ベルの定理

ベルの定理は、物理学における密接に関連した多くの結果を包括する用語であり、測定の性質に関するいくつかの基本的な仮定を前提とすると、量子力学は局所的な隠れた変数理論と両立しないことを決定づける。ここでの「局所」とは、局所性の原理、つまり粒子は周囲の環境からのみ影響を受け、物理場を介した相互作用は光速よりも速く伝播することはできないという考えを指す。「隠れた変数」とは、量子理論には含まれていないが、実験の結果に影響を与える量子粒子の想定される特性である。この一連の結果に名前が付けられた物理学者ジョン・スチュワート・ベルの言葉を借りれば、「[隠れた変数理論]が局所的であれば量子力学とは一致せず、量子力学と一致すると局所的ではない」^[1]

最初のそのような結果は、量子もつれの現象に注目を集めたアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスに基づいて、1964年にベルによって導入されました。ベルは、もつれたペアの2つの分離された粒子に対して測定が独立して行われた場合、結果は各半分内の隠れた変数に依存するという仮定は、2つの測定の結果がどのように相関するかに関する数学的な制約を意味すると推論しました。このような制約は、後にベル不等式と名付けられました。ベルは、量子物理学はこの不等式に違反する相関を予測することを示しました。その後数年間で、異なる仮定を使用して異なるベル（または「ベル型」）不等式を得る、ベルの定理の複数のバリエーションが提唱されました。

ベルの定理をテストするために設計された最初の基本的な実験は、1972年にジョン・クラウザーとスチュアート・フリードマンによって実行されました。^[2]ベルテストとして総称されるより高度な実験は、それ以来何度も実行されてきました。多くの場合、これらの実験は「抜け穴を塞ぐ」、つまり、原理的には以前のベルテストの結果の妥当性に影響を与える可能性のある実験設計またはセットアップの問題を改善することを目標としていました。ベルテストは、物理システムが量子力学に従い、ベル不等式に違反することを一貫して発見しました。つまり、これらの実験の結果は、局所的な隠れた変数理論と互換性がありません。^{[3] [4]}

相関関係に対するベル型の制約を証明するために必要な仮定の正確な性質は、物理学者と哲学者によって議論されてきました。ベルの定理の重要性は疑う余地がありませんが、量子力学のさまざまな解釈では、それが正確に何を意味するかについて意見が一致していません。

基本的な考え方には多くのバリエーションがあり、その中には他のものよりも強い数学的仮定を採用しているものもあります。^[5]重要なのは、ベル型定理は特定の局所隠れ変数の理論を参照するものではなく、量子物理学が自然の古典的な描写の背後にある一般的な仮定に反していることを示しています。1964年にベルによって証明された元の定理は実験に最も適したものではなく、後の例でベル型不等式のジャンルを紹介するのは便利です。^[6]

架空の人物、アリスとボブが遠く離れた場所に立っています。同僚のビクターは粒子のペアを準備し、1 つをアリスに、もう 1 つをボブに送ります。アリスは粒子を受け取ると、2 つの可能な測定のうち 1 つを選択します (おそらくコインを投げてどちらかを決定します)。これらの測定を および で表します。とはどちらもバイナリ測定です。 の結果はまたはのいずれかであり、 についても同様です。ボブは粒子を受け取ると、2 つの測定のうち 1 つを選択します。と は、どちらもバイナリです。 ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B_{1}}$

