中立軸

中立軸とは、梁（曲げに抵抗する部材）またはシャフトの断面内で、縦方向の応力や歪みが発生しない軸です。

断面が対称で等方性であり、曲げが発生する前に湾曲していない場合、中立軸は梁またはシャフトの幾何学的重心にあります。中立軸の片側にあるすべての繊維は張力状態にあり、反対側にある繊維は圧縮状態にあります。

梁は均一に曲げられているため、梁上の平面は平面のままです。つまり、

${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{zx}=\tau _{xy}=\tau _{xz}=0}$

せん断ひずみはどこにあり、せん断応力はどこにありますか？${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \tau}$

梁の上部には圧縮（負）ひずみがあり、梁の下部には引張（正）ひずみがあります。したがって、中間値定理により、梁のひずみは連続関数であるため、上部と下部の間にひずみのない点が存在するはずです。

Lを梁の元の長さ（スパン）とすると、
ε(y)は梁の面の座標の関数としてのひずみです。σ
(y)は梁の面の座標の関数としての応力です。ρは梁の中立軸における曲率半径
です。θは曲げ角度 です。

曲げは均一かつ純粋であるため、中立軸から距離 y のところに、歪みがないという固有の特性を持つものがあります。

${\displaystyle \epsilon _{x}(y)={\frac {L(y)-L}{L}}={\frac {\theta \,(\rho \,-y)-\theta \rho \,}{\theta \rho \,}}={\frac {-y\theta }{\rho \theta }}={\frac {-y}{\rho }}}$

したがって、縦方向の法線ひずみは、中立面からの距離 y に比例して変化します。を梁の最大ひずみ (中立軸からの距離 c) として表すと、次のことが明らかになります。 ${\displaystyle \epsilon_{x}}$${\displaystyle \epsilon_{m}}$

${\displaystyle \epsilon _{m}={\frac {c}{\rho }}}$

したがって、ρ を解くと次のことがわかります。

${\displaystyle \rho ={\frac {c}{\epsilon _{m}}}}$

これを元の式に戻すと、次のようになります。

${\displaystyle \epsilon _{x}(y)={\frac {-\epsilon _{m}y}{c}}}$

フックの法則により、梁の応力は弾性係数Eによるひずみに比例します。

${\displaystyle \sigma_{x}=E\epsilon_{x}\,}$

したがって：

${\displaystyle E\epsilon _{x}(y)={\frac {-E\epsilon _{m}y}{c}}}$

${\displaystyle \sigma _{x}(y)={\frac {-\sigma _{m}y}{c}}}$

静力学によれば、モーメント（つまり純粋な曲げ）は等しく反対方向の力で構成されます。したがって、断面全体の力の合計は 0 でなければなりません。

${\displaystyle \int \sigma _{x}dA=0}$

したがって：

${\displaystyle \int {\frac {-\sigma _{m}y}{c}}dA=0}$

y は中立軸から面上の任意の点までの距離を表すため、dA に応じて変化する唯一の変数です。したがって、

${\displaystyle \int ydA=0}$

したがって、断面の中立軸周りの第 1 モーメントはゼロでなければなりません。したがって、中立軸は断面の重心上にあります。

曲げを受けても中立軸の長さは変化しないことに注意してください。最初は直感に反するように思えるかもしれませんが、これは中立軸に曲げ応力がないためです。ただし、中立軸にはせん断応力 (τ) があり、この関数 (Jourawski の式) でわかるように、スパンの中央ではゼロですが、サポートに向かって増加します。

${\displaystyle \tau ={\frac {TQ}{wI}}}$

ここで、
T = せん断力、
Q =中立軸の上/下の断面の1次モーメント
、w = 梁の幅、
I =梁の 2次モーメント

この定義は、いわゆる長い梁、つまりその長さが他の 2 つの次元よりもはるかに大きい梁に適しています。

アーチが石で作られている場合、アーチにも中立軸があります。石は非弾性媒体であり、張力にはほとんど強度がありません。したがって、アーチにかかる荷重が変化すると中立軸が移動します。中立軸が石造りから離れると、アーチは破損します。

この理論（推力線法としても知られる）はトーマス・ヤングによって提唱され、イザムバード・キングダム・ブルネルによって発展させられました。

建築業従事者は、建物の構造要素の強度を危険にさらす可能性のある場所に配線、パイプ、ダクトを通すための開口部を切ることを避けるために、中立軸の概念について少なくとも基本的な理解を持つ必要があります。建築基準法では通常、日常的な作業では従うべき規則とガイドラインが指定されていますが、特別な状況や設計では、安全を確保するために構造エンジニアのサービスが必要になる場合があります。^{[1] [2]}

• 中立面
• 二次慣性モーメント