シンボリック法

数学 において、不変量理論における記号法は、19世紀に アーサー・ケイリー^[1]、ジークフリート・ハインリッヒ・アーロンホールド^[2]、アルフレッド・クレプシュ^[3]、ポール・ゴードン^[4]によって開発された、代数形式の不変量を計算するためのアルゴリズムである。この方法は、形式をあたかも次数1形式のべき乗であるかのように扱うことを基本としており、これはベクトル空間の対称べき乗をそのコピーのテンソル積の対称要素に埋め込むことに対応する。

シンボリック法では、一見矛盾する特性を持つ新しい記号a、b、c、... (シンボリック法の名前の由来) の導入に応じて、不変量に対して簡潔だがかなり紛らわしく神秘的な表記法を使用します。

これらのシンボルは、 ゴードンの次の例で説明できる。^[5]

${\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{2}+2A_{1}x_{1}x_{2}+A_{2}x_{2}^{2}}$

は判別式によって与えられる不変量を持つ2項二次形式である

${\displaystyle \displaystyle \Delta =A_{0}A_{2}-A_{1}^{2}.}$

判別式の記号表現は

${\displaystyle \displaystyle 2\デルタ =(ab)^{2}}$

ここで、aとbは_記号です。式( ab ) ²の意味は次のとおりです。まず、( ab )は行がa1、_{a2 、}b1、b2である行列の行列式の省略形です。つまり_、

${\displaystyle \displaystyle (ab)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}$

これを二乗すると

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}.}$

次に、

${\displaystyle \displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{2}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{2}}$

となることによって

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=a_{1}^{2-i}a_{2}^{i}=b_{1}^{2-i}b_{2}^{i}}$

そして、 fが線形形式のべき乗でない 場合は意味をなさないという事実は無視する。これらの値を代入すると、

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=A_{2}A_{0}-2A_{1}A_{1}+A_{0}A_{2}=2\Delta .}$

より一般的には

${\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{n}+{\binom {n}{1}}A_{1}x_{1}^{n-1}x_{2}+\cdots +A_{n}x_{2}^{n}}$

が高次の二進形式である場合、新しい変数a ₁、a ₂、 b ₁、b ₂、c ₁、c ₂を導入し、次の性質を持つ。

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})^{n}=\cdots .}$

これは、次の 2 つのベクトル空間が自然に同型であることを意味します。

• A ₀、... A _nにおける次数mの同次多項式のベクトル空間
• 2 m個の変数a ₁、a ₂、 b ₁、b ₂、c ₁、c ₂、 ...の多項式のベクトル空間。これらの多項式は、 m個の変数ペア ( a ₁、a ₂ )、 ( b ₁、b ₂ )、 ( c ₁、c ₂ )、 ...のそれぞれにおいて次数がnであり、 m個の記号a、b 、 ...の順列に対して対称である。

同型性は、^{n − j}
₁1つの^じ
₂、b^{n − j}
₁b^じ
₂, .... をA _jにマッピングします。このマッピングでは多項式の積は保存されません。

2つ以上の変数x ₁、x ₂、x ₃、...の形式fへの拡張も同様である。つまり、次のような性質を持つ記号a ₁、a ₂、a ₃など を導入する。

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=\cdots .}$

記号的方法のかなり神秘的な形式主義は、ベクトル空間Vの対称積 S ⁿ ( V )を、対称群の作用によって保存される要素として、n個のVのコピーのテンソル積に埋め込むことに対応します。実際、これは 2 回行われます。なぜなら、次数mの量子の次数nの不変量は S ⁿ S ^m ( V )の不変要素であり、これが 2 つの対称群の花輪積で不変な要素として、 mn個のVのコピーのテンソル積に埋め込まれるからです。記号的方法の括弧は、実際にはこのテンソル積上の不変線型形式であり、制限によって S ⁿ S ^m ( V ) の不変量を与えます。

• 陰影計算

• ゴーダン、ポール (1987) [1887]。ケルヒェンシュタイナー、ゲオルグ (編)。 Vorlesungen uber Invariantentheorie (第 2 版)。ニューヨーク ヨーク: AMS チェルシー パブリッシング。ISBN 9780828403283. MR  0917266。

脚注

• ディウドネ、ジャン;カレル、ジェームズ B. (1970). 「不変理論、古くて新しいもの」.数学の進歩. 4 : 1–80. doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 .pp. 32–7、「n進形式の不変量: 記号的方法」。Dieudonné, Jean ; Carrell, James B. (1971) として再版。不変理論、新旧。 Academic Press。ISBN 0-12-215540-8。
• ドルガチェフ、イゴール（2003）。不変理論に関する講義。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第296巻。ケンブリッジ大学出版局。doi：10.1017/ CBO9780511615436。ISBN 978-0-521-52548-0. MR  2004511. S2CID  118144995.
• グレース、ジョン・ヒルトン、ヤング、アルフレッド（1903）、『不変量の代数』、ケンブリッジ大学出版局
• ヒルベルト、デイヴィッド（1993）[1897]。代数的不変量の理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521444576. MR  1266168。
• コー、セバスチャン S. 編 (2009) [1987]。不変理論。数学講義ノート。第 1278 巻。シュプリンガー。ISBN 9783540183600。
• Kung, Joseph PS; Rota, Gian-Carlo (1984). 「バイナリ形式の不変理論」.アメリカ数学会報. 新シリーズ. 10 (1): 27–85. doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 . ISSN  0002-9904. MR  0722856.