傾斜たわみ法

勾配たわみ法は、 1914年にジョージ・A・マニーによって導入された梁とフレームの構造解析法です。 ^[1]勾配たわみ法は、モーメント分布法が開発されるまで、10年以上にわたって広く使用されていました。JBジョンソン、CWブライアン、FEターノーアの共著「現代のフレーム構造の理論と実践」という本には、この方法が最初に「ドイツのオットー・モール教授によって開発され、後にGAマニー教授によって独自に開発された」と記載されています。この本によると、オットー・モール教授は、著書「剛体ノード接続によるトラスの評価」または「星状節点結合による構造物の検証」で初めてこの方法を紹介しました。

傾斜たわみ方程式を作成し、ジョイントとせん断の平衡条件を適用することで、回転角度 (または傾斜角度) が計算されます。それらを傾斜たわみ方程式に代入すると、メンバーの端部モーメントが簡単に決定されます。メンバーの変形は曲げモーメントによるものです。

傾斜たわみ方程式は、剛性係数と弦回転を使用して記述することもできます。 ${\displaystyle K={\frac {I_{ab}}{L_{ab}}}}$${\displaystyle \psi ={\frac {\Delta }{L_{ab}}}}$

長さと曲げ剛性の単純な梁の各端に時計回りのモーメントとが負荷されると、部材の端の回転は同じ方向に発生します。これらの回転角度は、単位力法またはダルシーの法則を使用して計算できます。 ${\displaystyle L_{ab}}$${\displaystyle E_{ab}I_{ab}}$${\displaystyle M_{ab}}$${\displaystyle M_{ba}}$

${\displaystyle \theta _{a}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}={\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}}$

${\displaystyle \theta _{b}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}=-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}+{\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}}$

これらの方程式を整理すると、傾斜たわみ方程式が導出されます。

関節平衡条件は、自由度を持つ各関節が不平衡モーメントを持たないこと、つまり平衡状態にあることを意味します。したがって、

${\displaystyle \Sigma \left(M^{f}+M_{member}\right)=\Sigma M_{joint}}$

ここで、は部材端モーメント、は固定端モーメント、 はジョイントに直接適用される外部モーメントです。 ${\displaystyle M_{メンバー}}$${\displaystyle M^{f}}$${\displaystyle M_{ジョイント}}$

フレームに弦回転がある場合、追加の平衡条件、つまりせん断平衡条件を考慮する必要があります。

図に示す不静定梁を解析します。

• メンバー AB、BC、CD の長さは同じです。${\displaystyle L=10\m}$
• 曲げ剛性はそれぞれEI、2EI、EIです。
• 大きさの集中荷重は、支持点 A から離れた場所に作用します。${\displaystyle P=10\kN}$${\displaystyle a=3\m}$
• BC には均一な強度の荷重が作用します。${\displaystyle q=1\ kN/m}$
• 部材 CD には、その中央部に大きさ の集中荷重がかかります。${\displaystyle P=10\kN}$

以下の計算では、時計回りのモーメントと回転が正になります。

ジョイントA、B、Cの回転角度、、はそれぞれ未知数とみなされます。支持部の沈下など他の原因による弦の回転はありません。 ${\displaystyle \theta _{A}}$${\displaystyle \theta _{B}}$${\displaystyle \theta _{C}}$

固定端モーメントは次のとおりです。

${\displaystyle M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6.3\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12.5\mathrm {\,kN\,m} }$

傾斜たわみ方程式は次のように構築されます。

${\displaystyle M_{AB}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{A}+2\theta _{B}\right)={\frac {4EI\theta _{A}+2EI\theta _{B}}{L}}}$

${\displaystyle M_{BA}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{A}+4\theta _{B}\right)={\frac {2EI\theta _{A}+4EI\theta _{B}}{L}}}$

${\displaystyle M_{BC}={\frac {2EI}{L}}\left(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)={\frac {8EI\theta _{B}+4EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{CB}={\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{B}+4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{B}+8EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)={\frac {2EI\theta _{C}}{L}}}$

ジョイントA、B、Cは平衡条件を満たす必要があります。したがって

${\displaystyle \Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}-14.7=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0.2EI\theta _{A}+1.2EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}-2.033=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0.4EI\theta _{B}+1.2EI\theta _{C}-4.167=0}$

回転角度は上記の連立方程式から計算されます。

${\displaystyle \theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}}$

${\displaystyle \theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}}$

${\displaystyle \theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}}$

これらの値を勾配たわみ方程式に代入すると、部材端部モーメント（kNm 単位）が得られます。

${\displaystyle M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0}$

${\displaystyle M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57}$

${\displaystyle M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57}$

${\displaystyle M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19}$

${\displaystyle M_{CD}=0.4\times -5.785-12.5=-10.19}$

${\displaystyle M_{DC}=0.2\times -5.785+12.5=13.66}$

• ビーム理論

• ノリス、チャールズ・ヘッド、ジョン・ベンソン・ウィルバー、セノル・ウトク (1976)。『基本構造分析』（第 3 版）。マグロウヒル。pp. 313–326。ISBN 0-07-047256-4。
• McCormac, Jack C.; Nelson, James K. Jr. (1997)。構造分析: 古典的および行列的アプローチ(第 2 版)。Addison-Wesley。pp. 430–451。ISBN 0-673-99753-7。
• ヤン・チャンヒョン (2001-01-10). 構造分析 (韓国語) (第4版). ソウル: Cheong Moon Gak Publishers. pp. 357–389. ISBN 89-7088-709-12007年10月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。