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ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによる楕円曲線のモジュラリティ定理の特殊な場合の証明である。リベの定理と合わせて、フェルマーの最終定理の証明となる。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理は、当時ほとんどすべての数学者によって、既存の知識を用いて証明することは不可能だと考えられていた。[ 1 ]： 203–205、223、226
ワイルズは、1993 年 6 月 23 日にケンブリッジで行われた「モジュラー形式、楕円曲線、ガロア表現」と題する講演で初めて証明を発表した。 [ 2 ]しかし、1993 年 9 月に、その証明に誤りがあることが判明した。その 1 年後の 1994 年 9 月 19 日、ワイルズは「自分の研究人生で最も重要な瞬間」と呼ぶことになる出来事に偶然ひらめき、数学界が満足する形で証明を修正することができた。[ 3 ]修正された証明は 1995 年にAnnals of Mathematics誌に 2 つの論文として掲載され、1 つはワイルズが執筆し、もう 1 つはワイルズとリチャード テイラーが共著した。この 2 つの論文は合わせて 129 ページあり[ 4 ] [ 5 ]、ワイルズの研究時間の 7 年以上を費やした。
この証明は代数幾何学と数論の多くの手法を用いており、これらの数学分野に多くの影響を与えている。また、スキームの圏などの現代代数幾何学の標準的な構成法、岩沢理論からの重要な数論的アイデア、フェルマーには利用できなかったその他の20世紀の手法も用いている。変形環をヘッケ代数と同一視する（現在ではR=T定理と呼ばれる）方法を用いてモジュラリティ持ち上げ定理を証明するこの証明方法は、代数的数論において影響力のある発展となった。
ジョン・コーツはこの証明を数論における最も優れた業績の一つと評し、ジョン・コンウェイはそれを「20世紀の証明」と呼んだ。[ 6 ]フェルマーの最終定理を証明した功績により、ワイルズはナイトの称号を授与され、2016年のアーベル賞などの他の栄誉も受けた。ノルウェー科学アカデミーは、ワイルズがアーベル賞を受賞したことを発表した際、彼の業績を「驚くべき証明」と評した。[ 3 ]
1637年に定式化されたフェルマーの最終定理は、3つの正の整数が、、 そして方程式を満たすことができる
もし2より大きい整数です（)
時が経つにつれ、この単純な主張は数学における最も有名な未証明の主張の一つとなった。発表から350年以上後のアンドリュー・ワイルズによる最終的な解決までの間、多くの数学者やアマチュアが、あらゆる値に対してこの主張を証明しようと試みた。あるいは特定のケースの場合。それは数論における全く新しい分野の発展を促した。最終的に、すべての値に対する証明が見つかった。約400万まで、最初は手作業で、後にコンピュータで計算された。[ 7 ]しかし、すべての可能な値に対して有効となる一般的な証明は見つからなかった。ましてや、そのような証明をどのように行うことができるのか、そのヒントすら示されていない。
フェルマーの最終定理とは全く関係なく、1950年代から1960年代にかけて、日本の数学者志村五郎は、谷山豊の提唱したアイデアに基づき、楕円曲線とモジュラー形式の間に何らかの関連性があるのではないかと推測した。これらは、これまで関連性が知られていなかった数学的対象であった。谷山と志村は、数学者たちが知らないうちに、この2種類の対象は実際には同一の数学的対象であり、単に異なる見方をしているだけなのではないか、という疑問を投げかけた。
彼らは、すべての有理楕円曲線はモジュラーであると推測した。これは谷山・志村予想として知られるようになった。西洋では、この予想はアンドレ・ヴェイユが1967年に発表した論文で概念的な証拠が示されたことで広く知られるようになり、そのため谷山・志村・ヴェイユ予想と呼ばれることもある。
1980年頃までに、楕円曲線に関する予想を立てるための多くの証拠が蓄積され、その予想が正しい場合の帰結を検証する論文も多数発表されたが、予想自体は未証明であり、一般的には証明不可能と考えられていた。つまり、数学者たちは、現在の知識ではその予想を証明することは恐らく不可能だと考えていたのである。
