レイノルズ演算子

流体力学と不変理論において、レイノルズ演算子は、レイノルズ則と呼ばれる一連の特性を満たす、ある物事を群作用で平均化することによって与えられる数学的演算子である。流体力学では、レイノルズ演算子は乱流モデル、特にレイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式でよく見られる。この場合、平均は通常、時間変換群の下で流体の流れに対して取られる。不変理論では、平均は、多項式環などの可換代数に作用するコンパクト群または簡約代数群に対して取られることが多い。レイノルズ演算子は、オズボーン・レイノルズ (1895) によって流体力学に導入され、J. カンペ・ド・フェリエ (1934、1935、1949) によって命名された。

レイノルズ演算子は流体力学、関数解析、不変理論で使用され、これらの分野では表記法や定義が若干異なります。 φ に作用するレイノルズ演算子は、またはと表記されることもあります。レイノルズ演算子は通常、関数の代数に作用する線形演算子であり、次の恒等式を満たします。 ${\displaystyle R(\phi ),P(\phi ),\rho (\phi ),\langle \phi \rangle }$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ すべての }}\phi 、\psi に対して }$

時には、さまざまなグループアクションとの通勤など、他の条件もあります。

不変理論では、レイノルズ作用素Rは通常、次を満たす線型作用素である。

${\displaystyle R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ すべての }}\phi 、\psi に対して }$

そして

${\displaystyle R(1)=1}$

これらの条件を合わせると、R は冪等であることがわかります: R ² = R。レイノルズ演算子は通常、何らかのグループ作用と交換し、このグループ作用の不変要素に投影します。

関数解析において、レイノルズ作用素は、関数φの何らかの代数に作用する線型作用素Rであり、レイノルズ恒等式を満たす。

${\textstyle R(\phi \psi )=R(\phi )R(\psi )+R\left(\left(\phi -R(\phi )\right)\left(\psi -R(\psi )\right)\right)\quad {\text{ すべての }}\phi 、\psi に対して }$

演算子Rは線形であり、次式を満たすとき 平均演算子と呼ばれる。

${\displaystyle R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ すべての }}\phi 、\psi に対して }$

すべての φ に対してR ( R ( φ )) = R ( φ ) である場合、 R はレイノルズ演算子である場合にのみ平均演算子となります。 場合によっては、R ( R ( φ )) = R ( φ ) 条件がレイノルズ演算子の定義に追加されます。

とを2 つのランダム変数、を任意の定数とします。レイノルズ演算子が満たす特性には、演算子に対して線形性と平均化特性が含まれます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle \rangle ,}$

${\displaystyle \langle \phi +\psi \rangle =\langle \phi \rangle +\langle \psi \rangle ,\,}$

${\displaystyle \langle a\phi \rangle =a\langle \phi \rangle ,\,}$

${\displaystyle \langle \langle \phi \rangle \psi \rangle =\langle \phi \rangle \langle \psi \rangle ,\,}$これは${\displaystyle \langle \langle \phi \rangle \rangle =\langle \phi \rangle .\,}$

さらに、レイノルズ演算子は空間と時間の変換と交換可能であると想定されることが多い。

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}},\qquad \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial x}},}$

${\displaystyle \left\langle \int \phi ({\boldsymbol {x}},t)\,d{\boldsymbol {x}}\,dt\right\rangle =\int \langle \phi ({\boldsymbol {x}},t)\rangle \,d{\boldsymbol {x}}\,dt.}$

これらの性質を満たす演算子はレイノルズ演算子である。^[1]

レイノルズ演算子は、多くの場合、グループ作用の不変部分空間に投影することによって与えられます。

• レイノルズ (1895) が考えた「レイノルズ演算子」は、本質的には流体の流れを「平均」流体の流れに投影したもので、時間不変の流れへの投影と考えることができます。ここで、グループ アクションは、時間変換のグループのアクションによって与えられます。
• G が簡約代数群またはコンパクト群であり、V がGの有限次元表現であるとします。このとき、G は多項式の対称代数SVにも作用します。レイノルズ演算子R は、 SVからGによって固定された元の部分環SV ^GへのG不変射影です。

• Kampé de Fériet、J. (1934)、「L'état actuel du problème de la turbulence I」、La Science Aérienne、3 : 9–34
• Kampé de Fériet、J. (1935)、「L'état actuel du problème de la turbulence II」、La Science Aérienne、4 : 12–52
• Kampé de Fériet, J. (1949)、「Sur un problème d'algèbre abstraite posé par la définition de la moyenne dans la théorie de la turbulence」、Annales de la Société Scientifique de Bruxelles。シリーズ I. 科学 数学、天文学、物理学、63 : 165–180、ISSN  0037-959X、MR  0032718
• レイノルズ、O. (1895)、「非圧縮粘性流体の動的理論と基準の決定について」、王立協会哲学論文集 A、186 : 123–164、Bibcode :1895RSPTA.186..123R、doi : 10.1098/rsta.1895.0004、JSTOR  90643
• ロータ、ジャンカルロ（2003）、ジャンカルロ・ロータの解析と確率論、Contemporary Mathematicians、ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser Boston、ISBN 978-0-8176-4275-4、MR  1944526レイノルズ演算子に関する Rota の論文をいくつか解説付きで再版します。
• Rota, Gian-Carlo (1964)、「レイノルズ演算子」、Proc. Sympos. Appl. Math.、vol. XVI、プロビデンス、RI: Amer. Math. Soc.、pp. 70–83、MR  0161140
• Sturmfels、Bernd (1993)、不変理論のアルゴリズム、記号計算におけるテキストとモノグラフ、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-7091-4368-1、ISBN 978-3-211-82445-0、MR  1255980