尽くしたもので、隙間がありません。これは、任意の次元における より一般的な数学的タイリングまたはテッセレーションの例です。

ハニカムは通常、凸型均一ハニカムのように、通常のユークリッド（「平坦」）空間に構築されます。また、双曲型均一ハニカムなどの非ユークリッド空間に構築されることもあります。任意の有限均一多面体をその外接球に投影して、球面空間に均一ハニカムを形成できます。

これは、交互超立方ハニカムと呼ばれる均一なハニカムの無限ファミリーの一部であり、超立方ハニカムの交互として形成され、半超立方体と交差多面体の面で構成されています。また、単純ハニカムと呼ばれる均一なハニカムの別の無​​限ファミリーの一部でもあります。

この 3 次元空間の場合、立方ハニカムが交互に配置され、立方セルが四面体に縮小され、削除された頂点によって八面体の空隙が作成されます。そのため、{4,3,4} 立方ハニカムの半分の頂点 を含む拡張シュレーフリ記号h{4,3,4}で表すことができます。

これに似たハニカムに、回転四面体八面体ハニカムと呼ばれるものがあります。これは、層が 60 度回転しており、四面体と八面体が交互に並ぶのではなく、半分の辺が隣接しています。

四面体八面体ハニカムは、八面体セルの上に四面体を配置することで対称性を倍増でき、四面体と八面体（三角形の裏柱として）で構成される不均一なハニカムを作成できます。その頂点図形は、次数 3 の切頂三角四面体です。このハニカムは、三角切頂四面体ハニカムの双対で、三角切頂四面体セルを備えています。

交互立方ハニカムの場合、辺は軸に平行で、辺の長さは1であり、頂点の直交座標は次のようになります。（すべての整数値： i、j、k 、 i + j + k は偶数）

(私、j、k)

反射構造が 2 つあり、交互に配置された立方体のハニカム構造が多数あります。例:

交互に配置された立方体ハニカムは、八面体の内部から新しい四角い面が作成されるセクションにスライスできます。各スライスには、上向きと下向きの四角錐と、その端にある四面体が含まれます。2 番目のスライス方向には新しい面は必要なく、交互に配置された四面体と八面体が含まれます。このスラブ ハニカムは、セルが不均一であるため、均一ではなく鱗片状のハニカムです。

交互立方ハニカムは、1 組のミラーを互いにマッピングする幾何学的折り畳み操作によって、平面の正方形タイリングに直交投影できます。交互立方ハニカムの投影により、平面の 正方形タイリング頂点配置のオフセット コピーが 2 つ作成されます。

その頂点配置は、A ₃格子またはD ₃格子を表します。^{[2] [3]}この格子は、結晶学では面心立方格子として知られており、その頂点が、可能な限り最高の平均密度を達成する等しい球による最密充填の中心であるため、立方最密充填格子とも呼ばれます。四面体-八面体ハニカムは、単体ハニカムの3次元の場合です。そのボロノイセルは、四面体-八面体ハニカムの立方八面体頂点図の双対である菱形十二面体です。

D⁺
_{3パッキングは、2つのD 3}（またはA ₃）格子の結合によって構築できます。D⁺
_いいえパッキングは偶数次元の格子のみである。キス数は2 ² =4（n<8の場合は2 ^n-1、n=8の場合は240、n>8の場合は2n(n-1)）である。^[4]

∪

Aの^*
₃またはD^*
₃格子（Aとも呼ばれる）⁴
₃またはD⁴
_{3）は、4つのA 3}格子すべての和集合によって構成することができ、二蝶形四面体ハニカムの頂点配置、一様二切頂立方ハニカムの双対ハニカムと同一である。^[5]これは体心立方ハニカム でもあり、2つの立方ハニカムを双対位置で和集合したものである。

∪∪∪= の双対=∪。

Dのキスナンバー^*
₃格子は8 ^[6]であり、そのボロノイ分割は二分円立方ハニカムである。、すべての切頂 八面体ボロノイセルを含む、^[7 ]