各測定により、粒子がすでに備えている特性が明らかになると仮定します。たとえば、アリスが を測定することを選択し、結果 を得た場合、アリスが受け取った粒子は、特性 に対しての値を持ちます。^{[注 1]}組み合わせ について考えます。と はどちらも の値を取るため、 または のいずれかになります。前者の場合、量は0 に等しくなければなりませんが、後者の場合 です。したがって、上記の式の右辺の項の 1 つは消え、もう 1 つは に等しくなります。その結果、ビクターが新しい粒子のペアを準備して実験を何度も繰り返すと、すべての試行にわたる組み合わせの平均の絶対値は2 以下になります。アリスとボブはそれぞれ 1 つの測定しか選択できないため、単一の試行でこの量を測定することはできませんが、基礎となる特性が存在すると仮定すると、合計の平均値は各項の平均の合計になります。 平均を示すために山括弧を使用する これはベルの不等式、具体的にはCHSH 不等式です。^{[6] : 115}ここでの導出は2つの仮定に依存している。1つ目は、基礎となる物理的性質とが、観察または測定されることとは独立して存在するということ（実在性の仮定と呼ばれることもある）。2つ目は、アリスの行動の選択がボブの結果に影響を与えることはなく、その逆もまた同様であるということ（局所性の仮定と呼ばれることもある）。^{[6] : 117}${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle a_{0}}$$${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}=(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}-a_{1})b_{1}\,.}$$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle a_{0}=a_{1}}$${\displaystyle a_{0}=-a_{1}}$${\displaystyle (a_{0}-a_{1})b_{1}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})b_{0}=0}$${\displaystyle \pm 2}$${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}}$$${\displaystyle |\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle |\leq 2\,.}$$${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},}$${\displaystyle b_{1}}$

量子力学は、次のようにして CHSH 不等式に違反することがあります。ビクターは、ベル状態で記述される量子ビットのペアを準備します。 ここで、 と は、パウリ行列の 1 つの固有状態です。 次に、ビクターは最初の量子ビットをアリスに、2 番目の量子ビットをボブに渡します。アリスとボブの可能な測定の選択も、パウリ行列によって定義されます。アリスは、2 つの観測量のいずれかと を測定します。 ボブは、2 つの観測量のいずれかを測定します。ビクターは、ボルン則 を使用して、これらの観測量のペアの量子期待値を計算できます。 これらの 4 つの測定のうち 1 つしか実験の 1 回の試行で実行できませんが、合計は、 ビクターが複数回の試行で検出すると期待する平均値の合計を示します。この値は、局所隠れ変数の仮説から推定された古典的な上限 2 を超えています。^{[6] : 116}値は、実際には、この期待値の組み合わせに対して量子物理学が許容する最大値であり、ツィレルソン境界 になります。^{[9] : 140}$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|0\rangle \otimes |1\rangle -|1\rangle \otimes |0\rangle }{\sqrt {2}}},}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$$${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$$${\displaystyle A_{0}=\sigma _{z},\ A_{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};}$$$${\displaystyle B_{0}=-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{z}}{\sqrt {2}}},\ B_{1}={\frac {\sigma _{x}-\sigma _{z}}{\sqrt {2}}}.}$$$${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$$$${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle +\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle +\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle -\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =2{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

CHSH不等式は、アリスとボブが自分たちの行動を調整しようとするゲームと考えることもできる。^{[10] [11]}ビクターは2つのビットと を独立してランダムに準備する。彼は ビットをアリスに、 ビットをボブに送る。アリスとボブがビクターに 答えのビットと を返して を満たす場合 、アリスとボブは勝つ。あるいは、との論理積がとの論理排他的論理和である場合、アリスとボブは勝つ。アリスとボブはゲーム前に望むどんな戦略でも合意できるが、ゲームが始まったら通信することはできない。局所的な隠れた変数に基づくどの理論でも、アリスとボブが勝つ確率は、事前にどんな戦略を合意したかに関係なく よりも大きくなることはない。しかし、もし彼らが量子もつれ状態を共有しているなら、彼らの勝つ確率は まで大きくなる可能性がある。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle xy=a+b\mod 2\,.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 3/4}$$${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.85\,.}$$

ベルの 1964 年の論文は、制限された条件下では、局所的な隠れた変数モデルが量子力学の予測を再現できることを指摘しています。次に、これは一般には当てはまらないことを示しています。^{[12]ベルは}、デイヴィッド・ボームによるアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン (EPR) 思考実験の改良を検討しています。このシナリオでは、一対の粒子が、スピン一重項状態(エンタングルメント状態の一例) で記述されるように形成されます。その後、粒子は反対方向に離れていきます。各粒子は、シュテルン・ゲルラッハ装置によって測定されます。これは、異なる方向に向けることができ、 および で表せる 2 つの可能な結果のいずれかを報告する測定機器です。各測定機器の構成は単位ベクトルで表され、およびが設定された 2 つの検出器間の相関に関する量子力学的予測はです。 特に、2 つの検出器の方向が同じ ( ) 場合、一方の測定の結果はもう一方の結果の負になることが確実であり、 となります。そして、2 つの検出器の方向が直交している場合 ( )、結果は相関がなく、 となります。ベルは、これらの特殊なケースが隠れた変数で説明できることを例によって証明し、次に、中間の角度を含む可能性の全範囲は では説明できないことを示しています。 ${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.}$$${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}$${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}$

