サンドイッチ理論

サンドイッチ理論^{[1] [2]}は、2つの表面板と1つのコアの3つの層で構成される梁、プレート、またはシェルの挙動を説明します。最も一般的に使用されるサンドイッチ理論は線形であり、一次梁理論の拡張です。線形サンドイッチ理論は、サンドイッチパネルの設計と解析に重要であり、建築、車両、飛行機、冷凍工学で使用されます。

サンドイッチ構造の利点は次のとおりです。

• サンドイッチ断面は複合材です。通常は、剛性の低い中程度のコアと、2 枚の剛性のある外側の表面シートで構成されています。複合材は、コア材または表面シート材のみで作られた同等の梁よりも、せん断剛性と重量の比率がかなり高くなっています。複合材は、引張強度と重量の比率も高くなっています。
• フェイスシートの高剛性により、複合材の曲げ剛性と重量比が高くなります。

サンドイッチ断面を持つ梁の荷重下での挙動は、一定の弾性断面を持つ梁とは異なります。曲げ時の曲率半径がサンドイッチ梁の厚さに比べて大きく、構成材料のひずみが小さい場合、サンドイッチ複合梁の 変形は2つの部分に分けることができます。

• 曲げモーメントまたは曲げ変形による変形、および
• 横方向の力による変形。せん断変形とも呼ばれます。

サンドイッチ ビーム、プレート、シェル理論では、通常、基準応力状態はゼロ応力であると想定されます。ただし、硬化中は、コア材料による熱分離のため、表面シート間の温度差が持続します。これらの温度差と表面シートの異なる線形膨張が組み合わさって、サンドイッチ ビームは、より温かい表面シートの方向に曲がる可能性があります。製造プロセス中に曲げが制限されると、サンドイッチ複合材のコンポーネントに残留応力が発生する可能性があります。問題が線形の場合、サンドイッチ理論によって提供されるソリューションに基準応力状態を重ね合わせることが可能です。ただし、大きな弾性変形と回転が予想される場合は、初期応力状態をサンドイッチ理論に直接組み込む必要があります。

サンドイッチ梁の工学理論^{[2]では、軸方向のひずみは}オイラー・ベルヌーイ理論のように梁の断面に沿って線形に変化すると仮定されている。

${\displaystyle \varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

したがって、サンドイッチ梁の軸方向応力は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}} }}$

ここで、は梁の厚さに沿った位置の関数であるヤング率である。梁の 曲げモーメントは次のように与えられる。${\displaystyle E(z)}$

${\displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

この量はサンドイッチ梁の曲げ剛性と呼ばれます。せん断力は次のように定義されます。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.}$

これらの関係式を用いると、厚さと弾性率のコアと、厚さと弾性率の2つの表面板からなるサンドイッチ梁の応力は、次のように表される。 ${\displaystyle 2h}$${\displaystyle E^{c}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E^{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}}$

同一の表面板と単位幅を持つサンドイッチ梁の場合、の値は ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}}$

ならば、次のように近似できる。 ${\displaystyle E^{f}\gg E^{c}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)}$

サンドイッチ梁の応力は次のように近似できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}}$

さらに、 ならば、 ${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)}$

そして梁のおおよその応力は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

表面シートが十分に薄く、応力が厚さ全体にわたって一定であると仮定すると、近似値は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

したがって、問題は 2 つの部分に分割できます。1 つはコアせん断のみに関係し、もう 1 つは表面シートの曲げ応力のみに関係します。

薄い表面板を持つ梁の線形サンドイッチ理論の主な仮定は次のとおりです。

• コアの横方向の法線剛性は無限大、すなわち、曲げ加工中にZ方向のコアの厚さは変化しない。
• コアの面内法線剛性はフェイスシートのそれに比べて小さい、すなわち、コアはx方向に伸びたり圧縮されたりしない。
• 表面シートはオイラー・ベルヌーイの仮定に従って動作する。つまり、表面シートにはxzせん断がなく、表面シートのz方向の厚さは変化しない。

