ベルの定理

ベルの1964年の論文は、非常に単純な局所隠れ変数モデルが、限定された状況下では量子力学の予測を再現できることを示しているが、その後、一般にそのようなモデルは異なる予測を与えることを示している。^{[ 2 ] [ 13 ]： 806}ベルは、アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン（EPR）思考実験のデビッド・ボームによる改良版を考察している。このシナリオでは、一対の粒子がスピン一重項状態（エンタングル状態の一例）で記述されるように一緒に形成される。その後、粒子は反対方向に離れていく。各粒子は、異なる方向に向けることができ、2つの可能な結果のうちの1つを報告する測定器であるシュテルン＝ゲルラッハ装置によって測定される。${\displaystyle +1}$そして${\displaystyle -1}$各測定機器の構成は単位ベクトルで表され、設定を持つ2つの検出器間の相関に対する量子力学的予測は次のようになります。${\displaystyle {\vec {a}}}$そして${\displaystyle {\vec {b}}}$は $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.}$$ 特に、2 つの検出器の向きが同じ場合 (${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$) の場合、一方の測定結果は他方の測定結果の負の値になることが確実であり、${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}$2 つの検出器の向きが直交している場合 (${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$) 結果には相関がなく、${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}$ベルは、これらの特殊なケースは隠れた変数によって説明できることを例によって証明し、次に中間角度を含む可能性の全範囲は説明できないことを示す。

ベルは、これらの相関関係に対する局所的な隠れ変数モデルは、ある隠れたパラメータの可能な値に関する積分によってそれらを説明するだろうと提唱した。${\displaystyle \lambda }$:$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda ),}$$ どこ${\displaystyle \rho (\lambda )}$は確率密度関数です。2つの関数${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}$そして${\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}$方位ベクトルと隠れ変数が与えられた場合の、2つの検出器の応答を以下に示す。$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1.}$$ 重要なことに、検出器の結果は${\displaystyle A}$依存しない${\displaystyle {\vec {b}}}$、同様に${\displaystyle B}$依存しない${\displaystyle {\vec {a}}}$2 つの検出器は物理的に分離されているためです。ここで、実験者は2 番目の検出器の設定を選択できると仮定します。それは、${\displaystyle {\vec {b}}}$または${\displaystyle {\vec {c}}}$という仮定から ${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=-B({\vec {a}},\lambda )}$つまり、同じ設定で完全な反相関が観察される、とベルは証明する。$${\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}}).}$$ しかし、量子力学がベルの不等式を破りながら完全な反相関を示す状況は容易に見つけることができる。^{[ 14 ]： 425-426}例えば、ベクトルを${\displaystyle {\vec {a}}}$そして${\displaystyle {\vec {b}}}$直交し、${\displaystyle {\vec {c}}}$両者から45°の角度で平面上に配置される。$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0,}$$ その間 $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}},}$$ しかし $${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$ したがって、すべての選択肢に対して量子力学の予測を再現できる局所隠れ変数モデルは存在しない。${\displaystyle {\vec {a}}}$、${\displaystyle {\vec {b}}}$、 そして${\displaystyle {\vec {c}}.}$実験結果は古典的な曲線と矛盾し、実験上の欠点を考慮すれば量子力学によって予測される曲線と一致する。^{[ 6 ]}

ベルの1964年の定理は、完全な反相関の可能性、つまり、最初の検出器の結果を知っていれば、2番目の検出器の結果について完全に確実な予測ができる能力を必要とする。^{[ 6 ]}この定理は、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンによる1935年の論文で導入された概念である「EPR現実基準」に基づいている。この論文は、「システムをいかなる方法でも乱すことなく、物理量の値を確実に（つまり、確率が1に等しい）予測できるならば、その量に対応する現実の要素が存在する」と仮定している。^{[ 15 ]}ベルは、2つの検出器が同じ方向を向いている場合にこれが適用されると指摘した。${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$）、したがって EPR 基準は、現実の何らかの要素が測定結果をあらかじめ決定しなければならないことを示唆する。粒子の量子記述にはそのような要素が含まれていないため、量子記述は不完全でなければならない。言い換えれば、ベルの 1964 年の論文は、局所性を仮定すると EPR 基準が隠れた変数を示唆することを示し、次に局所的な隠れた変数は量子力学と両立しないことを示している。^{[ 16 ] [ 17 ]}実験では実際には完全な相関または反相関を達成できないため、代わりにこの仮定を緩和する導出に基づくベル型の不等式がテストされる。^{[ 6 ]}

