ティモシェンコ＝エーレンフェストのビーム理論

ティモシェンコ・エーレンフェスト梁理論は、 20世紀初頭にスティーブン・ティモシェンコとポール・エーレンフェストによって開発されました^{[1] [2] [3] 。 [4] [5]}このモデルはせん断変形と回転曲げ効果を考慮しているため、厚い梁、サンドイッチ複合梁、または波長が梁の厚さに近づいたときの高周波励起を受ける梁の挙動を記述するのに適しています。結果として得られる方程式は4次ですが、オイラー・ベルヌーイ梁理論とは異なり、2次の偏微分も存在します。物理的には、変形の追加メカニズムを考慮すると梁の剛性が効果的に低下し、その結果、静的荷重下でのたわみが大きくなり、特定の境界条件セットに対する予測固有周波数が低くなります。後者の効果は、波長が短くなるにつれて（原理的には梁の高さと同程度かそれ以下）、反対のせん断力間の距離が減少するため、高周波数でより顕著になります。

回転慣性効果はブレス^{[6]とレイリー[7]}によって導入された。

梁材料のせん断弾性率が無限大に近づき、梁がせん断剛性になり、回転慣性効果が無視される場合、ティモシェンコ梁理論はオイラー・ベルヌーイ梁理論に収束します。

軸方向の影響のない静的ティモシェンコ梁理論では、梁の変位は次のように与えられると仮定される。

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x ,y)=w(x)}$

ここで、は梁内の点の座標、は 3 つの座標方向の変位ベクトルの成分、は梁の中間面に対する法線の回転角度、は中間面の- 方向の変位です。 ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$

支配方程式は、次の常微分方程式の結合系です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\ mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}$

静的ケースのティモシェンコ梁理論は、上記の最後の項を無視すればオイラー・ベルヌーイ理論と等価であり、次の場合に有効な近似である。

${\displaystyle {\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1}$

どこ

• ${\displaystyle L}$梁の長さです。
• ${\displaystyle A}$断面積です。
• ${\displaystyle E}$弾性係数です。
• ${\displaystyle G}$はせん断弾性係数です。
• ${\displaystyle I}$は面積の2次モーメントです。
• ${\displaystyle \kappa}$ティモシェンコせん断係数と呼ばれるこの値は、形状によって異なります。通常は、長方形の断面の場合です。${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x)}$分布荷重（長さあたりの力）です。
• ${\displaystyle w}$は、中間面の- 方向の変位です。${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi}$梁の中間面に対する法線の回転角度です。

2つの式を組み合わせると、一定の断面を持つ均質な梁の場合、

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

梁の曲げモーメントとせん断力は、変位と回転に関連しています。線形弾性ティモシェンコ梁の場合、これらの関係は次のようになります。 ${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{および}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

ティモシェンコ梁の変形を記述する 2 つの方程式を解くには、境界条件を追加する必要があります。問題を適切に設定するには、4 つの境界条件が必要です。一般的な境界条件は次のとおりです。

• 単純に支持された梁: 2 つの支持の位置での変位はゼロです。梁に適用される曲げモーメントも指定する必要があります。回転と横方向のせん断力は指定されません。${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Q_{x}}$
• 固定梁: 変位と回転は固定端でゼロに指定されます。片方の端が自由端の場合、その端でせん断力と曲げモーメントを指定する必要があります。${\displaystyle w}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle M_{xx}}$

ティモシェンコ梁のひずみエネルギーは、曲げとせん断によるひずみエネルギーの合計として表されます。これらの要素は両方とも変数が2次です。ティモシェンコ梁のひずみエネルギー関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}$

片持ち梁の場合、一方の境界は固定され、もう一方は自由です。 方向が右向き、 方向が上向きの正である右手座標系を使用します。通常の慣例に従い、正の力が および 軸の正の方向に作用し、正のモーメントが時計回り方向に作用すると仮定します。また、応力合力(および)の符号規則では、正の曲げモーメントが梁の下部 (下の座標) の材料を圧縮し、正のせん断力が梁を反時計回り方向に回転すると仮定します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle z}$

クランプされた端が で、自由端が であると仮定します。自由端に正の方向に点荷重が加えられると、梁の 自由体図は次のようになります。${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

そして

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

したがって、曲げモーメントとせん断力の式から、

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

最初の方程式を積分し、境界条件を に適用すると、 ${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

2番目の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

における境界条件の積分と適用により、 ${\displaystyle w=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

