マコーレー法

マコーレー法（二重積分法）は、オイラー・ベルヌーイ梁のたわみを決定するために構造解析で使用される手法です。マコーレー法は、不連続荷重や離散荷重の場合に非常に便利です。通常、この手法を使用すると、スパン全体にわたる部分的な均一分布荷重（udl）と均一に変化する荷重（uvl）および多数の集中荷重を簡単に処理できます。

この方法を英語で初めて記述したのはマコーレーである。^[1] 実際のアプローチは1862年にクレプシュによって開発されたと思われる。 ^[2] マコーレーの方法は、軸圧縮を伴うオイラー・ベルヌーイ梁、^[3]ティモシェンコ梁、[ ^4]弾性基礎、^[5]および梁の曲げ剛性とせん断剛性が不連続に変化する問題に一般化されている。^[6]

出発点はオイラー・ベルヌーイの梁理論からの関係である

${\displaystyle \pm EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=M}$

ここで、はたわみ、は曲げモーメントである。この式^[7]は4次の梁方程式よりも単純であり、の関数としての値が既知であるかどうかを調べるために2回積分することができる。一般的な荷重の場合、は次のように表される 。${\displaystyle w}$${\displaystyle M}$${\displaystyle w}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=M_{1}(x)+P_{1}\langle x-a_{1}\rangle +P_{2}\langle x-a_{2}\rangle +P_{3}\langle x -a_{3}\rangle +\dots }$

ここで、量は点荷重による曲げモーメントを表し、量は次のように定義される マコーレー括弧である。${\displaystyle P_{i}\langle x-a_{i}\rangle }$${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle }$

${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle ={\begin{cases}0&\mathrm {if} ~x<a_{i}\\x-a_{i}&\mathrm {if} ~x>a_{i}\end{cases}}}$

通常、積分すると ${\displaystyle P(xa)}$

${\displaystyle \int P(xa)~dx=P\left[{\cfrac {x^{2}}{2}}-ax\right]+C}$

しかし、マコーレー括弧を含む式を積分する場合、

${\displaystyle \int P\langle xa\rangle ~dx=P{\cfrac {\langle xa\rangle ^{2}}{2}}+C_{m}}$

2 つの式の差は定数 に含まれています。これらの積分規則を使用すると、複数の点荷重と点モーメントがある状況で、オイラー ベルヌーイ梁のたわみの計算が簡単になります。マコーレー法は、ディラックのデルタ関数やステップ関数などのより洗練された概念よりも古いものですが、梁の問題に対して同じ結果を達成します。 ${\displaystyle C_{m}}$

マコーレー法の図解では、図に示すように、偏心集中荷重が1つ加わった単純支持梁を考察します。最初のステップは を見つけることです。支持部AとCでの反力は、力とモーメントのバランスから次のように決定されます。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R_{A}+R_{C}=P,~~LR_{C}=Pa}$

したがって、AとBの間の点Dにおける曲げモーメント（）は次のように表される。 ${\displaystyle R_{A}=Pb/L}$${\displaystyle 0<x<a}$

${\displaystyle M=R_{A}x=Pbx/L}$

モーメントと曲率の関係と曲げモーメントのオイラー・ベルヌーイの式を用いると、

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}}$

上記の式を積分すると、 ${\displaystyle 0<x<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(i)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}&&\quad \mathrm {(ii)} \end{aligned}}}$

で${\displaystyle x=a_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{-})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(iii)} \\EIw(a_{-})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+C_{1}a+C_{2}&&\quad \mathrm {(iv)} \end{aligned}}}$

領域BC（）内の点Dの曲げモーメントは ${\displaystyle a<x<L}$

${\displaystyle M=R_{A}xP(xa)=Pbx/LP(xa)}$

マコーレーのアプローチでは、上記の式のマコーレー括弧形式を使用して、点荷重が位置Bに適用されたという事実を表します。つまり、

${\displaystyle M={\frac {Pbx}{L}}-P\langle xa\rangle }$

したがって、この領域におけるオイラー・ベルヌーイの梁方程式は次のようになる。

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle xa\rangle }$

上記の式を積分すると、${\displaystyle a<x<L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(v)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}+D_{1}x+D_{2}&&\quad \mathrm {(vi)} \end{aligned}}}$