ダニエル・グリーンバーガー、マイケル・A・ホーン、アントン・ツァイリンガーは1990年に4粒子思考実験を発表し、その後デビッド・マーミンがそれを3粒子のみを使用するように簡略化した。^{[ 18 ] [ 19 ]}この思考実験では、ビクターは量子状態によって記述される3つのスピン1/2粒子のセットを生成する。$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,}$$ 上記のように、${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$これらはパウリ行列の固有ベクトルである。${\displaystyle \sigma _{z}}$ビクターは、それぞれアリス、ボブ、チャーリーに粒子を送ります。3人は離れた場所で待機しています。アリスは、${\displaystyle \sigma _{x}}$または${\displaystyle \sigma _{y}}$彼女の粒子について、ボブとチャーリーも同様に測定する。各測定の結果は、${\displaystyle +1}$または${\displaystyle -1}$3量子ビット状態にボルン規則を適用する${\displaystyle |\psi \rangle }$ビクターは、3つの測定値に1が含まれるたびに、${\displaystyle \sigma _{x}}$そして２つ${\displaystyle \sigma _{y}}$'s、結果の産物は常に${\displaystyle +1}$これは以下の理由による。${\displaystyle |\psi \rangle }$は の固有ベクトルである${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}$固有値を持つ${\displaystyle +1}$、同様に${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}$そして${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}$したがって、アリスの結果を知ることは、${\displaystyle \sigma _{x}}$測定とボブの結果${\displaystyle \sigma _{y}}$測定において、ビクターは確率1でチャーリーが返す結果を予測できる。${\displaystyle \sigma _{y}}$測定。EPRの現実基準によれば、測定結果に対応する「現実の要素」が存在する。${\displaystyle \sigma _{y}}$チャーリーの量子ビットに対する測定。実際、この同じ論理は両方の測定と3つの量子ビットすべてに適用されます。したがって、EPRの現実基準によれば、各粒子は測定の結果を決定する「命令セット」を含んでいます。${\displaystyle \sigma _{x}}$または${\displaystyle \sigma _{y}}$その上での測定。3つの粒子のセットは、命令セットによって記述される。$${\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,}$$ 各項目は以下のいずれかです${\displaystyle -1}$または${\displaystyle +1}$、そしてそれぞれ${\displaystyle \sigma _{x}}$または${\displaystyle \sigma _{y}}$測定は、適切な値を返すだけです。

アリス、ボブ、チャーリーが全員${\displaystyle \sigma _{x}}$測定すると、その結果の積は${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}$この値は以下から推測できます。$${\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,}$$ どちらの二乗も${\displaystyle -1}$または${\displaystyle +1}$は${\displaystyle 1}$括弧内の各因子は${\displaystyle +1}$、 それで$${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$ そしてアリス、ボブ、チャーリーの結果の積は${\displaystyle +1}$確率1で。しかしこれは量子物理学と矛盾する。ビクターは状態を使って予測できる。${\displaystyle |\psi \rangle }$その測定${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}$代わりに${\displaystyle -1}$確率は1である。

この思考実験は、従来のベル不等式、あるいはCHSHゲームと同様の精神に基づく非局所ゲームとして再構成することもできる。^{[ 20 ]}このゲームでは、アリス、ボブ、チャーリーはビットを受け取る。${\displaystyle x,y,z}$ビクターは、常に偶数個の1を持つと約束した。つまり、${\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}$そして彼に小さなものを送り返す${\displaystyle a,b,c}$彼らがゲームに勝つのは${\displaystyle a,b,c}$すべての入力に対して奇数個の1を持つが、${\displaystyle x=y=z=0}$偶数個の1が必要な場合。つまり、ゲームに勝つのは、${\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}$ローカル隠れ変数を使用した場合、彼らが勝利できる最高確率は3/4ですが、上記の量子戦略を使用すると確実に勝利できます。これは量子擬似テレパシーの一例です。

