モット問題

モットの問題は量子力学理論に対する象徴的な挑戦である。球対称の波動関数の予測が霧箱で見られる直線的な軌跡にどのようにつながるのかという問題である。^{[1] : 119ff}この問題は1927年にアルバート・アインシュタインとマックス・ボルンによって初めて定式化され、1929年にネヴィル・フランシス・モットによって解決された。^{[2]モットの解法は}波動関数の崩壊ではなく波動方程式のみを使用している点が注目に値し、現在デコヒーレンス理論と呼ばれる理論の最も初期の例であると考えられている。^[3]

後にモットと関連付けられる問題は、放射性原子核の崩壊から放出されるアルファ線に関連する球面波動関数に関するものである。^[3] 直感的には、そのような波動関数は霧箱全体で原子をランダムにイオン化するはずであると考えるかもしれないが、そうではない。そのような崩壊の結果は常に、ウィルソンの霧箱で見られる線状の軌跡として観測される。理論によって予測される元の球面波を与えられた軌跡の起源は、物理的な説明を必要とする問題である。

実際には、粒子加速器で行われるような高エネルギー物理学の実験のほとんどすべては、本質的に球状の波動関数を扱っています。しかし、粒子衝突の結果が検出されると、それらは常に直線の軌跡の形になります (たとえば、泡箱に関する記事に添付されている図を参照してください)。球対称の波動関数が直線の軌跡として観測されると考えるのはやや奇妙ですが、これはすべての粒子加速器実験で日常的に発生しています。

アルファ粒子の軌跡の問題は、1927 年の第 5 回ソルベー会議で議論された。 ^{[4] : 160} マックス・ボルンは、この問題をアルバート・アインシュタインが指摘した問題として説明し、「この現象の粒子特性は、波による表現とどのように調和するのか」と問うた。ボルンは、1927 年 5 月に発表されたハイゼンベルクの「確率パケットの縮小」、現在では波動関数の崩壊と呼ばれている概念でこれに答えた。ボルンは、霧箱内の各液滴の軌跡は、液滴のすぐ近くの波の縮小に対応すると述べている。ヴォルフガング・パウリの提案により、彼はアルファ放射体と 2 つの原子がすべて同じ状態にあり、波動関数の崩壊がないという解決策についても議論したが、そのアイデアについては簡単な議論にとどめた。^{[3] : 220}

1930年に出版された非常に影響力のあった著書^[5]で、 ヴェルナー・ハイゼンベルクはこの問題を定性的かつ詳細に分析した。彼は、各相互作用で波動関数が崩壊する場合と、最終装置でのみ波動関数が崩壊する場合の2つのケースを検討し、それらは同等であると結論付けた。^{[3] : 221}

1929年、チャールズ・ゴルトン・ダーウィンは波動関数の崩壊を使わずにこの問題を分析した。彼は、正しいアプローチは波動関数を研究対象のシステム（アルファ粒子）とそれが相互作用する環境（霧箱の原子）から構成されるものとして見る必要があると述べている。単純な球面波から始まり、各衝突はより多くの座標と複雑さを増す波動関数を伴う。彼のモデルは現代の量子デコヒーレンス理論の戦略と一致している。^{[3] : 224}

ネヴィル・モットはダーウィンの論文を明示的に引用しながら、ダーウィンが残したところから話を続けます。^[2]

モットの目標は、霧箱内の複数の原子を励起する確率を計算し、球面波による励起が直線軌道を作成する理由を理解することです。モットは、アルファ粒子の球面波と、水素原子としてモデル化された 2 つの代表的な霧箱原子から始めます。エミッター (図の黒い点、モットの扱いでは原点とされています) と 2 つの原子 (および にあるオレンジ色の点)の相対的な位置は、軌道の計算中は固定されています。つまり、アルファ粒子の速度は、ガス原子の熱運動よりもはるかに大きいと見なされます。これらの相対座標はソリューション内のパラメーターであるため、さまざまな位置での励起の強度を比較できます。水素原子は、霧箱ガスを構成する可能性のあるものの代わりとなります。 ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {a_{2}} }$

原子の固定位置が与えられれば、モットはそれらの原子の電子の励起を計算する。放出原子と水素原子が接近していないと仮定して、モットはシステムの三体状態の時間に依存しない部分 を、水素原子の固有関数の積の合計として表す。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \psi_{j}}$

$${\displaystyle F(\mathbf {R} ,\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} )=\sum _{{j_{1}},{j_{2}}}f_{ j_{1}j_{2}}(\mathbf {R} )\psi _{j_{1}}^{I}(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {a_{1}} )\psi _{j_{2}}^{II}(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {a_{2}} )}$$

ここで、 はアルファ粒子の位置、は水素原子の電子の位置であり、その合計は原子IとIIの励起状態にわたっています。原子Iが状態に励起され、原子IIが状態に励起されていると仮定すると、展開係数は付近のアルファ粒子の条件付き確率の物理的解釈を持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} }$${\displaystyle f_{j_{1}j_{2}}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$

膨張係数を解くために、モットはボルン近似を使用しました。これは散乱の摂動論の一種で、入射波が散乱によって大きく変化しない場合に有効に機能します。^[3]その結果、モットはアルファ粒子が霧箱を通り抜けるときに励起した原子にほとんど気づかないと仮定しています。

モットは、最初の原子が励起され、2 番目の原子が基底状態にあるときに散乱アルファ粒子波を記述する因子の空間特性を分析します。彼は、それがエミッターから最初の原子までの線に沿って (図に沿って) 強くピークになっていることを示しています。次に、モットは、両方の原子が励起される確率は、一方の原子が励起される確率ともう一方の原子の電子ポテンシャルの空間的範囲の積に依存することを示しています。両方の原子が励起されるのは、共線構成の場合のみです。 ^{[2] [3]}${\displaystyle f_{j_{1}0}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle f_{j_{1}0}(\mathbf {R} )}$

モットは、霧箱内のすべての原子が役割を果たす配置空間での相互作用を考慮すると、霧箱内のすべての凝縮液滴が同じ直線に近い位置にある可能性が圧倒的に高いことを実証しました。ユージン・ウィグナーは量子測定に関する研究で、配置空間に関するモットの洞察を量子力学の重要な側面として引用しています。配置空間アプローチにより、原子の線などの空間相関を量子力学の構造に組み込むことができます。^[6]不確実なのは、波束がどの直線に還元されるかであり、直線の軌道の確率分布は球対称です。

エーリッヒ・ジョースとH・ディーター・ツェは、量子デコヒーレンス理論の最初の具体的なモデルとしてモットのモデルを採用した。 ^[7]モットの分析は現代のデコヒーレンス理論に先行しているが、そのアプローチに完全に適合している。^[8] ブライス・デウィットは、モットの分析におけるアルファ粒子と電子の劇的な質量差が、より質量の大きいシステムであるアルファ粒子の状態のデコヒーレンスの特徴であると指摘している。^{[9] : 195}

現代では、モット問題は、ビッグバンやその他の天体物理現象 からの波動関数の進化が考慮される天体物理学や宇宙論の文脈で理論的に検討されることがあります。

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