ベルは、これらの相関関係の局所的な隠れた変数モデルが、何らかの隠れたパラメータ の可能な値についての積分によって相関関係を説明するだろうと仮定しました。 ここで、は確率密度関数です。2 つの関数と は、方向ベクトル と隠れた変数 が与えられた場合の 2 つの検出器の応答を提供します。 重要なのは、検出器 の出力はに依存せず、同様に の出力はに依存しないことです。これは、2 つの検出器が物理的に離れているためです。ここで、実験者は2 番目の検出器の設定を選択できると仮定します。つまり、または に設定できます。ベルは、検出器設定のこれら 2 つの選択肢間の相関関係の差が不等式 を満たさなければならないことを証明しています 。ただし、量子力学がベルの不等式に違反する状況は簡単に見つけることができます。^{[13] : 425–426}たとえば、ベクトルと が直交し、 がそれらの平面内で両方から 45° の角度で存在するとします。一方 で 、 したがって 、、 のすべての選択に対して量子力学の予測を再現できる局所隠れ変数モデルは存在しません。実験結果は、実験上の欠陥が考慮されている限り、古典的な曲線と矛盾し、量子力学によって予測される曲線と一致します。^[5]${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda ),}$$${\displaystyle \rho (\lambda )}$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}$${\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}$$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}}).}$$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0,}$$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}},}$$$${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {c}}.}$

ベルの 1964 年の定理は、完全な反相関の可能性、つまり、最初の検出器の結果を知って、2 番目の検出器の結果について確率 1 で予測する能力を必要とします。これは、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンが 1935 年の論文で導入した概念である「EPR 現実基準」に関連しています。この論文は、「システムをまったく乱すことなく、物理量の値を確実に (つまり、確率が 1 に等しい) 予測できる場合、その量に対応する現実の要素が存在する」と仮定しています。^[14]

ダニエル・グリーンバーガー、マイケル・A・ホーン、アントン・ツァイリンガーは1990年に4粒子の思考実験を発表し、その後デビッド・マーミンはそれを3粒子だけを使うように簡略化した。 ^{[15] [16]}この思考実験では、ビクターは 上記のように量子状態 によって記述される3つのスピン1/2粒子のセットを生成する。そして、はパウリ行列 の固有ベクトルである。次にビクターは、離れた場所で待機しているアリス、ボブ、チャーリーにそれぞれ粒子を送る。アリスは自分の粒子上でまたは を測定し、ボブとチャーリーも同様に測定する。各測定の結果は、 またはである。ボルンの規則を3量子ビット状態 に適用すると、ビクターは、 3つの測定に と が含まれる場合は常に、結果の積が になると予測する。これは、が の固有ベクトルで固有値であるためであり、 および についても同様である。したがって、アリスの測定結果とボブの測定結果がわかれば、ビクターはチャーリーが測定に対して返す結果を確率 1 で予測できます。EPR 現実基準によれば、チャーリーの量子ビットの測定結果に対応する「現実の要素」が存在することになります。実際、この同じロジックは両方の測定と 3 つの量子ビットすべてに適用されます。EPR 現実基準によれば、各粒子には、その粒子に対するまたは測定の結果を決定する「命令セット」が含まれます。3 つの粒子すべてのセットは、各エントリがまたは の いずれかであり、各または測定が適切な値を返すだけ の命令セットによって記述されます。$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$$${\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,}$$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