数十年にわたり、この予想は数学における重要でありながら未解決の問題として残っていた。最初に提唱されてから約50年後、この予想はついに証明され、モジュラリティ定理と改名された。これは主に、以下に述べるアンドリュー・ワイルズの研究の成果によるものである。
さらに別の発展の方向性として、1960年代後半にイヴ・エルゴアルクは仮説的な解決策を関連付けるというアイデアを思いついた。フェルマー方程式を全く異なる数学的対象である楕円曲線で表したもの。[ 8 ]この曲線は、座標が である平面上のすべての点から構成される。関係を満たす
このような楕円曲線は、その方程式に整数の高次の項が現れることと、は力も同様です。
1982年から1985年にかけて、ゲルハルト・フライはこの曲線（現在ではフライ曲線と呼ばれている）の特異な性質に注目した。彼は、フェルマーの最終定理に対する反例はおそらくモジュラーでない楕円曲線が存在することを示唆するだろうから、この曲線がフェルマーと谷山・志村・ヴェイユを結びつける可能性が高いことを示した。フライは、任意の数の集合がフェルマーの最終定理を反証できるような数値の集合は、おそらく谷山・志村・ワイル予想を反証するためにも使用できるだろう。したがって、谷山・志村・ワイル予想が真であれば、フェルマーの定理を反証できるような数値の集合は存在し得ないため、フェルマーの最終定理も真でなければならないことになる。
この予想によれば、有理係数を持つ各楕円曲線は、方程式を与えるのではなく、モジュラー関数を用いて座標をパラメータ化することによって、全く異なる方法で構築できるという。そしてその上の点の。したがって、予想によれば、上の任意の楕円曲線はモジュラー楕円曲線でなければならない。しかし、フェルマー方程式の解がゼロでないと、、そして2より大きい値が存在する場合、対応する曲線はモジュラーではなくなり、矛盾が生じる。フレイが特定したリンクが証明できれば、今度はフェルマーの最終定理の反証が谷山-志村-ワイル予想の反証となるか、あるいは対偶により、後者の証明が前者も証明することになる。[ 9 ]
このつながりを完成させるには、フレイの直感が正しかったこと、つまり、フレイ曲線が存在するとしてもモジュラー曲線にはなり得ないことを示す必要があった。1985年、ジャン＝ピエール・セールは、フレイ曲線がモジュラー曲線にはなり得ないことの部分的な証明を与えた。セールは自身の提案の完全な証明を与えなかった。欠けていた部分（セールが早い段階で気づいていた[ 10 ]： 1）は、イプシロン予想（現在はリベの定理として知られている）として知られるようになった。セールの主な関心は、谷山・志村・ワイル予想を導く、さらに野心的な予想であるモジュラーガロア表現に関するセールの予想にあった。しかし、彼の部分的な証明は、フェルマーと谷山のつながりを確認することに近づいた。
1986年の夏、ケン・リベットは、現在リベットの定理として知られるイプシロン予想の証明に成功した。彼の論文は1990年に発表された。その際、リベットは、フレイが示唆したように、フレイが特定した種類の楕円曲線に対する谷山・志村・ワイル予想の証明とリベットの定理を組み合わせれば、フェルマーの最終定理も証明できることを確認し、2つの定理間の関連性を最終的に証明した。
数学的に言えば、リベの定理は、楕円曲線に関連付けられたガロア表現が特定の性質（フレイ曲線が持つ性質）を持つ場合、その曲線はモジュラーではない、つまり同じガロア表現を生み出すモジュラー形式は存在しないことを示した。[ 11 ]
フレイ曲線に関する発展、およびそれがフェルマーと谷山の両方と関連していることを踏まえると、谷山・志村・ワイル予想の証明、あるいは少なくともフレイ方程式を含む楕円曲線（半安定楕円曲線として知られる）に対する予想の証明から、フェルマーの最終定理の証明が得られるだろう。
しかし、セールとリベによる進歩にもかかわらず、フェルマーへのこのアプローチも広く実用的ではないと考えられていた。なぜなら、ほとんどすべての数学者が、谷山・志村・ワイル予想自体を、現在の知識では証明不可能だと考えていたからである。[ 1 ] ： 203-205、223、226例えば、ワイルズの元指導教官であるジョン・コーツは、「実際に証明するのは不可能に思える」と述べており、[ 1 ]： 226ケン・リベ自身も「証明不可能だと信じている大多数の一人」だと考えていた。[ 1 ]： 223
