特異点関数

特異点関数は、特異点を含む不連続関数のクラスです。つまり、特異点で不連続です。特異点関数は、一般化関数や分布理論という別名で数学の分野で精力的に研究されてきました。^{[1] [2] [3]}関数は、nが整数の場合、括弧で表されます。「 」は、特異点括弧と呼ばれることがよくあります。関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \langle xa\rangle ^{n}}$${\displaystyle \langle \rangle }$

ここで、δ ( x )はディラックのデルタ関数で、単位インパルスとも呼ばれます。 δ ( x )の 1 次導関数は単位二重項とも呼ばれます。 この関数はヘビサイドのステップ関数で、x < 0の場合はH ( x ) = 0、x > 0の場合はH ( x ) = 1です。 H (0)の値は、ヘビサイドのステップ関数に選択された特定の規則によって異なります。 n > 0の場合、関数にはx − aの乗法係数が含まれるため、これはn = 0 の場合にのみ問題になることに注意してください。はランプ関数とも呼ばれます。 ${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \langle xa\rangle ^{1}}$

積分は、積分定数が自動的に含まれる便利な方法で実行でき、その結果はx = aで0になります。 ${\displaystyle \langle xa\rangle ^{n}}$

$${\displaystyle \int \langle xa\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle xa\rangle ^{n+1},&n<0\\{\frac {\langle xa\rangle ^{ n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{件}}}$$

図に示すように、一定の断面積と弾性係数を持つ単純支持梁のたわみは、オイラー・ベルヌーイの梁理論を使用して求めることができます。ここでは、下向きの力とたわみ曲げモーメントが正であるという符号規則を使用しています。

負荷分散:

${\displaystyle w=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{-1}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text { m}}\rangle ^{0}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{-1}\ -\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{0}\ }$

せん断力:

${\displaystyle S=\int w\,dx}$

${\displaystyle S=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{0}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{1}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{0}\ -\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{1}\,}$

曲げモーメント:

${\displaystyle M=-\int S\,dx}$

${\displaystyle M=3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{1}\ -\ 3{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m }}\rangle ^{2}\ +\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{1}\ +\ 3{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{2}\,}$

スロープ：

${\displaystyle u'={\frac {1}{EI}}\int M\,dx}$

x = 0では傾きがゼロではないので 、積分定数cが追加される。

${\displaystyle u'={\frac {1}{EI}}\left({\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{2}\ -\ 1{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ {\frac {9}{2}}{\text{ N} }\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ 1{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ c\right) \,}$

偏向：

${\displaystyle u=\int u'\,dx}$

${\displaystyle u={\frac {1}{EI}}\left({\frac {1}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{3}\ -\ {\frac {1}{4}}{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{4}\ +\ {\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ {\frac {1}{4}}{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{4}\ +\ cx\right)\,}$

境界条件u  = 0、x = 4 mの場合、 c  = −7 Nm ² を解くことができる。

• マコーレー括弧
• マコーレー法

• 特異点関数 (ティム・レイヒー)
• 特異点関数（J. Lubliner、土木環境工学科）
• 梁：特異関数による変形（イブラヒム A. アサッカフ博士）