アリス、ボブ、チャーリーが全員測定を行った場合、その結果の積は になります。この値はまたは の平方が であるため、 から推測できます。括弧内の各因数は に等しいため、 アリス、ボブ、チャーリーの結果の積は確率 1 で になります。しかし、これは量子物理学と矛盾します。ビクターは状態を使用して、測定により確率 1 で が得られることを予測できます。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}$$${\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,}$$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle +1}$$${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$${\displaystyle +1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}$${\displaystyle -1}$

この思考実験は、伝統的なベルの不等式として、あるいは同等に、CHSHゲームと同じ精神の非局所ゲームとして書き直すこともできる。^[17]このゲームでは、アリス、ボブ、チャーリーは、常に偶数の1、つまり を持つことを約束してビクターからビット を受け取り、 ビット をビクターに送り返す。を除くすべての入力に対して奇数の1を持つ場合、彼らはゲームに勝ちますが、 の場合は のときだけ、彼らはゲームに勝ちます。つまり、 の場合に限り、彼らはゲームに勝ちます。局所的な隠れ変数を使用すると、彼らが得られる勝利の確率は最高で 3/4 ですが、上記の量子戦略を使用すると確実に勝利します。これは量子疑似テレパシーの例です。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle x=y=z=0}$${\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}$

量子論では、ヒルベルト空間の正規直交基底は、そのヒルベルト空間を持つシステムに対して実行できる測定を表す。基底の各ベクトルは、その測定の可能な結果を​​表す。^{[注 2]}隠れた変数が存在し、 の値を知ることであらゆる測定の結果が確実であると仮定する。 の値が与えられた場合、各測定結果、つまりヒルベルト空間の各ベクトルは、不可能または保証される。コッヘン-スペッカー構成は、複数の連結基底から構成される有限のベクトル集合であり、その中のベクトルは、ある基底に属すると見なされる場合は常に不可能であり、別の基底に属すると見なされる場合は保証されるという特性を持つ。言い換えれば、コッヘン-スペッカー構成は、隠れた変数が測定結果を制御できると仮定することの矛盾を示す「色付け不可能な集合」である。 ^{[22] : 196–201}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

連結基数の構成を使用する Kochen-Specker 型の議論は、ベル型不等式の根底にあるエンタングルメント ペアの測定という考え方と組み合わせることができます。これは、1970 年代初頭に Kochen、^[23] Heywood と Redhead、^[24] Stairs、^[25] Brown と Svetlichny によって指摘されました。^[26] EPR が指摘したように、エンタングルメント ペアの片方の半分で測定結果を得ることは、もう片方の半分での対応する測定結果が確実であることを意味します。「EPR の現実の基準」は、ペアのもう一方の半分が乱されていないため、その確実性はそれに属する物理的特性によるものであるに違いないと仮定します。^[27]言い換えると、この基準によれば、ペアのまだ測定されていないもう一方の半分に隠れた変数が存在するはずです。最初の半分の 1 つの測定のみを考慮する場合、矛盾は生じません。しかし、観察者が複数の可能な測定値の選択肢を持っており、それらの測定値を定義するベクトルがコッヘン・スペッカー構成を形成する場合、後半の一部の結果は不可能であると同時に保証されます。 ${\displaystyle \lambda }$

この種の議論は、ジョン・コンウェイとサイモン・コッヘンが自由意志定理という名前でその例を提唱したときに注目を集めました。^{[28] [29] [30]コンウェイ・コッヘンの定理は、}アッシャー・ペレスによって発見された一対のエンタングルメント量子とコッヘン・スペッカー構成を使用します。^[31]

ベルが指摘したように、量子力学の予測の一部は、エンタングルメントから生成される相関の特殊なケースを含め、局所的な隠れた変数モデルで再現できる。このトピックは、ベルの定理以来、体系的に研究されてきた。1989年、ラインハルト・ヴェルナーは、現在ヴェルナー状態と呼ばれるものを導入した。これは、EPRタイプの相関を生み出すが、隠れた変数モデルも許容する一対のシステムの結合量子状態である。^{[32]ヴェルナー状態は、対称}テンソル積形式のユニタリに対して不変な二部量子状態である。 2004年、ロバート・スペッケンスは、局所的で離散化された自由度の前提から始まり、観察者がそれらの自由度について知ることができる量を制限する「知識バランス原理」を課し、それによってそれらを隠れた変数にする、おもちゃのモデルを導入した。基礎となる変数（「オンティック状態」）に関する許容される知識の状態（「認識論的状態」）は、量子状態のいくつかの特徴を模倣している。おもちゃのモデルにおける相関は、一夫一婦制のようなエンタングルメントのいくつかの側面をエミュレートすることができるが、その構造上、おもちゃのモデルはベルの不等式に違反することはない。^{[33] [34]}$${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).}$$

