モーメント面積定理

モーメント面積定理は、梁やフレームの傾斜、回転、たわみを導く工学ツールです。この定理はモールによって開発され、後にチャールズ・エズラ・グリーンによって 1873 年に提唱されました。この方法は、梁、特に一連の集中荷重を受ける梁や、異なる慣性モーメントを持つセグメントを持つ梁に関する問題を解決するときに有利です。

弾性曲線上の任意の 2 点間の傾きの変化は、これらの 2 点間の M/EI (モーメント) 図の面積に等しくなります。

${\displaystyle \theta _{A/B}={\int _{A}}^{B}\left({\frac {M}{EI}}\right)dx}$

どこ、

• ${\displaystyle M}$=瞬間
• ${\displaystyle EI}$= 曲げ剛性
• ${\displaystyle \theta _{A/B}}$= 点Aと点Bの間の傾きの変化
• ${\displaystyle A,B}$= 弾性曲線上の点^[1]

弾性曲線上の点 A の、別の点 B から延長された接線に対する垂直偏差は、M/EI 図の下の 2 点 (A と B) 間の領域のモーメントに等しくなります。このモーメントは、B から A への偏差を決定する点 A を中心に計算されます。

${\displaystyle t_{A/B}={\int _{A}}^{B}{\frac {M}{EI}}x\;dx}$

どこ、

• ${\displaystyle M}$=瞬間
• ${\displaystyle EI}$= 曲げ剛性
• ${\displaystyle t_{A/B}}$= 点 B の接線に対する点 A の接線の偏差
• ${\displaystyle A,B}$= 弾性曲線上の点^[2]

弾性曲線上の任意の点における偏差は、点が接線より上にある場合は正、点が接線より下にある場合は負です。左接線から測定した場合、θが反時計回りの方向であれば傾きの変化は正、θが時計回りの方向であれば負になります。^[3]

次の手順では、モーメント-面積定理を使用して梁の弾性曲線上の点における変位と傾斜を決定するために使用できる方法を示します。

• 構造物の反力を決定し、構造物の M/EI 図を描きます。
• 構造に集中荷重のみがかかる場合、一連の三角形となる M/EI 図を描くのは簡単です。
• 分布荷重と集中荷重が混在する場合、モーメント線図（M/EI）は放物線、三次曲線などになります。
• 次に、M/EI図を見ながら構造物のたわみ形状を想定して描きます。
• 幾何学的な数学を使用して、構造物の回転、傾斜の変化、たわみを見つけます。

• 面積モーメント法。(nd)