量子論では、ヒルベルト空間の正規直交基底は、そのヒルベルト空間を持つ系に対して実行可能な測定を表します。基底内の各ベクトルは、その測定の可能な結果を​​表します。^{[注2 ]}隠れた変数があると仮定します。${\displaystyle \lambda }$が存在するので、その値を知る${\displaystyle \lambda }$測定結果の確実性を意味することになる。${\displaystyle \lambda }$各測定結果、すなわちヒルベルト空間内の各ベクトルは、不可能か保証されるかのどちらかである。コーヘン・スペッカー構成は、複数の相互に連結した基底から構成される有限のベクトル集合であり、その中のベクトルは、ある基底に属するとみなすと常に不可能であり、別の基底に属するとみなすと常に保証されるという性質を持つ。言い換えれば、コーヘン・スペッカー構成は、隠れた変数を仮定することの矛盾を示す「彩色不可能な集合」である。${\displaystyle \lambda }$測定結果を制御できる。^{[ 25 ]： 196-201}

相互に連結した基底の構成を用いるコーヘン＝スペッカー型の議論は、ベル型不等式の根底にあるエンタングルドペアの測定という考え方と組み合わせることができる。これは1970年代からコーヘン^{[ 26 ]} 、ヘイウッドとレッドヘッド^{[ 27 ]} 、ステアーズ^{[ 28 ]}、ブラウンとスヴェトリチニー^{[ 29 ]}によって指摘されてきた。EPRが指摘したように、エンタングルドペアの片方の半分で測定結果が得られれば、もう片方の半分で対応する測定結果が確実になる。「EPRの現実基準」は、ペアのもう片方が擾乱されていないため、その確実性はそれに属する物理的性質によるものであると仮定している^{[ 30 ]} 。言い換えれば、この基準によれば、隠れた変数${\displaystyle \lambda }$ペアのまだ測定されていない後半部分に必ず存在しなければならない。前半部分の測定値を1つだけ考慮すれば矛盾は生じない。しかし、観測者が複数の測定値を選択でき、それらの測定値を定義するベクトルがコーヘン・スペッカー配置を形成する場合、後半部分のある結果は同時に不可能かつ確実となる。

この種の議論は、ジョン・コンウェイとサイモン・コーヘンが自由意志定理という名でその一例を提唱したことで注目を集めた。^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}コンウェイ・コーヘン定理は、アッシャー・ペレスによって発見された一対のエンタングルしたキュートリットとコーヘン・スペッカー構成を使用する。^{[ 34 ]}

ベルが指摘したように、量子力学の予測の一部は、エンタングルメントから生じる相関の特殊な場合を含め、局所隠れ変数モデルで再現できます。このトピックは、ベルの定理以来、長年にわたって体系的に研究されてきました。1989年、ラインハルト・ヴェルナーは、現在ヴェルナー状態と呼ばれるものを導入しました。これは、EPR型の相関を生み出すが隠れ変数モデルも許容する一対のシステムの結合量子状態です。^{[ 35 ]}ヴェルナー状態は、対称テンソル積形式のユニタリの下で不変な二体量子状態です。$${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).}$$ 2004年、ロバート・スペッケンスは、局所的で離散化された自由度を前提とし、観察者がそれらの自由度についてどれだけ知ることができるかを制限する「知識バランス原理」を課すおもちゃのモデルを導入し、それによってそれらを隠れた変数にする。基礎となる変数（「存在論的状態」）に関する許容される知識の状態（「認識的状態」）は、量子状態のいくつかの特徴を模倣する。おもちゃのモデルにおける相関は、一夫一婦制のようなエンタングルメントのいくつかの側面を模倣することができるが、構成上、おもちゃのモデルはベル不等式に違反することはない。^{[ 36 ] [ 37 ]}

量子力学が隠れた変数によって「完成」できるかどうかという問題は、量子論の初期の頃にまで遡ります。ハンガリー生まれの博学者ジョン・フォン・ノイマンは、 1932年に出版した量子力学の教科書の中で、 「隠れたパラメータ」は存在し得ないという証明だと主張するものを提示しました。フォン・ノイマンの証明の妥当性と決定性については、ハンス・ライヘンバッハ、グレーテ・ヘルマンによってより詳細に疑問が呈され、アルベルト・アインシュタインもおそらく会話の中で（ただし印刷物としては）疑問を呈したと考えられます。^{[注3 ]}（サイモン・コーヘンとエルンスト・シュペッカーは、1961年にはすでにフォン・ノイマンの重要な仮定を否定していましたが、1967年までその批判を発表しませんでした。^{[ 43 ]}）