量子力学が隠れた変数によって「完成」できるかどうかという疑問は、量子論の初期にさかのぼる。ハンガリー生まれの博学者ジョン・フォン・ノイマンは、 1932年に出版した量子力学の教科書で、 「隠れたパラメータ」は存在しないという証明であると主張した。フォン・ノイマンの証明の妥当性と明確性は、ハンス・ライヘンバッハによって疑問視され、グレーテ・ヘルマンによってさらに詳細に疑問視され、おそらくアルバート・アインシュタインとの会話の中では印刷されていないものの疑問視された。^{[注 3]} (シモン・コーヘンとエルンスト・スペッカーは、1961年には早くもフォン・ノイマンの重要な仮定を否定していたが、1967年まで批判を発表しなかった。 ^[40] )

アインシュタインは、量子力学は完全な理論ではないと粘り強く主張した。彼が好んだ議論は局所性の原理に基づいていた。

限られた時間だけ相互作用する2 つの部分システムAとBから構成される機械システムについて考えてみましょう。相互作用前の ψ 関数が与えられているとします。すると、シュレーディンガー方程式が相互作用後の ψ 関数を提供します。ここで、部分システムAの物理的状態を測定によって可能な限り完全に決定してみましょう。すると、量子力学により、部分システムBの ψ 関数を、行われた測定から、および全体システムの ψ 関数から決定できます。ただし、この決定によって得られる結果は、Aの状態を指定する決定的な大きさのどれが測定されたか (たとえば、座標または運動量) によって異なります。相互作用後のBの物理的状態は1 つしか存在できず、 Bから分離されたシステムAに対して実行する特定の測定に依存しているとは合理的に考えられないため、ψ 関数は物理的状態と明確に調整されていないと結論付けられます。複数のψ関数をシステムBの同じ物理的状態と調整することは、ψ関数が単位系の物理的状態の（完全な）記述として解釈できないことを再び示しています。^[41]

EPRの思考実験も同様で、やはり共同波動関数で記述される2つの別々のシステムAとBを考慮している。しかし、EPRの論文では、後にEPR現実基準として知られるアイデアが追加されており、それによれば、 Bに対する測定の結果を確率1で予測する能力は、 B内に「現実の要素」が存在することを意味する。^[42]

1951年、デイヴィッド・ボームは、 EPRで考えられていた位置と運動量の測定とは異なり、測定が離散的な範囲の結果を持つというEPR思考実験の変種を提案した。^[43]その前年、呉建雄とアーヴィング・シャクノフは、エンタングルドペアで生成された光子の偏光を測定することに成功し、ボーム版のEPR思考実験を実際に実行可能にした。^[44]

1940 年代後半までに、数学者ジョージ・マッキーは量子物理学の基礎に興味を持ち、1957 年に量子力学の正確な定義であると彼が考えた公理のリストを作成しました。^[45]マッキーは公理の 1 つが冗長であると推測し、その後すぐにアンドリュー・M・グリーソンが、それが他の公理から実際に演繹可能であることを証明しました。^{[46] [47]} グリーソンの定理は、広範なクラスの隠れた変数理論が量子力学と互換性がないという議論を提供しました。^{[注 4]}より具体的には、グリーソンの定理は「非文脈的」な隠れた変数モデルを排除します。量子力学の隠れた変数モデルは、グリーソンの定理の影響を避けるために、測定されるシステムだけに属する特性ではなく、測定が行われる外部のコンテキストにも依存する隠れた変数を含まなければなりません。この種の依存性は、不自然であったり望ましくないものと見なされることが多く、設定によっては特殊相対論と矛盾する。^{[49] [50]}コッヘン・スペッカーの定理は、このような確率測度を定義できない特定の有限の光線サブセットを構築することで、この主張を洗練している。^{[49] [51]}

