二進形式の不変量

数学的不変式理論において、二項形式の不変式とは、 2つの変数xとyに関する二項形式の係数に関する多項式であり、変数xとyに作用する特別な線形群の下で不変である。

用語

（次数nの）二進形式は同次多項式である $\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a_{n-i}x^{n-i}y^{i}=a_{n}x^{n}+{\binom {n}{1}}a_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +a_{0}y^{n}$ そのグループ $SL_{2}(\mathbb {C} )$ これらの形態に対して、 $x$ に $ax+by$ そして $y$ に $cx+dy$ これは、によって張られる空間に作用を及ぼします。 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ そして、これらの変数の多項式について。 不変量は、これらの変数の多項式である。 $n+1$ 変数 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ これはこの作用の下で不変です。より一般的には、共変とは、 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 、 $x$ 、 $y$ これは不変量なので、不変量は変数が共変量の特殊なケースである $x$ そして $y$ は発生しない。さらに一般的には、同時不変量は、いくつかの異なる形式の係数の多項式である。 $x$ そして $y$ 。

表現論の観点から言えば、任意の表現が与えられた場合 $V$ グループ $SL_{2}(\mathbb {C} )$ 不変多項式の環を求めることができる $V$ 次数 2 の形式の不変量 $n$ 対応する $V$ になる $(n+1)$ 次元既約表現、共変量は、 $V$ 2次元と1次元の既約表現の合計である $n+1$ 。

二項形式の不変量は次数付き代数を形成し、ゴルダン（1868）は基底体が複素数である場合、この代数が有限生成であることを証明した。

2、3、4、5、6、7、8、9、10 次数形式は、二次形式、三次形式、四次形式、五次形式、六次形式、七次形式、八次形式、九次形式、十次形式と呼ばれることがあります。「クォンティック」は、任意の次数形式の古い名称です。1、2、3、4、... 変数の形式は、単項形式、二項形式、三項形式、四項形式、... 形式と呼ばれます。

例

形式fはそれ自体が次数 1、位数nの共変形式である。

形式の判別式は不変量である。

2つの形式の合成結果は、それら2つの形式の同時不変量である。

ヒルベルト（1993 、p.88）の形式のヘッセ行列の共変量は、ヘッセ行列の行列式である。

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.

これは、次数が 2 n − 4 で、次数が 2 の共変量です。

カタレクティカントは、偶数次数nの二進形式の次数n /2+1の不変量である。

正準化子は、奇数次数nの二進形式の次数と順序 ( n + 1)/2の共変量です。

ヤコビアン

\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}

は、2 つの形式f、gの同時共変量です。

不変量の環

不変量の環の構造は、次数が小さい場合について解明されている。シルベスターとフランクリン（1879）は、次数が10までの形式の不変量と共変量の生成子の数を表にまとめたが、次数が大きい場合、いくつかの不変量または共変量が省略されているなど、若干の誤りがある。

二値線形形式の共変量

線形形式の場合 $F_{1}(x,y)=Ax+By$ 不変量は定数のみである。共変量の代数は、次数1、位数1の形式自体によって生成される。

二元二次曲面の共変量

二次形式の不変量の代数 $F_{2}(x,y)=Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}$ 判別式によって生成される 1 変数の多項式代数 $B^{2}-AC$ 次数2の多項式である。共変式の代数は、判別式と形式自体（次数1、位数2）によって生成される2変数多項式代数である。（Schur 1968 、II.8）（Hilbert 1993 、XVI、XX）

二元立方体の共変量

3次形式の不変量の代数 $F_{3}(x,y)=Ax^{3}+3Bx^{2}y+3Cxy^{2}+Dy^{3}$ 判別式によって生成される 1 変数の多項式代数 $\Delta =3B^{2}C^{2}+6ABCD-4B^{3}D-4C^{3}A-A^{2}D^{2}$ 次数4。共変代数は判別式、形式自体（次数1、位数3）、ヘッセ行列によって生成される。 $H$ （次数2、順序2）および共変 $T$ 次数3、位数3。これらはシジジーによって関連付けられている。 $4H^{3}=Df^{2}-T^{2}$ 次数6、位数6。（Schur 1968 、II.8）（Hilbert 1993 、XVII、XX）

二元四次方程式の共変量

4次形式の不変量の代数は不変量によって生成される $i$ 、 $j$ 2次、3次の場合： ${\begin{aligned}F_{4}(x,y)&=Ax^{4}+4Bx^{3}y+6Cx^{2}y^{2}+4Dxy^{3}+Ey^{4}\\i_{F_{4}}&=AE-4BD+3C^{2}\\j_{F_{4}}&=ACE+2BCD-C^{3}-B^{2}E-AD^{2}\end{aligned}}$

この環は、レベル1のモジュラー形式の環と自然に同型であり、2つの生成元はアイゼンシュタイン級数に対応する。 $E_{4}$ そして $E_{6}$ 共変量の代数は、これら 2 つの不変量と形式によって生成されます。 $f$ 次数1、位数4のヘッセ行列 $H$ 次数2、順序4、共変 $T$ 次数3、位数6。これらはシジジーによって関連付けられている。 $jf^{3}-Hf^{2}i+4H^{3}+T^{2}=0$ 次数6、位数12。（Schur 1968 、II.8）（Hilbert 1993 、XVIII、XXII）