アインシュタインは、量子力学は完全な理論にはなり得ないと一貫して主張した。彼が好んで用いた論拠は、局所性の原理に基づいていた。

限られた時間だけ相互作用する2つの部分系AとBから構成される力学系を考えます。相互作用前のψ関数が与えられているとします。すると、シュレーディンガー方程式によって、相互作用後のψ関数が得られます。次に、測定によって部分系Aの物理的状態を可能な限り完全に決定します。すると、量子力学によって、測定結果と全体の系のψ関数から、部分系Bのψ関数を決定できます。しかし、この決定結果は、 Aの状態を規定する決定量（例えば座標や運動量）のうち、どれが測定されたかに依存します。相互作用後のBの物理的状態は1つしか存在せず、 Bから分離された系Aに対して行う特定の測定に依存するとは考えにくいので、ψ関数は物理的状態と明確に結びついていないと結論付けられます。複数のψ関数がシステムBの同じ物理的条件と協調していることは、ψ関数が単位システムの物理的条件の（完全な）記述として解釈できないことを改めて示している。^{[ 44 ]}

EPRの思考実験も同様で、結合波動関数で記述される2つの分離したシステムAとBを考察する。しかし、EPR論文では、後にEPR現実基準として知られるようになるアイデアが追加されている。この基準によれば、 Bに対する測定の結果を確率1で予測できるということは、Bの中に「現実の要素」が存在することを意味する。^{[ 45 ]}

1951年、デビッド・ボームは、EPR思考実験の変形版を提案した。この変形版では、EPRで考慮される位置と運動量の測定とは異なり、測定結果には離散的な範囲がある。^{[ 46 ]}その前年、呉健雄とアーヴィング・シャクノフは、もつれ合ったペアで生成された光子の偏光を測定することに成功し、ボーム版のEPR思考実験を実際に実行可能にした。^{[ 47 ]}

1940年代後半までに、数学者のジョージ・マッキーは量子物理学の基礎に興味を持つようになり、1957年に量子力学の正確な定義であると考える一連の公準をまとめた。^{[ 48 ]}マッキーは公準の1つが冗長であると推測し、その後まもなくアンドリュー・M・グリーソンが、それが他の公準から実際に演繹できることを証明した。^{[ 49 ] [ 50 ]}グリーソンの定理は、隠れた変数理論の広範なクラスが量子力学と両立しないという議論を提供した。^{[注4 ]}より具体的には、グリーソンの定理は「非文脈的」な隠れた変数モデルを排除する。量子力学の隠れた変数モデルは、グリーソンの定理の含意を回避するために、測定対象システムのみに属する特性ではなく、測定が行われる外部の文脈にも依存する隠れた変数を含まなければならない。この種の依存関係は、しばしば不自然または望ましくないものと見なされます。場合によっては、特殊相対性理論と矛盾します。^{[ 13 ] [ 52 ]}コーヘン・スペッカーの定理は、そのような確率測度を定義できない特定の有限の光線部分集合を構築することによって、この記述を洗練します。^{[ 13 ] [ 53 ]}

李宗道は1960年にベルの定理の導出に近づいた。彼は2つのカオンが反対方向に移動する事象を考察し、隠れた変数ではそのような状況で得られる相関関係を説明できないという結論に達した。しかし、カオンが崩壊するという事実によって複雑な問題が生じ、ベル型の不等式を導出するまでには至らなかった。^{[ 39 ]： 308}

ベルは、掲載料が不要で、当時掲載した著者に原稿料を支払っていた比較的無名の雑誌に定理を発表することを選んだ。しかし、その雑誌は著者が配布するための論文の無料再版を提供していなかったため、ベルは受け取ったお金で他の物理学者に送るためのコピーを購入しなければならなかった。^{[ 54 ]}雑誌に掲載された論文自体には出版物の名前が単に「Physics」と記載されていたが、表紙には英語、フランス語、ロシア語の3か国語表記の「Physics Physique Физика」が掲載されており、英語、フランス語、ロシア語で論文を掲載することを示していた。^{[ 42 ] : 92–100, 289}