1960年にツングダオ・リーはベルの定理を導き出す寸前まで行った。彼は2つのK中間子が反対方向に移動する事象を考慮し、隠れた変数ではそのような状況で得られる相関関係を説明できないという結論に達した。しかし、K中間子が崩壊するという事実により複雑な問題が生じ、ベル型不等式を導き出すまでには至らなかった。^{[36] : 308}

ベルは比較的無名の雑誌に定理を発表することを選んだ。なぜなら、その雑誌はページ料を必要とせず、実際には当時その雑誌に論文を発表した著者に支払っていたからである。しかし、その雑誌は著者が配布するための論文の無料再版を提供していなかったため、ベルは受け取ったお金を使って他の物理学者に送るコピーを買わなければならなかった。^[52]雑誌に掲載された論文自体にはその雑誌の名前は単にPhysicsと記載されていたが、表紙には英語、フランス語、ロシア語で論文が掲載されることを表すため、三か国語版のPhysics Physique Физика が書かれていた。^{[39] : 92–100, 289}

1964年の結果を証明する前に、ベルはコッヘン・スペッカー定理と同等の結果も証明した（そのため、後者はベル・コッヘン・スペッカー定理またはベル・KS定理とも呼ばれる）。しかし、この定理の発表は意図せず1966年まで延期された。^{[49] [53]}その論文でベルは、隠れた変数による量子現象の説明には非局所性が必要であるため、EPRパラドックスは「アインシュタインが最も嫌がる方法で解決される」と主張した。^[53]

1967年、Physics Physique Физикаという変わったタイトルがジョン・クラウザーの注目を集め、クラウザーはベルの論文を発見し、実験室でベルテストを実行する方法を検討し始めた。 ^[54]クラウザーとスチュアート・フリードマンは1972年にベルテストを実行した。^{[55] [56]}これは、検出器の設定が光子が光源を離れる前に選択されたため、限定されたテストであった。1982年、アラン・アスペクトと共同研究者は、この制限を取り除く最初のベルテストを実行した。 ^[57]これにより、ベルテストが徐々に厳格化される傾向が始まった。GHZ思考実験は、2000年に光子のエンタングルメントトリプレットを使用して実際に実装された。^[58] 2002年までに、CHSH不等式のテストは学部の実験コースで実行可能になった。^[59]

ベルテストでは、実験結果の妥当性に影響を与える実験設計や設定の問題が発生する場合があります。これらの問題は、しばしば「抜け穴」と呼ばれます。実験の目的は、量子力学の予測と矛盾する 局所隠れ変数理論によって自然を記述できるかどうかをテストすることです。

実際の実験で最もよく見られる抜け穴は、検出抜け穴と局所性抜け穴である。^[60]検出抜け穴は、実験で粒子（通常は光子）のごく一部が検出されたときに開き、検出された粒子が代表的でないサンプルであると仮定することで、データを局所的な隠れた変数で説明することが可能になる。局所性抜け穴は、検出が空間的な分離を伴わずに行われない場合に開き、相対性理論に矛盾することなく、1つの測定結果が他の測定結果に影響を与える可能性がある。実験によっては、ベルテスト違反の局所的な隠れた変数による説明を可能にする追加の欠陥がある可能性がある。^[61]

局所性と検出の抜け穴は別々の実験で塞がれていたが、同じ実験で同時に両方を塞ぐことが長年の課題であった。これは2015年に3つの実験でようやく達成された。^{[62] [63] [64] [65] [66]} これらの結果に関して、アラン・アスペクトは「どんな実験も抜け穴が全くないとは言えない」と書いているが、実験は「局所的な隠れた変数を放棄すべきだという最後の疑問を払拭する」ものであり、残っている抜け穴の例は「無理がある」ものであり「物理学の通常の推論方法とはかけ離れている」と述べている。^[67]