リベによる1986年のイプシロン予想の証明を聞き、楕円曲線を研究し、幼い頃からフェルマーに魅了されていたイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、谷山・志村・ワイル予想の証明に向けて秘密裏に研究を始めることにした。それは、専門家として正当化できるようになったこと[ 12 ]、そして長年の難問を証明するという魅力的な目標があったからである。
リベットは後に、「アンドリュー・ワイルズはおそらく、実際にそれを証明できると夢見る大胆さを持った、地球上で数少ない人物の一人だった」とコメントした。[ 1 ]： 223
ワイルズは1993年に初めて証明を発表した。彼の最初の論文の一部に微妙な誤りがあったため、それが修正され、最終的に正しいと認められて出版されたのは1995年のことだった。その後6年間、ワイルズの研究を基に、他の研究者たちがモジュラリティ定理の完全な証明へと発展させた。
1993年6月21日から23日にかけて、ワイルズはイギリスのケンブリッジにあるアイザック・ニュートン数学科学研究所で行われた3回の講演の中で、半安定楕円曲線に関する谷山・志村予想、ひいてはフェルマーの最終定理の証明を発表し、発表した。[ 2 ]その後、比較的多くの報道がなされた。[ 13 ]
発表後、ニック・カッツがワイルズの原稿を査読する査読者の一人に任命された。査読の過程で、カッツはワイルズに一連の明確化のための質問をし、ワイルズは証明に欠陥があることに気づいた。証明の重要な部分の一つ、特定の群の位数の上限を与える部分に誤りがあった。コリヴァギンとフラッハの方法を拡張するために使用されたオイラーシステムが不完全だったのだ。この誤りによって彼の研究が無価値になるわけではなかった。ワイルズの研究の各部分は、それ自体で非常に重要かつ革新的であり、研究の過程で彼が生み出した多くの発展と技術も同様であり、影響を受けたのは一部分だけだった。[ 1 ] : 289, 296–297しかし、この部分が証明されなければ、フェルマーの最終定理の実際の証明は存在しなかった。
ワイルズは、最初は一人で、その後は元教え子のリチャード・テイラーと共同で、証明の修正にほぼ1年を費やしたが、成功しなかった。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] 1993年末までに、精査の結果、ワイルズの証明は失敗したという噂が広まったが、その深刻さは不明だった。数学者たちは、ワイルズが成し遂げたことを広く研究し利用できるように、完成しているかどうかにかかわらず、彼の研究を公開するようワイルズに圧力をかけ始めた。当初は些細に思えた問題は、修正されるどころか、今や非常に重要で、はるかに深刻で、解決が容易ではない問題となった。[ 17 ]
ワイルズは、1994年9月19日の朝、諦めかけており、失敗したことを受け入れ、他の人がそれを基に研究を進めて間違いを見つけられるように自分の研究を発表することにほぼ諦めていたと述べている。彼は、自分のアプローチが機能しない根本的な理由を理解しようと最後にもう一度検討していたところ、コリヴァギン-フラッハのアプローチが直接機能しない具体的な理由が、その後コリヴァギン-フラッハのアプローチから得た経験を使って岩沢理論を使った自分の最初の試みを強化すれば機能させることができるという突然のひらめきを得たと述べている。それぞれ単独では不十分だったが、一方のアプローチを他方のツールで修正すれば問題が解決し、査読済みの論文ですでに証明されていないすべてのケースに有効なクラス番号式（CNF）が得られるだろう。[ 14 ] [ 18 ]
