ビームの直接統合

直接積分は、梁の内部せん断、内部モーメント、回転、およびたわみを測定する構造解析方法です。

下向きを正として重量が加えられた梁の場合、内部せん断力は重量の負の積分によって与えられます。 ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx}$

内部モーメントは 内部せん断の積分です。 ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx}$=${\displaystyle -\int \left[\int w(x)\,dx\right]dx}$

水平からの回転角度は、内部モーメントの積分をヤング率と面積慣性モーメントの積で割ったものです。 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \theta (x)={\frac {1}{EI}}\int M(x)\,dx}$

回転角度を積分すると垂直変位が得られます。 ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx}$

積分を実行するたびに、積分定数を取得する必要があります。これらの定数は、サポートまたは自由端の力を使用して決定されます。

内部せん断とモーメントについては、梁の自由体図を解析することで定数を見つけることができます。

回転と変位については、サポートの種類に応じた条件を使用して定数が求められます。片持ち梁の場合、固定サポートの回転と変位はゼロです。ピンとローラーでサポートされた梁の場合、両方のサポートの変位はゼロです。

右側の梁は、左側の固定ピンと右側のローラーで支えられています。モーメントはかかっておらず、重量は一定で 10 kN です。対称性により、各サポートは梁に 75 kN の垂直力を加えます。ピンからの距離を x とすると、

${\displaystyle w(x)=10~{\textrm {kN}}/{\textrm {m}}}$

統合、

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx=-10x+C_{1}({\textrm {kN}})}$

ここで、は適用される荷重を表します。これらの計算では、梁に影響を与える唯一の荷重は、x = 0で適用されるピンによって適用される75 kNの荷重であり、 ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle V(x)=-10x+75({\textrm {kN}})}$

内部せん断を統合し、

${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx=-5x^{2}+75x({\textrm {kN}}\cdot {\textrm {m}})}$ここで、モーメントは適用されないので、。${\displaystyle C_{2}=0}$

EI値が1 kN m mであると仮定します（簡単に言えば、鋼鉄などの構造部材の実際のEI値は通常10の累乗で大きくなります） ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle \cdot}$

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}+C_{3}({\textrm {m}}/{\textrm {m}})}$* そして

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}+C_{3}x+C_{4}({\textrm {m}})}$

梁の両端に垂直支持部があるため、x = 0およびx = 15mでの変位( )はゼロです。(x = 0, ν(0) = 0)および(x = 15m, ν(15m) = 0)を代入すると、定数=-1406.25および=0を解くことができ、次の式が得られます。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}-1406.25({\textrm {m}}/{\textrm {m}})}$そして

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}-1406.25x({\textrm {m}})}$

与えられた EI 値の場合、x=7.5m での最大変位は、梁の長さの約 440 倍になります。より現実的な状況、たとえば均一荷重 1 kN および EI 値 5,000 kN·m² の場合、変位は約 13 cm になります。

• 回転の場合、単位はメートルをメートルで割ったもの（または 1 に減算されるその他の長さの単位）であることに注意してください。これは、回転が傾斜、つまり垂直方向の変位を水平方向の変化で割ったものとして与えられるためです。${\displaystyle \theta}$

• 曲げ
• ビーム理論
• オイラー・ベルヌーイ静的梁方程式
• 固体力学
• バーチャルワーク

• Hibbeler, RC, Mechanics Materials、第 6 版、Pearson Prentice Hall、2005 年。ISBN 0-13-191345  -X。

• 二重積分法によるビーム偏向