ベル不等式の破れを実験的に検証するこれらの努力は、後にクラウザー、アスペクト、アントン・ツァイリンガーが2022年のノーベル物理学賞を受賞することにつながった。^[68]

ベルの定理に対する反応は多種多様である。マクシミリアン・シュロスハウアー、ヨハネス・コフラー、ツァイリンガーは、ベルの不等式は「数多くの実験によって検証された厳密な理論的結果がありながら、その意味について意見が一致しないという素晴らしい例」を提供していると書いている。^[69]

コペンハーゲン型の解釈では、ベル不等式の違反を、反事実的明確性または「実在論」と呼ばれる仮定を否定する根拠とするのが一般的であるが、これは必ずしも、より広い哲学的意味での実在論を放棄することと同じではない。^{[70] [71]}たとえば、ローランド・オムネスは隠れた変数の否定を主張し、「量子力学は、その範囲と成熟度における理論の中で、おそらく最も現実的である」と結論付けている。^{[72] : 531}同様に、ルドルフ・パイエルスは、ベルの定理のメッセージは、局所性の前提が物理的に合理的であるため、「量子力学の結果の一部を放棄せずに隠れた変数を導入することはできない」ということであると解釈した。^{[73] [74]}

これは、コペンハーゲンの伝統から派生した解釈、例えば一貫した歴史（しばしば「正しいコペンハーゲン」として宣伝されている）^{[75] :  2839}やQBism ^[76]がとる道でもある。

多世界解釈はエヴェレット解釈としても知られ、動的に局所的であり、つまり遠隔作用を必要としない。^{[77] : 17}また、量子力学のユニタリー部分から成り、崩壊しないため決定論的である。ベルの暗黙の仮定である測定は単一の結果を持つという仮定に違反するため、ベル不等式に違反する相関関係を生成する可能性がある。実際、ベルの定理は、測定は単一の結果を持つという仮定から多世界フレームワークで証明できる。したがって、ベル不等式の違反は、測定が複数の結果を持つことの証明として解釈できる。^[78]

ベル相関の説明は、アリスとボブが測定を行うと、それらが局所的な枝に分かれるというものである。アリスの各コピーの観点からは、異なる結果を経験するボブの複数のコピーが存在するため、ボブは明確な結果を得ることはできず、ボブの各コピーの観点からも同じことが言える。両者は、将来の光円錐が重なったときにのみ、相互に明確に定義された結果を得る。この時点で、ベル相関が存在し始めたと言えるが、それは純粋に局所的なメカニズムによって生成された。したがって、ベル不等式の違反は非局所性の証明として解釈することはできない。^{[77] :  28}

隠れた変数の考え方を支持するほとんどの人は、実験によって局所的な隠れた変数は排除されたと信じている。^{[注 5]彼らは局所性を放棄する用意があり、ベルの不等式の違反を非局所的な}隠れた変数理論によって説明する。この理論では、粒子が自身の状態に関する情報を交換する。これは、宇宙のすべての粒子が他のすべての粒子と瞬時に情報を交換できることを要求する量子力学のボーム解釈の基礎である。非局所的な隠れた変数理論の課題の 1 つは、なぜこの瞬時の通信が隠れた変数のレベルで存在できるのに、信号を送信するために使用できないのかを説明することである。 ^[81] 2007 年の実験では、ボーム力学そのものは排除されなかったが、非ボーム的な非局所的な隠れた変数理論の大部分が排除された。^[82]

波が時間的に前後に移動すると考えるトランザクショナル解釈も同様に非局所的である。[ 83 ^]

ベルの定理を導くために必要な仮定は、隠れた変数が測定設定と相関していないということである。この仮定は、実験者が設定を選択する「自由意志」を持っていること、そしてそもそも科学を行う必要があることを根拠に正当化されている。測定の選択が測定対象システムと必然的に相関している（仮説的）理論は、超決定論として知られている。^[60]

決定論的モデルの支持者の中には、局所的な隠れた変数を諦めていない者もいる。例えば、ジェラルド・トホーフトは、超決定論を否定することはできないと主張している。^[84]