ただし、コア内の xz せん断応力は無視されません。

2次元直交異方性線形弾性材料 の構成関係は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}}$

サンドイッチ理論の仮定は、単純化された関係につながる。

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

そして

${\displaystyle \varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

2次元の平衡方程式は

${\displaystyle {\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0}$

サンドイッチ梁の仮定と平衡方程式は、

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

したがって、均質な表面板とコアの場合、ひずみは次の形式になります。

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

サンドイッチ梁に曲げモーメントとせん断力が作用するとします。これらの荷重による梁の全たわみを とします。隣の図は、変位が小さい場合、梁の中間面の全たわみが、純粋な曲げたわみと純粋なせん断たわみの 2 つのたわみの合計として表されることを示しています。つまり、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{b}}$${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)}$

変形の幾何学から、コアの工学的せん断ひずみ（ ）は複合材の有効せん断ひずみと次の関係にあることが わかります。${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

コアのせん断ひずみは複合材の有効せん断ひずみよりも大きく、上記の関係を導く際には小さな変形（ ）が想定されていることに注意してください。梁の有効せん断ひずみはせん断変位と次の関係で関連しています。 ${\displaystyle \tan \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

表面板はオイラー・ベルヌーイ梁理論の仮定に従って変形すると仮定する。表面板の全たわみは曲げによるたわみとコアせん断によるたわみの重ね合わせであると仮定する。曲げによる表面板の方向変位は次のように表される。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}}$

コアのせん断による上部表面シートの変位は

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

そして下面シートのそれは

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

2つの表面シートの通常のひずみは次のように表される。

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}}$

したがって、

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

コアのせん断応力は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

または、

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

表面シートの法線応力は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

フェイスシートに生じる垂直力は次のように定義される。

${\displaystyle N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

そして、結果として生じるモーメントは次のように定義される。

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

どこ

${\displaystyle z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}}$

2つの表面板の法線応力の式を使用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}}$

コアでは、結果として生じるモーメントは

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0}$

梁の全曲げモーメントは

${\displaystyle M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }}$

または、

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

コアの せん断力は次のように定義される。${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

ここで、せん断補正係数である。表面板のせん断力は、次の関係式を用いて曲げモーメントから計算できる。 ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

または、

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

薄い表面シートの場合、表面シートのせん断力は通常無視されます。^[2]

サンドイッチ梁の曲げ剛性は次のように表される。

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

梁の全曲げモーメントの式から、

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

小さなせん断変形の場合、上記の式は次のように表される。

${\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

したがって、サンドイッチ梁の曲げ剛性（）は次のように表される。 ${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

そしてフェイスシートのそれは

${\displaystyle D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

梁のせん断剛性は次のように表される。

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

したがって、梁のせん断剛性はコアのせん断剛性に等しく、

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }}$

コアと表面板の間の 牽引力の連続性を利用することで、曲げとせん断のたわみの関係を得ることができます。牽引力を直接等しくすると、次の式が得られます。

${\displaystyle n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }}$

フェースシートとコアの界面の両方で、コアの上部 とコアの下部で。したがって、牽引力の連続性は、 ${\displaystyle n_{x}=1}$${\displaystyle n_{z}=1}$${\displaystyle n_{z}=-1}$${\displaystyle z=\pm h}$

${\displaystyle 2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

上記の関係は、せん断たわみの2次導関数が存在するため、ほとんど使用されません。代わりに、

${\displaystyle n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

これは、

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

上記の定義を用いると、曲げモーメントとせん断力の支配的なバランス方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}}$

上記の式を、次のように解ける2つの方程式として表すこともできます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

近似値を使用する

${\displaystyle Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}}$

梁にかかる荷重の強さ は${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

適用された荷重と適用された曲げモーメントおよび変位境界条件が与えられた場合、この 2 つの結合された常微分方程式のシステムを解くためにいくつかの手法を使用できます。

各部分断面がベルヌーイの仮説を満たしていると仮定すると、変形したサンドイッチ ビーム要素にかかる力とモーメントのバランスを使用して、サンドイッチ ビームの曲げ方程式を導き出すことができます。

応力の結果と梁と断面の対応する変形は図1に示されています。線形弾性理論を使用して次の関係を導くことができます：^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,}$

どこ

表面シートとコアの方程式を重ね合わせると、総せん断力と総曲げモーメントに関する次の方程式が得られます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}}$

