歪対称行列

上記の最初の 2 つの性質の結果として、固定サイズのすべての歪対称行列の集合はベクトル空間を形成します。${\textstyle n\times n}$歪対称行列の次元は${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

させて${\displaystyle {\mbox{M​​at}}_{n}}$空間を表す${\textstyle n\times n}$行列。歪対称行列は次のように決定されます。${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$スカラー（主対角線より上の要素の数）；対称行列は以下によって決定されます 。${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$スカラー（主対角線上またはそれより上の要素の数）。${\textstyle {\mbox{スキュー}}_{n}}$空間を表す${\textstyle n\times n}$歪対称行列と${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$空間を表す${\textstyle n\times n}$対称行列。${\textstyle A\in {\mbox{M​​at}}_{n}}$それから $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(AA^{\mathsf {T}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}$$

注目してください$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(AA^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$そして$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$これはすべての正方行列に当てはまります。${\textstyle A}$特性が2と異なる任意のフィールドからのエントリを含む。すると、${\textstyle {\mbox{マット}}_{n}={\mbox{スキュー}}_{n}+{\mbox{シンボル}}_{n}}$そして${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}$$${\displaystyle {\mbox{M​​at}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}$$ どこ${\displaystyle \oplus }$直和を表します。

で表す${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$標準内積​$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$本当の${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\textstyle A}$が歪対称であるのは、 $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ すべての }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

これは、${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$（一方は明白な意味合いであり、もう一方は${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$すべての人々のために${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$)

この定義は基底の選択に依存しないため、歪対称性は線形演算子のみに依存する性質である。${\displaystyle A}$そして、内積の選択肢。

${\displaystyle 3\times 3}$歪対称行列は、外積を行列の乗算として表現するために使用できる。

さらに、もし${\displaystyle A}$は歪対称行列（または歪エルミート行列）である。${\displaystyle x^{T}Ax=0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$。

させて${\displaystyle A}$になる${\displaystyle n\times n}$歪対称行列。行列式は${\displaystyle A}$満たす

$${\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)={\left(-1\right)}^{n}\det(A).}$$

特に、${\displaystyle n}$は奇数であり、基礎となる体は標数2ではないため、行列式はゼロになります。したがって、奇数次元の歪対称行列はすべて特異行列であり、その行列式は常にゼロになります。この結果は、カール・グスタフ・ヤコビにちなんでヤコビの定理と呼ばれています（Eves、1980）。

偶数次元の場合の方が興味深い。行列式は${\displaystyle A}$のために${\displaystyle n}$は、のエントリの多項式の二乗として書くこともできます。${\displaystyle A}$これはケイリーによって最初に証明されたものである。^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$$

この多項式は、${\displaystyle A}$そして、${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$したがって、実数歪対称行列の行列式は常に非負です。ただし、この最後の事実は次のように初等的に証明できます。実数歪対称行列の固有値は純虚数であり（下記参照）、すべての固有値には同じ重複度を持つ共役固有値が対応します。したがって、行列式は固有値の積であり、各固有値は重複度に応じて繰り返されるため、行列式が0でない場合は、正の実数であることが直ちにわかります。

異なる用語の数${\displaystyle s(n)}$次数 の歪対称行列の行列式の展開において${\displaystyle n}$ケイリー、シルベスター、プファフによって既に検討されている。相殺のため、この数は次数nの一般的な行列の行列式の項数に比べてかなり小さい。${\displaystyle n}$それは${\displaystyle n!}$シーケンス${\displaystyle s(n)}$（ OEISの配列A002370）は

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

そしてそれは指数生成関数に符号化されている$$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

後者は漸近展開に収束する（${\displaystyle n}$平） $${\displaystyle s(n)={\frac {2^{\frac {3}{4}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\,\Gamma {\left({\frac {3}{4}}\right)}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O{\left(n^{-1}\right)}\right).}$$

正の項と負の項の数はそれぞれ全体の約半分に等しいが、その差は、${\displaystyle n}$増加する（OEISの配列A167029）。

3×3の歪対称行列は、外積を行列の乗算として表現するために使用できます。2つのベクトルを考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)}$そして${\displaystyle \mathbf {b} =\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right).}$クロス積${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$これは双線形写像であり、つまり、2 つの引数のうちの 1 つを固定すると、${\displaystyle \mathbf {a} }$それによって、関連する変換行列を持つ線形マップが生成される。${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}$、したがって

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ,}$$

どこ${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}$は

$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$$

これは、前述の式の両辺を計算し、結果の対応する各要素を比較することで、すぐに検証できます。

実際に $${\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}$$

すなわち、歪対称な3×3行列の交換子は、2つのベクトルの外積と同一視できる。歪対称な3×3行列は回転群のリー代数であるため、${\textstyle SO(3)}$これは3次元空間の関係を明らかにする${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$外積と三次元回転。微小回転の詳細については、以下をご覧ください。

行列は自身の転置行列と相似であるため、固有値は同じでなければなりません。したがって、歪対称行列の固有値は常に±λのペアで現れます（奇数次元の場合は、ペアになっていない0の固有値が1つ追加されます）。スペクトル定理から、実数歪対称行列の場合、非ゼロの固有値はすべて純虚数であり、したがって次の形式になります。${\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }$それぞれの${\displaystyle \lambda _{k}}$それらは実在する。

実歪対称行列は正規行列（随伴行列と可換）であり、したがってスペクトル定理の適用を受ける。スペクトル定理とは、任意の実歪対称行列はユニタリ行列で対角化できるという定理である。実歪対称行列の固有値は虚数であるため、実数行列で対角化することは不可能である。しかし、特別な直交変換によって、すべての歪対称行列をブロック対角形式に変換することは可能である。^{[ 4 ] [ 5 ]}具体的には、すべての${\displaystyle 2n\times 2n}$実歪対称行列は次の形式で表すことができます。${\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$どこ${\displaystyle Q}$は直交しており、 $${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

実際に${\displaystyle \lambda _{k}}$. ファフィアンが${\displaystyle A}$、${\displaystyle {\rm {Pf}}(A)}$が正であれば、${\displaystyle \lambda _{k}}$s は正の値にすることができます。${\displaystyle {\rm {Pf}}(A)}$陰性の場合、少なくとも1つは${\displaystyle \lambda _{k}}$s は負の値です。この行列の非ゼロ固有値は ±λ _k iです。奇数次元の場合、Σ は常に少なくとも 1 つの行と 1 つの列がゼロになります。

より一般的には、すべての複素歪対称行列は次の形式で表すことができる。${\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}$どこ${\displaystyle U}$単一であり、${\displaystyle \Sigma }$上記のブロック対角形式を持ち、${\displaystyle \lambda _{k}}$依然として実数正定値行列です。これは複素正方行列のユーラ分解の一例です。^{[ 6 ]}