絡み合いの一夫一婦制

量子物理学において、量子もつれの「一夫一婦制」とは、任意の数の当事者間で自由に共有することができないという基本的な特性を指します。

2つの量子ビットAとBが最大限にエンタングルメントされるためには、3つ目の量子ビットCとエンタングルメントされてはなりません。たとえAとBが最大限にエンタングルメントされていなくても、それらの間のエンタングルメントの度合いによって、どちらかがCとエンタングルメントできる度合いが制限されます。一般に、量子ビットの場合、一夫一婦制はコフマン・クンドゥ・ウッターズ（CKW）不等式によって特徴付けられ、次のように述べられます 。${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=2}^{n}\tau (\rho _{A_{1}A_{k}})\leq \tau (\rho _{A_{1}(A_{2}{\ldots }A_{n})})}$

ここで、は量子ビットとからなるサブステートの密度行列であり、は「タングル」であり、二部エンタングルメントの定量化であり、同時性の2乗に等しい。^{[1] [2]}${\displaystyle \rho _{A_{1}A_{k}}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle \tau }$

一夫一婦制は、非クローン性の性質と密接に関連しており、^{[3] [4]}純粋に量子相関の特徴であり、古典的類似物はありません。2 つの古典的なランダム変数XとYが相関していると仮定すると、 X をコピー、つまり「クローン」して、Yとまったく同じ相関​​を共有する任意の数のランダム変数を作成できます。代わりに、 XとY をエンタングルメントされた量子状態にすると、X をクローンすることはできず、このような「一夫多妻」の結果は不可能になります。

エンタングルメントの一夫一婦制は、ブラックホール物理学から量子暗号まで、量子力学の応用に幅広い影響を及ぼし、量子暗号では量子鍵配送のセキュリティにおいて極めて重要な役割を果たしている。^[5]

2000年にコフマン、クンドゥ、ウッターズによって、三者システムにおける二者間エンタングルメントの一夫一婦制が同時発生の観点から確立されました。 ^[1] 2006年にオズボーンとヴェルストラエテはこの結果を多者システムにも拡張し、CKW不等式を証明しました。^[2]

説明のために、量子ビットA、B、Cからなる3 量子ビット状態を考えます。AとB が(最大限にエンタングルされた) EPR ペアを形成すると仮定します。次のことを示します。 ${\displaystyle |\psi \rangle \in (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes 3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}}$

何らかの有効な量子状態の場合。エンタングルメントの定義により、これはC がAおよびBから完全に分離されている必要があることを意味します。 ${\displaystyle |\phi \rangle _{C}}$

標準基底で測定すると、AとB はそれぞれ確率で状態と状態に崩壊します。したがって、次のようになります。 ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|00\rangle \otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+|11\rangle \otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )}$

となるものに対して、 AとBの状態を対角基底ベクトルとで書き直すことができます。 ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2}=|\beta _{0}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |-\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|++\rangle -|+-\rangle -|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|--\rangle )\otimes ((\alpha _{0}+\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}+\beta _{1})|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\otimes ((\alpha _{0}-\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}-\beta _{1})|1\rangle )}$

AとB は最大限にエンタングルメントされているため、対角基底で測定すると、2 つの状態またはのいずれかに収束します。結果またはが観測される確率はゼロです。したがって、上記の式によれば、およびである必要があります。直ちに、および が導かれます。 の式を次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle |++\rangle }$${\displaystyle |--\rangle }$${\displaystyle |+-\rangle }$${\displaystyle |-+\rangle }$${\displaystyle \alpha _{0}-\beta _{0}=0}$${\displaystyle \alpha _{1}-\beta _{1}=0}$${\displaystyle \alpha _{0}=\beta _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =(|++\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )}$

${\displaystyle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes ({\sqrt {2}}\alpha _{0}|0\rangle +{\sqrt {2}}\alpha _{1}|1\rangle )}$

${\displaystyle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}}$

これは、元の状態がABの純粋状態とCの純粋状態の積として表すことができることを示し、これは量子ビットAとBの EPR 状態が量子ビットCとエンタングルされていないことを意味します。