記号的方法

これらの記号は、ゴードンの次の例で説明できます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{2}+2A_{1}x_{1}x_{2}+A_{2}x_{2}^{2}}$

判別式によって与えられる不変量を持つ二項二次形式である

$\displaystyle \displaystyle \Delta =A_{0}A_{2}-A_{1}^{2}.}$

判別式の記号表現は

${\displaystyle \displaystyle 2\デルタ =(ab)^{2}}$

ここで、aとbは記号です。式 ( ab ) ²の意味は次のとおりです。まず、( ab ) は、行がa ₁、a ₂およびb ₁、b ₂である行列の行列式の略記形式です。

${\displaystyle \displaystyle (ab)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}$

これを二乗すると

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}.}$

次に、

${\displaystyle \displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{2}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{2}}$

となることによって

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=a_{1}^{2-i}a_{2}^{i}=b_{1}^{2-i}b_{2}^{i}}$

そして、 f が線形形式のべき乗でない場合、これは意味をなさないように見えるという事実を無視します。これらの値を代入すると、

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=A_{2}A_{0}-2A_{1}A_{1}+A_{0}A_{2}=2\Delta .}$

より一般的には、

${\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{n}+{\binom {n}{1}}A_{1}x_{1}^{n-1}x_{2}+\cdots +A_{n}x_{2}^{n}}$

が高次の二進形式である場合、次の性質を持つ新しい変数a ₁、a ₂、 b ₁、b ₂、c ₁、c _{2を導入します。}

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})^{n}=\cdots .}$

これはつまり、以下の2つのベクトル空間は自然に同型であるということである。

• A ₀ ,... A _nにおける次数mの同次多項式のベクトル空間
• 2 m個の変数a ₁、a ₂、 b ₁、b ₂、c ₁、c ₂、 ...に関する多項式のベクトル空間は、 m組の変数 ( a ₁、a ₂ )、 ( b ₁、b ₂ )、 ( c ₁、c ₂ )、 ...のそれぞれにおいて次数がnであり、 m個の記号a、b 、 ...の置換に関して対称である。

同型写像は、a ^{n − j} ₁ a ^j ₂、b ^{n − j} ₁ b ^j ₂、 ... をA _jに写像することによって与えられます。この写像は多項式の積を保存しません。

2 つ以上の変数x ₁、x ₂、x _{3 、... を含む形式}fへの拡張も同様です。次の性質を持つ記号a ₁、a ₂、a ₃などを導入します。

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=\cdots .}$