私は机に座って、コリヴァギン・フラッハ法を調べていました。うまくいくとは思っていませんでしたが、少なくともなぜうまくいかないのかは説明できると思っていました。すると突然、信じられないようなひらめきが訪れました。コリヴァギン・フラッハ法はうまくいっていなかったけれど、3年前に提唱した岩沢理論を機能させるのに必要なのは、まさにそれだったのです。コリヴァギン・フラッハ法の灰の中から、問題の真の答えが浮かび上がってきたようでした。それは言葉では言い表せないほど美しく、シンプルで、そして優雅でした。どうして今まで気づかなかったのか理解できず、20分間、ただただ信じられない思いでそれを見つめていました。その後、日中、研究室を歩き回り、何度も自分の机に戻って、それがまだそこにあるかどうかを確認しました。それはまだそこにありました。興奮を抑えきれませんでした。それは私の仕事人生で最も重要な瞬間でした。今後、どんなことをしても、これほど大きな意味を持つことはないでしょう。
—アンドリュー・ワイルズ、サイモン・シンによる引用[ 19 ]
10月6日、ワイルズは3人の同僚（ゲルト・ファルティングスを含む）に自身の新しい証明をレビューするよう依頼し[ 20 ]、1994年10月24日には「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」[ 4 ]と「特定のヘッケ代数の環論的性質」[ 5 ]という2つの原稿を提出した。後者の原稿はワイルズがテイラーと共同で執筆したもので、本論文の修正された手順を正当化するために必要な特定の条件が満たされていることを証明した。
2 つの論文は精査され、最終的にAnnals of Mathematicsの 1995 年 5 月号に全体として掲載されました。新しい証明は広く分析され、その主要な構成要素は正しい可能性が高いと受け入れられました。[ 6 ] [ 11 ] [ 12 ]これらの論文は、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理を確立し、フェルマーの最終定理が予想されてから 358 年を経て、その証明の最後のステップとなりました。
フェルマーは「… この証明を実に素晴らしい方法で発見したが、この余白では書ききれない」と主張した。[ 21 ] [ 22 ]ワイルズの証明は非常に複雑で、他の多くの専門家の研究を取り入れているため、1994年には、当時、彼が行ったことのすべての詳細を完全に理解できる人はごく少数しかいないと示唆された。[ 2 ] [ 23 ]ワイルズの証明の複雑さがきっかけとなり、ボストン大学で10日間の会議が開催された。その結果として出版された会議議事録は、数論の大学院生が、必要なトピックの全範囲にアクセスできるようにすることを目的としていた。[ 10 ]
前述のように、ワイルズはすべての楕円曲線ではなく、半安定楕円曲線の特殊な場合について谷山-志村-ワイル予想を証明しました。その後数年間、クリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラー（略称「BCDT」）は研究をさらに進め、最終的に2001年の論文ですべての楕円曲線について谷山-志村-ワイル予想を証明しました。[ 24 ]証明されたこの予想は、モジュラリティ定理として知られるようになりました。
2005年、オランダのコンピュータ科学者ヤン・ベルグストラは、ワイルズの証明をコンピュータで検証できるような形式化する問題を提起した。[ 25 ] 2024年、ケビン・バザードと共同研究者らは、リーン証明支援システムで定理の証明を形式化するために、EPSRCから5年間の助成金を受けた。[ 26 ]
ワイルズは半安定楕円曲線のモジュラリティ定理を証明し、そこから背理法を用いてフェルマーの最終定理を導き出した。この証明方法では、証明すべきことの反対を仮定し、それが真であれば矛盾が生じることを示す。矛盾が生じることで、仮定（結論が間違っているという仮定）が間違っていたことが示され、結論が成り立つことが必然的に導かれる。
証明は大きく2つの部分に分けられます。最初の部分では、ワイルズは「リフト」に関する一般的な結果、いわゆる「モジュラリティ・リフティング定理」を証明します。この最初の部分によって、楕円曲線に関する結果を、楕円曲線のガロア表現に関する問題に変換することで証明することが可能になります。そして、この結果を用いて、すべての半安定曲線がモジュラであることを証明します。具体的には、これらの曲線のガロア表現がモジュラであることを証明します。
ワイルズは当初、楕円曲線を可算個のモジュラー形式に写像しようと試みた。しかし、この直接的なアプローチではうまくいかないことがわかったため、楕円曲線のガロア表現をモジュラー形式に写像することで問題を変換した。ワイルズはこの写像（具体的にはこの環準同型）を と表記する。
