共役ビーム法

共役梁法は梁の傾斜と変位を導く工学的手法である。共役梁は、元の梁と同じ寸法（長さ）を持つ仮想梁として定義されるが、共役梁上の任意の点における荷重は、その点における曲げモーメントをEIで割った値に等しい。^[1]

共役梁法は、 1865年にハインリッヒ・ミュラー・ブレスラウによって開発されました。本質的には、梁の傾斜やたわみを決定するためにモーメント面積定理と同じ量の計算が必要ですが、この方法は静力学の原理のみに依存しているため、その適用はより馴染み深いものになります。^[2]

この方法の基礎は、式 1 と式 2 が式 3 と式 4 に類似していることに基づいています。この類似性を示すために、これらの式を以下に示します。

統合すると、方程式は次のようになります。

ここで、せん断V は傾斜θと比較され、モーメントM は変位vと比較され、外部荷重 w は M/EI 図と比較されます。以下は、せん断、モーメント、およびたわみの図です。AM/EI 図は、梁のヤング率と慣性モーメントで割ったモーメント図です。

この比較を利用するために、実際の梁と同じ長さの梁（ここでは「共役梁」と呼ぶ）について考えてみましょう。共役梁には、実際の梁にかかる荷重から導かれる M/EI 図が「荷重」として作用します。上記の比較から、共役梁に関連する 2 つの定理を述べることができます。^[2]

定理 1: 実ビームの点における傾斜は、共役ビームの対応する点におけるせん断と数値的に等しい。

定理2：実ビーム上の点の変位は、共役ビーム上の対応する点のモーメントに数値的に等しい。^[2]

共役梁を描くときは、共役梁の支持部で発生するせん断とモーメントが、定理 1 と 2 の結果として、支持部における実梁の対応する傾斜と変位を考慮することが重要です。たとえば、以下に示すように、実梁の端にあるピンまたはローラー支持は、変位はゼロですが、傾斜はゼロではありません。したがって、定理 1 と 2 から、共役梁はピンまたはローラーで支持されている必要があります。これは、この支持のモーメントはゼロですが、せん断または端部反応があるためです。実梁が固定支持されている場合、傾斜と変位は両方ともゼロです。ここで、共役梁には自由端があります。この端ではせん断とモーメントがゼロだからです。対応する実支持と共役支持を以下に示します。原則として、軸力を無視すると、静定実梁は静定共役梁を持ち、静定不定実梁は不安定共役梁を持つことに注意してください。このようなことは起こりますが、M/EI負荷は共役ビームを安定に保つために必要な「平衡」を提供します。^[2]

次の手順では、共役梁法を使用して梁の弾性曲線上の点における 変位とたわみを決定するために使用できる方法を示します。

• 実ビームの共役ビームを描きます。このビームは実ビームと同じ長さを持ち、上記にリストされている対応するサポートを持ちます。
• 一般に、実支持が傾斜を許容する場合、共役支持はせん断を生じなければなりません。また、実支持が変位を許容する場合、共役支持はモーメントを生じなければなりません。
• 共役ビームには、実ビームのM/EI図に従って荷重がかけられます。この荷重は共役ビーム全体に分散され、M/EIが正のときは上向き、負のときは下向きに働くと想定されます。言い換えれば、荷重は常にビームから離れる方向に作用します。^[2]

• 静力学の方程式を使用して、共役梁サポートでの反応を決定します。
• 実ビームの傾きθと変位Δを求める点で共役ビームを切断します。断面では、実ビームのθとΔにそれぞれ等しい未知のせん断V'とM'を示します。特に、これらの値が正で、傾きが反時計回りで変位が上向きの場合。^[2]

• カンチレバー方式

• OKAMURA Koichi岡村宏一 (1988)コウゾウコウガク (I) 土木キョウテイセンショウ。鹿島出版。ISBN 4-306-02225-0。