柔軟性メソッド

構造工学において、柔軟性法（整合変形法とも呼ばれる）は、構造システムの部材力と変位を計算する伝統的な方法です。部材の柔軟性マトリックスを用いて定式化されたその現代版は、部材力を主要な未知数として用いることから、マトリックス力法とも呼ばれています。 ^{[ 1 ]}

柔軟性は剛性の逆数である。例えば、力Qと変形qがそれぞれバネであるバネを考えてみよう。

• ばねの剛性の関係はQ = kqで表され、 kはばねの剛性です。
• その柔軟性の関係はq = f Qで表され、fはばねの柔軟性です。
• したがって、f = 1/ kとなります。

典型的な部材柔軟性関係は、以下の一般的な形式をとります。

どこ

m = メンバー番号m。

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= 部材の特性変形を表すベクトル。

${\displaystyle \mathbf {f} ^{m}}$＝部材の柔軟性マトリックス。これは、部材が力を受けた際に変形しやすい性質を表す。

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$＝部材の独立特性力のベクトル。これは未知の内部力である。これらの独立力は、部材の平衡によってすべての部材端部力を生み出す。

${\displaystyle \mathbf {q} ^{om}}$= 孤立した、切断された部材に作用する外部効果（既知の力や温度変化など）によって引き起こされる部材の特性変形のベクトル（つまり、${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0}$)

ノードと呼ばれる点で相互接続された多数の要素から構成されるシステムの場合、要素の柔軟性関係は、上付き文字mを省略して単一の行列方程式にまとめることができます。

ここで、Mはシステム内の部材の特性変形または力の総数である。

部材の剛性関係を節点平衡条件と適合条件によって容易に統合できるマトリックス剛性法とは異なり、式（ 2）の現在の柔軟性形式は深刻な困難を伴う。部材力${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}}$主要な未知数として、一般的には、システムが静的に決定可能でない限り、節点平衡方程式の数は解くのに不十分です。

この問題を解決するために、まず節点平衡方程式を用いて、独立した未知の部材力の数を減らします。システムの節点平衡方程式は次のようになります。

どこ

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}}$:システムのすべての N自由度における節点力のベクトル。

${\displaystyle \mathbf {b} _{N\times M}}$結果として得られる節点平衡行列

${\displaystyle \mathbf {W} _{N\times 1}}$部材にかかる荷重によって生じる力のベクトル。

確定的なシステムの場合、行列bは正方行列であり、システムが安定であれば、( 3 ) からQの解をすぐに求めることができます。

静的に不確定なシステムの場合、M > N となるため、 ( 3 ) 式に次の形式のI = M − N方程式を追加することができます。

ベクトルXは、いわゆる冗長力のベクトルであり、Iはシステムの静的不確定性の度合いです。通常、j、k、…、${\displaystyle \alpha }$、 そして${\displaystyle \beta }$そのため${\displaystyle X_{i}}$これは支持反力または内部部材端部力である。適切な冗長力を選択することで、式（3）に（4）を加えた連立方程式を解くと、次の式が得られる。

（２）に代入すると次のようになる。

式（５）と（６ ）は、冗長な力を露出させる切断によって静的に確定された元のシステムである主システムの解である。${\displaystyle \mathbf {X} }$式（５）は、未知の力のセットを効果的に縮小します。${\displaystyle \mathbf {X} }$。

次に、設定する必要があります ${\displaystyle I}$ 適合方程式を見つけるために${\displaystyle \mathbf {X} }$適合方程式は、相対変位を設定することにより、切断断面で必要な連続性を回復します。${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$冗長要素Xをゼロにする。つまり、単位ダミー力法を用いる。

どこ

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

式（7b ）をXについて解くと、部材力は（5）から求められ、節点変位は次のように求められる。

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$はシステム柔軟性マトリックスです。

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

冗長箇所で発生する支持部の動きは式（ 7 ）の右辺に含めることができるが、他の場所での支持部の動きは${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$そして${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$同じように。

（ 4 ）における冗長力の選択は恣意的で自動計算には不向きに見えるかもしれないが、修正ガウス・ジョルダン消去法を用いて（ 3）から直接（5 ）に進むことでこの問題は克服できる。これは数値安定性を確保するために適切な冗長力セットを自動的に選択する堅牢な手順である。

上記の手順から明らかなように、マトリックス剛性法は理解しやすく、自動計算への実装も容易です。また、非線形解析、安定性、振動などの高度なアプリケーションへの拡張も容易です。これらの理由から、マトリックス剛性法は汎用構造解析ソフトウェアパッケージで使用するための最適な方法となっています。一方、静的不確定性の低い線形システムの場合、柔軟性法は計算負荷が少ないという利点があります。しかし、パーソナルコンピュータが広く普及し、より高性能になった現在では、この利点はもはや意味をなさなくなっています。今日、この方法を学ぶ主な利点は、歴史的価値に加えて、平衡と適合性の概念を伝える教育的価値にあります。対照的に、直接剛性法の手順は非常に機械的であるため、構造挙動を十分に理解せずに使用してしまうリスクがあります。

上記の議論は1990年代後半まで有効でした。しかし、近年の数値計算の進歩により、特に非線形システムの場合において、力法が再び注目を集めています。システムの非線形性の種類や性質に関わらず、「正確な」定式化を可能にする新しいフレームワークが開発されました。柔軟性法の主な利点は、結果の誤差がモデルの離散化に依存しないこと、そして非常に高速な手法であることです。例えば、力法を用いた連続梁の弾塑性解析では、わずか4つの梁要素で済みますが、市販の「剛性ベース」のFEMコードでは、同じ精度で結果を得るために500個の要素が必要となります。結論として、構造最適化やシステム同定のように、問題の解決に力場の再帰的評価が必要な場合、柔軟性法の効率性は疑いようがないと言えます。

• 構造力学における有限要素法
• 構造解析
• 剛性法

• 一貫性変形 - 力法 ( 2008年8月10日にWayback Machineにアーカイブ)