で${\displaystyle x=a_{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{+})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(vii)} \\EIw(a_{+})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+D_{1}a+D_{2}&&\quad \mathrm {(viii)} \end{aligned}}}$

式 (iii) と (vii) および (iv) と (viii) を比較すると、点 B での連続性により、およびであることがわかります。上記の観察は、検討対象の 2 つの領域について、曲げモーメントの式、したがって曲率の式は異なりますが、2 つの領域の曲率の式の連続積分中に得られる積分定数は同じであることを意味します。 ${\displaystyle C_{1}=D_{1}}$${\displaystyle C_{2}=D_{2}}$

上記の議論は、曲率方程式の不連続性の任意の数/タイプに当てはまります。ただし、各ケースで方程式が後続の領域の項を形式などで保持している必要があります。上記のケースのように、括弧内の量を与える任意の x について、-ve は無視し、括弧内の項に +ve 符号を与える量のみを考慮して計算を行う必要があることに注意してください。 ${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n},\langle x-b\rangle ^{n},\langle x-c\rangle ^{n}}$

問題に戻ると、

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

明らかに、最初の項のみが考慮され、の項と解は 両方とも${\displaystyle x<a}$${\displaystyle x>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

定数は最初の項の直後に置かれ、 のときは最初の項に、 のときは両方の項に当てはまることを示していることに注意してください。マコーレーの括弧は、 の点を考えるとき右側の量がゼロになることを思い出させるのに役立ちます。 ${\displaystyle x<a}$${\displaystyle x>a}$${\displaystyle x<a}$

、 。また、、 ​${\displaystyle w=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle C2=0}$${\displaystyle w=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \left[{\dfrac {PbL^{2}}{6}}+C_{1}L\right]-{\cfrac {P(L-a)^{3}}{6}}=0}$

または、

${\displaystyle C_{1}=-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})~.}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pbx}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

が最大となるためには、 となる。これがに対して 起こると仮定すると、${\displaystyle w}$${\displaystyle dw/dx=0}$${\displaystyle x<a}$

${\displaystyle {\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})=0}$

または

${\displaystyle x=\pm {\cfrac {(L^{2}-b^{2})^{1/2}}{\sqrt {3}}}}$

明らかに解にはなり得ません。したがって、最大たわみは次のように与えられます。 ${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle EIw_{\mathrm {max} }={\cfrac {1}{3}}\left[{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}\right]-{\cfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}}$

または、

${\displaystyle w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}~.}$

、すなわち点Bでは、たわみは ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle EIw_{B}={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pba}{6L}}(L^{2}-b^{2})={\frac {Pba}{6L}}(a^{2}+b^{2}-L^{2})}$

または

${\displaystyle w_{B}=-{\cfrac {Pa^{2}b^{2}}{3LEI}}}$

の比率を調べることは有益である。${\displaystyle w_{\mathrm {max} }/w(L/2)}$${\displaystyle x=L/2}$

${\displaystyle EIw(L/2)={\dfrac {PbL^{2}}{48}}-{\cfrac {Pb}{12}}(L^{2}-b^{2})=-{\frac {Pb}{12}}\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}$

したがって、

${\displaystyle {\frac {w_{\mathrm {max} }}{w(L/2)}}={\frac {4(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}L\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}}={\frac {4(1-{\frac {b^{2}}{L^{2}}})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left[{\frac {3}{4}}-{\frac {b^{2}}{L^{2}}}\right]}}={\frac {16(1-k^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left(3-4k^{2}\right)}}}$

ここで、 については です。荷重が支持部から 0.05L ほど離れている場合でも、たわみの推定誤差はわずか 2.6% です。したがって、ほとんどの場合、中心でのたわみを計算することで、最大たわみを妥当な誤差でかなり正確に推定できます。 ${\displaystyle k=B/L}$${\displaystyle a<b;0<k<0.5}$

のとき、が最大となる ${\displaystyle a=b=L/2}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle x={\cfrac {[L^{2}-(L/2)^{2}]^{1/2}}{\sqrt {3}}}={\frac {L}{2}}}$

そして最大たわみは

${\displaystyle w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {P(L/2)b[L^{2}-(L/2)^{2}]^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}=-{\frac {PL^{3}}{48EI}}=w(L/2)~.}$

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