[4,3,4]、コクセター群は、均一なハニカムの順列を 15 種類生成します。そのうち 9 種類は、交互立方ハニカムを含む異なる形状を持ちます。拡張立方ハニカム (ランシネーテッド テッセラティック ハニカムとも呼ばれます) は、立方ハニカムと形状的に同一です。

[4,3 ^1,1 ]、コクセター群は、均一なハニカムの 9 つの順列を生成します。そのうち 4 つは、交互立方ハニカムを含む異なる形状を持ちます。

このハニカムはコクセターグループによって構築された5つの異なる均一なハニカム^{[8]のうちの1つである。この対称性は}コクセター・ディンキン図のリングの対称性と掛け合わせることができる。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

カンティック立方ハニカム、カンティック立方セルレーション、または切頂半立方ハニカムは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク状配置(またはハニカム) です。切頂八面体、立方八面体、切頂四面体が1:1:2 の比率で構成さ れています。頂点図形は直方体ピラミッドです。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを切頂四八面体と呼び、その二重半扁平八面体も呼んだ。

 

2 つの異なる均一な構造があり、交互に色分けされた切頂四面体でその構造を見ることができます。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

これは、斜交立方ハニカムと関連しています。菱形立方八面体は切頂八面体に縮小され、立方体は切頂四面体に縮小されます。

ランシック立方ハニカムまたはランシック立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク分割(またはハニカム) です。これは、1:1:2 の比率で菱形立方八面体、立方体、および四面体で構成されます。頂点図形は三角形の錐台で、一方の端に四面体、反対側の端に立方体、台形の側面の周りに 3 つの菱形立方八面体が あります。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを3-RCO-トリルと呼び、その二重のクォーター・キュービルをと呼んでいます。

ランシックキュービックハニカムの双対はクォーターキュービルと呼ばれ、コクセター図で表されます。 、の4つの超平面のうち2つに面を持ち、[4,3 ^1,1 ]対称基本領域。 ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$

セルは、4 つの頂点と中心を使用して、分割された立方体の 1/4 として見ることができます。6 つの辺の周りには 4 つのセルが存在し、3 つの辺の周りには 3 つのセルが存在します。

これは、立方体の 4 分の 1 が交互に四面体になり、残りの半分が菱形立方八面体に拡張された、ランシネーテッド立方ハニカムに関連しています。

このハニカムは、菱形八面体の八角形の中心を使用して、正方形のタイル平面で分割され、正方形のキューポラを作成できます。この鱗状のハニカムは、コクセター図によって表されます。、記号s ₃ {2,4,4}、コクセター表記対称性[2 ⁺ ,4,4]。

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ランシカンティック立方ハニカムまたはランシカンティック立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク(またはハニカム) です。切頂立方八面体、切頂立方体、切頂四面体が1:1:2 の比率で配置され、鏡映蝶形 頂点図形を持ちます。ランシカンテラテッド立方ハニカムと関連があります。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムをf-tCO-トリルと呼び、その二重の半ピラミッドを ピラミディル と呼んでいます。

切頂立方ハニカムの双対は半ピラミッドと呼ばれ、コクセター図で示される。 面は[4,3 ^1,1 ]コクセター群の4つの超平面のうち3つに存在する。 ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$

セルは不規則なピラミッドで、立方体の 1/12または菱形十二面体の 1/24として考えることができます。各セルは 3 つの角と立方体の中心で定義されます。

同様の均一な歪んだアペイロヘドロンも存在しますが、これは頂点の配置は同じですが、三角形と四角形が削除されています。これは、切頂四面体と切頂立方体を組み合わせたものと見ることができます。

回転四面体八面体ハニカム、または回転交互立方ハニカムは、八面体と四面体の比率が 1:2 の ユークリッド 3 次元空間における空間充填タイル張り(またはハニカム)です。