ベルは1964年の成果を証明する前に、コーヘン・スペッカーの定理と同等の成果も証明していた（そのため、後者はベル・コーヘン・スペッカーの定理またはベル・KSの定理とも呼ばれることがある）。しかし、この定理の発表は1966年まで意図せず遅れた。^{[ 13 ] [ 55 ]}その論文でベルは、隠れた変数による量子現象の説明には非局所性が必要となるため、EPRパラドックスは「アインシュタインが最も好まなかった方法で解決される」と主張した。^{[ 55 ]}

コペンハーゲン解釈では、一般的にベルの不等式の違反を、反事実的確定性または「実在論」と呼ばれる仮定を拒否する根拠としているが、これは必ずしもより広い哲学的意味での実在論を放棄することと同じではない。^{[ 72 ] [ 73 ]}例えば、ローランド・オムネスは隠れた変数の拒否を主張し、「量子力学は、その範囲と成熟度を持つ理論としては、おそらく最も現実的なものとなるだろう」と結論付けている。^{[ 74 ] : 531}同様に、ルドルフ・パイエルスは、ベルの定理のメッセージは、局所性の前提が物理的に妥当であるため、「隠れた変数を導入すると、量子力学の結果の一部を放棄することになる」ということだと解釈した。^{[ 75 ] [ 76 ]}

これは、一貫した歴史（しばしば「正しいコペンハーゲン」として宣伝される）^{[ 77 ] : 2839}やQBism ^{[ 78 ]}など、コペンハーゲンの伝統から派生した解釈もたどった道である。

エヴェレット解釈としても知られる多世界解釈は、動的に局所的であり、遠隔作用を必要としない^{[ 79 ] : 17}、崩壊のない量子力学のユニタリ部分から構成されるため決定論的である。測定には単一の結果があるというベルの暗黙の仮定に違反するため、ベルの不等式に違反する相関を生成する可能性がある。実際、ベルの定理は、測定には単一の結果があるという仮定から多世界フレームワークで証明することができる。したがって、ベルの不等式の違反は、測定には複数の結果があることの証明として解釈できる。^{[ 80 ]}

ベル相関の説明としては、アリスとボブが測定を行う際に、それぞれが局所的な分岐に分かれるという点が挙げられる。アリスの各コピーから見ると、ボブの複数のコピーが異なる結果を経験しているため、ボブは確定的な結果を得ることができず、ボブの各コピーから見ても同様である。両者が互いに明確な結果を得るのは、将来の光円錐が重なり合った時のみである。この時点でベル相関が生じ始めると言えるが、それは純粋に局所的なメカニズムによって生じたものである。したがって、ベル不等式の破れは非局所性の証明とは解釈できない。^{[ 79 ]：28}

隠れた変数の考え方の支持者のほとんどは、実験によって局所的な隠れた変数が排除されたと考えている。 ^{[注5 ]}彼らは局所性を放棄し、粒子が自身の状態に関する情報を交換する非局所的な隠れた変数理論によってベルの不等式の違反を説明する用意がある。これは量子力学のボーム解釈の基礎であり、宇宙のすべての粒子が他のすべての粒子と瞬時に情報を交換できることを要求する。非局所的な隠れた変数理論の課題の1つは、この瞬時の通信が隠れた変数のレベルで存在できるのに、信号を送るために使用できない理由を説明することである。^{[ 83 ]} 2007年の実験は、ボーム力学自体は排除しなかったものの、ボーム以外の非局所的な隠れた変数理論の大きなクラスを排除した。^{[ 84 ]}

時間的に前後に伝わる波を仮定するトランザクション解釈も同様に非局所的である。^{[ 85 ]}

ベルの定理を導出するために必要な仮定は、隠れた変数が測定設定と相関していないことである。この仮定は、実験者が設定を選択する「自由意志」を持ち、そもそも科学を行うためには設定が必要であるという理由で正当化されてきた。測定の選択が測定対象のシステムと必然的に相関している（仮説的な）理論は、超決定論的理論として知られている。^{[ 62 ]}

決定論的モデルの支持者の中には、局所的な隠れた変数を諦めていない者もいる。例えば、ジェラルド・ト・フーフトは、超決定論を否定することはできないと主張している。^{[ 86 ]}