モリエンの公式

数学において、モリエンの公式は、有限次元ベクトル空間上の群Gの線型表現に付随する生成関数を計算し、 Gに対して不変である指定された全次数の同次多項式を数える。この公式はテオドール・モリエンにちなんで名付けられている。

正確には、 Gの有限次元複素表現Vと、 V上の次数nの同次多項式関数の空間(次数 1 の同次多項式は厳密に線形関数である) が与えられた場合、Gが有限群であれば、級数 (モリエン級数と呼ばれる) は次のように計算できる: ^[1]${\displaystyle R_{n}=\mathbb {C} [V]_{n}=\operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\dim(R_{n}^{G})t^{n}=(\#G)^{-1}\sum _{g\ G}\det(1-tg|V^{*})^{-1} で。$

ここで、はGのすべての元によって固定されたすべてのベクトル、つまりn次不変形式からなるの部分空間です。したがって、 の次元はn次不変量の数です。Gがコンパクト群である場合、同様の式がハール測度に関して成立します。 ${\displaystyle R_{n}^{G}}$${\displaystyle R_{n}}$

有限群GとV、Rの既約指標を上記のように表すとします。すると、の指標は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \chi _{1},\dots ,\chi _{r}}$${\displaystyle \chi _{R_{n}}}$${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle \chi _{R_{n}}=\sum _{i=1}^{r}a_{i,n}\chi _{i}.}$

ここで、それぞれは内積によって与えられます。 ${\displaystyle a_{i,n}}$

${\displaystyle a_{i,n}=\langle \chi _{R_{n}},\chi _{i}\rangle =(\#G)^{-1}\sum _{g\in G} {\overline {\chi _{i}}}(g)\chi _{R_{n}}(g)=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{|\alpha |=n}\lambda (g)^{\alpha }}$

ここで、 およびは の重複可能な固有値です。次に、次の級数を計算します。 ${\textstyle \lambda (g)^{\alpha }=\prod _{i=1}^{m}\lambda _{i}(g)^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle \lambda _{1}(g),\dots ,\lambda _{m}(g)}$${\displaystyle g:V^{*}\to V^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{i,n}t^{n}&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{\alpha }(\lambda _{1}(g)t)^{\alpha _{1}}\cdots (\lambda _{m}(g)t)^{\alpha _{m}}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)(1-\lambda _{1}(g)t)^{-1}\cdots (1-\lambda _{m}(g)t)^{-1}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\det(1-tg|V^{*})^{-1}.\end{aligned}}}$

を自明な文字と すると、モリエンの公式が得られます。${\displaystyle \chi_{i}}$

座標を置換してR ³に作用する対称群を 考えてみましょう。次のように群の要素ごとに合計します。恒等式から始めて、 ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1-t&0&0\\0&1-t&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)^{3}}$。

には、2つの座標の交換からなる3元共役類がある。これは、次の形式の3つの項を与える。 ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\-t&1&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)(1-t^{2}).}$

巡回置換には2元共役類があり、次の形式の2つの項を生成する。

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&1&-t\\-t&0&1\end{pmatrix}}=\left(1-t^{3}\right).}$

同じ共役類の異なる要素は同じ行列式を生成することに注意する。したがって、モリエン級数は

${\displaystyle M(t)={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{(1-t)^{3}}}+{\frac {3}{(1-t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t^{2})(1-t^{3})}}.}$

一方、等比級数を展開して掛け合わせると、

${\displaystyle M(t)=(1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots )(1+t^{2}+t^{4}+\cdots )(1+t^{3}+t^{6}+\cdots )=1+t+2t^{2}+3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+7t^{6}+8t^{7}+10t^{8}+12t^{9}+\cdots }$

級数の係数は、3つの変数の順列に対して不変である3つの変数の線形独立同次多項式の数、つまり3つの変数の独立した対称多項式の数を示します。実際、基本的な対称多項式を考えると、

${\displaystyle \sigma _{1}=x+y+z}$

${\displaystyle \sigma _{2}=xy+xz+yz}$

${\displaystyle \sigma _{3}=xyz}$

たとえば、5 次では、、、、、および からなる基底があることがわかります。 ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}\sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{1}^{3}\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}^{5}}$

(実際、この級数を手で掛け合わせると、項が、、、およびの組み合わせに正確に対応し、また、、、、およびを部分とする の分割に対応していることがわかります。分割(数論)および対称群の表現論も参照してください。 )${\displaystyle t^{k}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{2}}$${\displaystyle t^{3}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$

• David A. Cox、John B. Little、Donal O'Shea (2005)、代数幾何学の使用、pp. 295–8
• モリエン、Th.（1897年）。 「Uber die Invarianten der lineen Substitutionsgruppen」。シッツングベル。ケーニッヒ。プロイス。アカド。ウィス。 (J. Berl. Ber.)。52 : 1152–1156。JFM  28.0115.01。
• 向井 誠 (2002) 不変量とモジュライ入門 Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第 81 巻。ISBN 978-0-521-80906-1。
• スタンレー、リチャード P. (1979)。「有限群の不変量と組合せ論への応用」。Bull . Amer. Math. Soc . New Series. 1 : 475–511. doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14597-X . MR  0526968。

• https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r