3モーメントの定理

土木工学および構造解析において、 クラペイロンの 3 モーメント定理(エミール・クラペイロンによる) は、水平梁の 3 つの連続する支点における 曲げモーメントの関係です。

A、B、CDを3つの連続した支持点とし、ABの長さをl、BCの長さをw、これらのセグメントの長さあたりの重量をwとします。すると[ 1 ]、3点の曲げモーメント^は次のように関係付けられます。${\displaystyle l'}$${\displaystyle w'}$${\displaystyle M_{A},\,M_{B},\,M_{C}}$

${\displaystyle M_{A}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={\frac {1}{4}}wl^{3}+{\frac {1}{4}}w'(l')^{3}.}$

この式は次のようにも書ける^[2]

${\displaystyle M_{A}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={\frac {6a_{1}x_{1}}{l}}+{\frac {6a_{2}x_{2}}{l'}}}$

ここで、a ₁はAB にかかる垂直荷重による曲げモーメント図上の面積、 a ₂は BC にかかる荷重による面積、x ₁は A から梁 AB の曲げモーメント図の重心までの距離、x ₂は C から梁 BC の曲げモーメント図の面積の重心までの距離です。

2 番目の式は、各セグメントの重みを均一に分散する必要がないため、より一般的です。

クリスチャン・オットー・モールの定理^{[3]は三モーメント定理[4]} （TMT）を導くために使用できる 。

梁の 2 点間のたわみ曲線の傾きの変化は、その 2 点間の M/EI 図の面積に等しくなります。(図 02)

梁上の2点k1とk2を考えます。k1とk2の接線とk1を通る垂線との交点に対するk1とk2のたわみは、k1を中心としたk1とk2間のM/EI図のモーメントに等しくなります。(図03)

3 モーメント方程式は、サポートの 沈下の有無にかかわらず、2 つの隣接するスパンに荷重がかかった場合の連続梁の 3 つの連続サポートにおける曲げモーメントの関係を表します。

図04によると、

1. モーメント M1、M2、M3 は、梁の上部に圧縮を引き起こす場合は正になります。(たわみが正)
2. 下方へのたわみは正です。（下方への沈下は正です）
3. ABC は A、B、C で支えられた連続梁であるとします。この場合、A、B、C でのモーメントはそれぞれ M1、M2、M3 です。
4. 支持部の沈下による梁ABCの最終位置をA'、B'、C'とします。

PB'Q は、梁ABC の最終弾性曲線 A'B'C'に対して B' で引かれた接線です。RB'S は、B' を通る水平線です。三角形 RB'P と QB'S を考えます。

${\displaystyle {\dfrac {PR}{RB'}}={\dfrac {SQ}{B'S}},}$

（１）、（２）、（３）より、

${\displaystyle {\dfrac {\Delta B-\Delta A+PA'}{L1}}={\dfrac {\Delta C-\Delta B-QC'}{L2}}}$

M/EI 図を描いて PA' と QC' を見つけます。

モールの第 2 定理より、
PA' = A と B 間の M/EI 図の A に関する第 1 モーメント。

${\displaystyle PA'=\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{1}}{E_{1}I_{1}}}\times L_{1}\right)\times L_{1}\times {\frac {1}{3}}+\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{2}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{1}\right)\times L_{1}\times {\frac {2}{3}}+{\frac {A_{1}X_{1}}{E_{1}I_{1}}}}$

QC' = B と C 間の M/EI 図の C に関する第 1 モーメント。

${\displaystyle QC'=\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{3}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{2}\right)\times L_{2}\times {\frac {1}{3}}+\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{2}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{2}\right)\times L_{2}\times {\frac {2}{3}}+{\frac {A_{2}X_{2}}{E_{2}I_{2}}}}$

式(a)にPA'とQC'を代入すると、3モーメント定理(TMT)が得られます。

${\displaystyle {\frac {M_{1}L_{1}}{E_{1}I_{1}}}+2M_{2}\left({\frac {L_{1}}{E_{1}I_{1}}}+{\frac {L_{2}}{E_{2}I_{2}}}\right)+{\frac {M_{3}L_{2}}{E_{2}I_{2}}}=6[{\frac {\Delta A-\Delta B}{L_{1}}}+{\frac {\Delta C-\Delta B}{L_{2}}}]-6[{\frac {A_{1}X_{1}}{E_{1}I_{1}L_{1}}}+{\frac {A_{2}X_{2}}{E_{2}I_{2}L_{2}}}]}$

• CodeCogs: 複数のスパンを持つ連続梁