軸方向応力は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

軸方向の影響を考慮しないティモシェンコ梁理論では、梁の変位は次のように与えられると仮定される。

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

ここで、は梁内の点の座標、は 3 つの座標方向の変位ベクトルの成分、は梁の中間面に対する法線の回転角度、は中間面の- 方向の変位です。 ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$

上記の仮定から出発して、振動を考慮したティモシェンコ梁理論は、結合した線形偏微分方程式で記述することができる。^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

ここで従属変数は、梁の並進変位、および角変位である。オイラー・ベルヌーイ理論とは異なり、角変位は別の変数であり、変位の傾きで近似されないことに注意する。また、 ${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle \varphi (x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$は梁材料の密度です（線密度ではありません）。
• ${\displaystyle A}$断面積です。
• ${\displaystyle E}$弾性係数です。
• ${\displaystyle G}$はせん断弾性係数です。
• ${\displaystyle I}$は面積の2次モーメントです。
• ${\displaystyle \kappa }$ティモシェンコせん断係数と呼ばれるこの値は、形状によって異なります。通常は、長方形の断面の場合です。${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$分布荷重（長さあたりの力）です。
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$
• ${\displaystyle w}$は、中間面の- 方向の変位です。${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$梁の中間面に対する法線の回転角度です。

これらのパラメータは必ずしも定数ではありません。

一定断面の線形弾性、等方性、均質な梁の場合、これら2つの式を組み合わせると次の式が得られます^{[9] [10]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

しかし、この方程式が間違っていることは簡単に証明できます。q が定数で x や t に依存せず、小さな減衰が存在する場合を考えてみましょう。t が無限大になると、すべての時間微分はゼロになります。この状況ではせん断項は存在しないため、せん断変形が無視されるオイラー・ベルヌーイの梁理論になります。

ティモシェンコ方程式は臨界周波数を予測する 。通常モードではティモシェンコ方程式を解くことができる。4次方程式であるため、以下の周波数では2つの振動解と2つのエバネッセント解の4つの独立した解が存在する。より大きい周波数ではすべての解が振動し、結果として2番目のスペクトルが現れる。^[11]${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{c}}$

梁の変位が次のように与えられるとすると

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

ここで、は -方向への追加変位であり、ティモシェンコ梁の支配方程式は次の形をとる。 ${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

ここで、は外部から加えられた軸力である。外部の軸力は、応力の結果によって釣り合う。 ${\displaystyle J=\rho I}$${\displaystyle N(x,t)}$

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

ここで は軸方向応力であり、梁の厚さは であると仮定されています。 ${\displaystyle \sigma _{xx}}$${\displaystyle 2h}$

軸力の影響を考慮した複合梁方程式は

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

軸方向の力に加えて、速度に比例する減衰力を次のように仮定すると、

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

ティモシェンコ梁の連成支配方程式は次の形をとる。

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

そして、結合した方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

この仮定減衰力（粘性に似ている）に関する注意点は、粘性によって梁の振動の減衰率が周波数に依存し、振幅に依存しないのに対し、経験的に測定された減衰率は周波数に依存しないが、梁のたわみの振幅に依存するという点です。

せん断係数の決定は簡単ではありません (決定された値が広く受け入れられているわけでもなく、つまり複数の答えがあるわけでもありません)。一般的には、次の条件を満たす必要があります。

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}})}$。

せん断係数はポアソン比に依存する。正確な表現を提供する試みは、スティーブン・ティモシェンコ^[12]、 レイモンド・D・ミンドリン^[13]、GR・カウパー^[14] 、 NG・スティーブン^[15] 、 JR・ハッチンソン^{[16]など多くの科学者によって行われた（また、カン・C・レ[17]}の著書における変分漸近法に基づく改良された梁理論としてのティモシェンコ梁理論の導出も参照のこと。この理論は静的および動的ケースで異なるせん断係数を導出している）。工学の実務では、スティーブン・ティモシェンコ^[18]の表現はほとんどの場合に十分である。1975年に金子^[19]はせん断係数の研究に関する優れたレビューを発表した。最近では、新しい実験データによりせん断係数が過小評価されていることが示されている。^{[20] [21]}

カウパー選択法による均質等方性梁の補正せん断係数。^[14]

ポアソン比は どこですか。${\displaystyle \nu }$

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