頂点は均一で、各頂点の周りには 8 つの四面体と 6 つの八面体が あります。

辺は均一ではありません。すべての辺には 2 つの四面体と 2 つの八面体がありますが、交互になっているものもあれば、ペアになっているものもあります。

これは、この層のハニカムの反​​射層として見ることができます。

これは、別のハニカムである四面体-八面体ハニカムの対称性が低いバージョンであり、各辺が交互に配置された四面体と八面体に囲まれています。どちらも、1 セルの厚さの層で構成されていると考えることができます。層内では、2 種類のセルが厳密に交互に配置されます。これらの層を分離する平面の面は、三角形の規則的なパターンを形成するため、隣接する層は、1 つの層の各八面体が次の層の四面体と接するように、または各セルがそれと同じ種類のセルと接するように配置できます (したがって、層の境界は反射面になります)。後者の形式は、回転型と呼ばれます。

この頂点図形は三角形の直方二極子と呼ばれ、対称性の低い頂点図形である四面体-八面体ハニカムの立方八面体は三角形のジャイロ二極子と呼ばれているため、接頭辞のジャイロの使用法が逆になっています。

この幾何学的形状は、六角柱のハニカムに交代操作を適用して構築することもできます。六角柱のセルは八面体になり、空隙は三角形の両錐体を形成し、この両錐体はこのハニカムの四面体のペアに分割できます。この両錐体を持つハニカムは、二四面体八面体ハニカムと呼ばれます。コクセター・ディンキン図は3 つあり、1 色、2 色、または 3 色の八面体として見ることができます。

1. 
2. 
3. 

回転伸長交互立方ハニカムまたは細長い三角形の反柱状セル化は、ユークリッド 3 次元空間における空間充填モザイク状配置(またはハニカム)です。八面体、三角柱、四面体が1:2:2 の比率で 構成さています。

これは頂点推移的で、各頂点の周りに 3 つの八面体、4 つの四面体、6 つの三角柱があります。

28個の凸型均一ハニカムのうちの1つです。

細長い交互立方ハニカムでは、各頂点のセル配置は同じですが、全体の配置は異なります。細長い形式では、各柱は三角形の面の 1 つで四面体と接し、もう 1 つの面で八面体と接します。ジャイロ細長い形式では、柱は両端で 同じ種類の三角面体と接します。

細長い交互立方ハニカムまたは細長い三角形のジャイロプリズムセルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における空間充填モザイク(またはハニカム)です。八面体、三角柱、四面体が1:2:2 の比率で 構成さています。

これは頂点推移的で、各頂点の周りには 3 つの八面体、4 つの四面体、6 つの三角柱があります。各柱は、一方の端で八面体と接し、もう一方の端で四面体と接します。

28個の凸型均一ハニカムのうちの1つです。

これは、各頂点に同じセル配置を持つ、 回転細長い交互立方ハニカムと呼ばれる回転形状をしています。

• 建築と反射のモザイク模様
• キュービックハニカム
• スペースフレーム

• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 21 章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイルの命名、建築的および反射的タイル張り、p 292–298、すべての非プリズム形状を含む) 
• ジョージ・オルシェフスキー、均一な全倍数体テトラコーム、原稿 (2006) (11 個の凸均一タイリング、28 個の凸均一ハニカム、および 143 個の凸均一テトラコームの完全なリスト)
• Branko Grünbaum、「3次元空間の均一タイリング」、Geombinatorics 4(1994)、49 - 56。
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。
• クリッチロー、キース（1970年）。『空間の秩序：デザインのソースブック』。ヴァイキング・プレス。ISBN 0-500-34033-1。
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [2]  
  • (論文 22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 一様空間充填)
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• A. Andreini、Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (多面体の正則および半正則ネットおよび対応する相関ネットについて)、Mem.イタリア科学協会、Ser.3、14 (1905) 75–129。
• DMY サマービル著『 n次元幾何学入門』ニューヨーク、EP ダットン、1930年。196ページ（ドーバー出版版、1958年）第10章：正多面体
• Conway JH、Sloane NJH (1998)。球面パッキング、格子および群（第 3 版）。Springer。ISBN 0-387-98585-9。

• 四面体と正四角錐で作られた建築デザイン。(2003) 2016-03-04 にWayback Machineでアーカイブされました。
• Klitzing、Richard。「3D ユークリッド ハニカム x3o3o *b4o - オクテット - O21」。
• 3次元空間における均一ハニカム: 11オクテット