上記の式を、とについて解ける2つの方程式として表現することもできます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

連続サンドイッチ梁の曲げ挙動と応力は、2 つの支配的な微分方程式を解くことによって計算できます。

均一に分布した荷重を受ける2スパン梁などの単純な形状の場合、適切な境界条件と重ね合わせの原理を使用して支配方程式を解くことができます。このような結果は、標準DIN EN 14509:2006 ^[5] (表E10.1)に記載されています。エネルギー法を使用して直接解を計算することもできます。

サンドイッチ連続梁の微分方程式は、有限差分や有限要素法などの数値的手法を使用して解くことができます。有限差分の場合、Berner ^[6] は2段階アプローチを推奨しています。与えられた荷重下での単一スパン梁のカバーシートの法線力の微分方程式を解いた後、エネルギー法を使用して、複数スパン梁の計算のアプローチを拡張できます。この手法を使用すると、柔軟なカバーシートを備えたサンドイッチ連続梁を互いに重ねて配置することもできます。ただし、梁の断面はスパン全体で一定である必要があります。

^{シュヴァルツェ[4]}が推奨するより専門的なアプローチは、支配方程式の同次部分を正確に解き、特殊部分を近似的に解くことである。サンドイッチ梁の支配方程式は次のようになることを思い出してほしい。

${\displaystyle \left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}}$

定義すると

${\displaystyle \alpha :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}~;~~\beta :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}~;~~W(x):={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

私たちは得る

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\cfrac {1+\alpha }{\beta }}\right)~W={\frac {M}{\beta D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{D^{\mathrm {face} }}}}$

Schwarze は、上記の方程式の同次部分に一般解を使用し、サンドイッチ ビームのセクションの特殊解には多項式近似を使用します。セクション間のインターフェイスは、境界条件を一致させることによって結び付けられます。このアプローチは、オープン ソースコード swe2 で使用されています。

線形サンドイッチ理論によって予測された結果は、実験的に決定された結果とよく相関しています。この理論は、サンドイッチパネルで覆われた大規模な産業用および商業用建物の建設に必要な構造レポートの基礎として使用されています。この理論の使用は、承認や関連するエンジニアリング標準で明示的に要求されています。^[5]

Mohammed Rahif Hakmiらは、材料の数値的、実験的挙動、複合材料の火災および爆風挙動について研究を行いました。彼は複数の研究論文を発表しました。

• サンドイッチパネルの局部座屈[ ^{7] [8]}
• サンドイッチパネルの面座屈応力^[9]
• 発泡充填薄肉鋼梁の座屈後挙動^[10]
• 「模型火災試験設備を用いた複合床スラブの耐火性」^[11]
• 海洋構造物 用耐火サンドイッチパネルサンドイッチパネル。^[12]
• 火災にさらされた吸湿性パネルの数値温度解析^[13]
• オフショアにおける繊維強化複合材料の費用対効果の高い使用。^[14]

ハクミは、CIB作業委員会W056サンドイッチパネル、ECCS/CIB合同委員会によって推奨され、サンドイッチパネルの設計に関する欧州の推奨事項（CIB、2000）で使用されている設計方法を開発しました。^{[15] [16] [17]}

• 曲げ
• ビーム理論
• 複合材料
• 丘陵降伏基準
• サンドイッチ構造複合材
• サンドイッチプレートシステム
• 複合ハニカム
• ティモシェンコ梁理論
• プレート理論
• サンドイッチパネル

• モハメド・ラヒフ・ハクミ
• クラウス・ベルナー、オリバー・ラーベ：Bemessung von Sandwichbauteilen。 IFBS-Schrift 5.08、IFBS eV、デュッセルドルフ、2006。
• ラルフ・メラー、ハンス・ペーター、クヌート・シュヴァルツェ: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen。 Band 1、Ernst & Sohn、ベルリン、2004、ISBN 3-433-01595-3。 

• モハメッド・ラヒフ・ハクミ サンドイッチパネルの研究
• サンドイッチ技術研究所
• https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf DIAB サンドイッチ ハンドブック
• http://www.swe1.com Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (オープン ソース)
• http://www.swe2.com 波形面を持つサンドイッチ梁の計算（オープンソース）