二元五次式の共変量

5次形式の不変量の代数はシルベスターによって発見され、次数4、8、12、18の不変量によって生成されます。次数4、8、12の生成子は、次数18のエルミートの歪不変量の2乗を含む多項式環を生成します。不変量は明示的に書き出すのはかなり複雑です。シルベスターは、次数4、8、12、18の生成子が、非常に大きな係数を持つ12、59、228、848の項を持つことを示しました。（Schur 1968 、II.9）（Hilbert 1993 、XVIII）共変量の環は23の共変量によって生成され、そのうちの1つは次数3、位数3の正準化子です。

二進六進法の共変量

六次形式の不変量の代数は、次数 2、4、6、10、15 の不変量によって生成されます。次数 2、4、6、10 の生成子は、次数 15 の生成子の二乗を含む多項式環を生成します。( Schur 1968 、II.9)共変量の環は 26 個の共変量によって生成されます。不変量の環は、種数 2 の曲線のモジュライ空間と密接に関連しています。なぜなら、そのような曲線は 6 点で分岐した射影直線の二重被覆として表現でき、6 点は二項六次の根として取ることができるからです。

二値敗血症の共変量

二項セプティクスの不変量環は異常であり、いくつかの発表された誤りを引き起こしました。ケイリーは、不変量環は有限生成ではないと誤って主張しました。シルベスターとフランクリン（1879）は、不変量環と共変量環の生成子の数の下限をそれぞれ26と124とし、証明されていない「基本公準」が等号が成り立つことを示唆するだろうと指摘しました。しかし、フォン・ガル（1888）は、シルベスターの数が生成子の数（不変量環では30、共変量環では少なくとも130）と等しくないことを示し、シルベスターの基本公準は誤りであることを示しました。フォン・ガル（1888）とディクスミエ＆ラザール（1988）は、次数7の不変量の代数が、次数4の不変量が1つ、次数8の不変量が3つ、次数12の不変量が6つ、次数14の不変量が4つ、次数16の不変量が2つ、次数18の不変量が9つ、次数20、22、26、30の不変量がそれぞれ1つずつある集合によって生成されることを示した。クローニ（2002）は、共変量の環に対して147個の生成元を与えている。

バイナリオクタビックの共変量

シルベスターとフランクリン（1879）は、次数8の不変量の環は次数2、3、4、5、6、7、8、9、10の9つの不変量によって生成され、共変量の環は69の共変量によって生成されることを示した。アウグスト・フォン・ガル（フォン・ガル（1880））と塩田（1967）は、不変量の環の生成元を確認し、それらの間の関係のイデアルは次数16、17、18、19、20の要素によって生成されることを示した。

バイナリノニックの共変量

Brouwer & Popoviciu (2010a)は、9 次形式の不変量の代数が 92 個の不変量によって生成されることを示した。Cröni、Hagedorn、および Brouwer ^{[ 1 ]}は 476 個の共変量を計算し、Lercier & Olive はこのリストが完全であることを示した。

2進数の共変量

シルベスターは、二項十進法の不変量の環は 104 個の不変量によって生成され、共変量の環は 475 個の共変量によって生成されると述べた。彼のリストは次数が 16 までは正しいが、それ以上の次数では間違っている。Brouwer と Popoviciu (2010b)は、次数 10 形式の不変量の代数は 106 個の不変量によって生成されることを示した。Hagedorn と Brouwer ^{[ 1 ]}は 510 個の共変量を計算し、Lercier と Olive はこのリストが完全であることを示した。

2進数10進数の共変量

11次二項形式の不変量の環は複雑であり、まだ明確に記述されていない。

2進数12進数の共変量

シルベスター（1881）は、 12次の形式について、14次の形式までには109個の基本不変量があることを発見した。さらに高い次数では少なくとも4つ多く存在する。基本共変量の数は少なくとも989個である。

二項形式の不変量と共変量の生成子の数は、それぞれ ( OEISのシーケンスA036983 )と( OEISのシーケンスA036984 )に記載されています。

いくつかの二進形式の不変量

二項形式の共変量は、本質的に二項形式と二項線形形式の結合不変量と同じです。より一般的には、任意の二項形式の集合の結合不変量（および共変量）を求めることができます。研究されたいくつかのケースを以下に示します。

注：

線形形式の基本不変量は、その基本共変量と本質的に同じである。
2つの四次方程式の場合、基本不変量は8つ（次数2が3つ、次数3が4つ、次数4が1つ）、基本共変量は28つあります。（ゴードンは30個の共変量を挙げましたが、シルベスターはこれらのうち2つが可約であることを示しました。）

複数の形式：

いくつかの線形形式の共変量: 不変量の環 $n$ 線形形式は以下によって生成されます $n(n-1)/2$ 2次の不変量。共変量の環 $n$ 線形形式は本質的に不変量の環と同じである $n+1$ 線状の形態。
いくつかの線形および二次形式の共変量：
- 和の不変量の環 $m$ 線状の形と $n$ 二次形式は以下によって生成されます $m(m-1)/2+n(n+1)/2$ 2次の生成器、 $nm(m+1)/2+n(n-1)(n-2)/6$ 3次の場合、 $m(m+1)n(n-1)/4$ 4次。
- 共変環の生成子の数については、 $m$ に $m+1$ 。
多くの三次式または四次式の共変量: Young (1898)を参照。

参考文献

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外部リンク

ブロウワー、アンドリーズ E.、「二進形式の不変量」

[aeb-1] 1 2ブロウワー、「量子論の不変量と共変量」

[ 1 ]