どこ変形リングであり、はヘッケ環です。
ワイルズは、多くの場合、この環準同型が環同型になり得るという洞察を持っていた（1995年の論文[ 4 ]の第2章第3節の予想2.16 ）。彼は、間の写像がそして同型写像であるのは、理論に現れる2つのアーベル群が有限であり、かつ同じ濃度を持つ場合に限る。これは「数値的基準」と呼ばれることもある。この結果から、フェルマーの最終定理は、2つの群が同じ位数を持つという主張に帰着する。証明のテキストの大部分は、環論と交換法に関連するトピックと定理へと繋がる。ワイルズの目標は、写像がこれは同型写像であり、最終的には変形を扱うにあたり、ワイルズは4つのケースを定義したが、平坦変形のケースは証明により多くの労力を要するため、同じ巻の「特定のヘッケ代数の環論的性質」という別の記事で扱われている。
ゲルト・ファルティングスは、自身の紀要の中で、次の可換図式を示している（745ページ ）。
あるいは最終的には完全な交差を示している。ワイルズはそれを証明できなかったので直接的に、彼はそしてエレベーターで。
このマッチングを実行するために、ワイルズはクラス番号式（CNF）を作成する必要がありました。彼は最初に水平岩沢理論を使用しようとしましたが、その作業には未解決の問題があり、CNFを作成できませんでした。1991年の夏の終わりに、彼はヴィクトル・コリヴァギンとマティアス・フラッハによって最近開発されたオイラーシステムについて知りました。それは彼の証明の帰納部分に「特注」のように見え、CNFを作成するために使用できるため、ワイルズは岩沢の研究を脇に置き、代わりにコリヴァギンとフラッハの研究を拡張して、彼の証明に必要なCNFを作成する作業を開始しました。[ 27 ] 1993年の春までに、彼の研究は楕円曲線のごく一部の族を除いてすべてを網羅し、1993年の初めに、ワイルズは成功が近いと確信し、信頼できる同僚の1人に秘密を打ち明けました。彼の研究は、数学界でもワイルズにとっても新しい手法であり、彼自身も拡張したコリヴァギン・フラッハ法に大きく依存していたため、1993年1月にプリンストン大学の同僚ニック・カッツに、微妙な誤りがないか研究をレビューするよう依頼した。当時の彼らの結論は、ワイルズが用いた手法は正しく機能しているように見えるというものだった。[ 1 ]： 261-265 [ 28 ]
ワイルズがコリヴァギン・フラッハの理論を用いたことが、後に最初の証明提出における失敗の原因であることが判明し、彼は最終的に岩沢理論とリチャード・テイラーとの共同研究に戻ってそれを修正しなければならなかった。1993年5月、マズールの論文を読んでいたワイルズは、3/5の切り替えによって最後の問題が解決され、すべての楕円曲線を網羅できるというひらめきを得た。
楕円曲線が与えられた場合フィールド全体にわたって有理数の、すべての素数のべき乗について絶対ガロア群からの準同型が存在する
に
要素が整数である可逆な2 × 2 行列のグループこれは、ポイント以上、アーベル群を形成する行為; 要素のサブグループそのためはただそして、この群の自己同型写像は、上述のタイプの行列である。
あまり自明ではないが、特定の特殊なタイプのモジュラー形式が与えられた場合、固有値が のヘッケ固有形式また、準同型写像も得られる。
これはアイヒラーと志村に遡ります。ガロア群はまずモジュラー形式が定義されるモジュラー曲線に作用し、次に曲線のヤコビ多様体に作用し、最後に点に作用するという考え方です。そのヤコビ行列のべき乗次数。結果として得られる表現は通常2次元ではないが、ヘッケ演算子によって2次元の部分が切り出される。これらの表現が何らかの楕円曲線から得られることを示すのは容易だが、その逆を証明するのは難しい。
楕円曲線から直接モジュラー形式に移行しようとするのではなく、まずモジュラー形式に移行することができる。一部の人々のための代表そしてそしてそこからモジュール形式へ。そしてラングランズ・タネルの定理の結果は、上の任意の楕円曲線の表現モジュール形式から来ています。基本的な戦略は、帰納法を使用することです。これが真実であることを示すためにそしてどんな最終的には、すべてに通用する単一のモジュール形式が存在するということこれを行うには、モジュロを持ち上げられる方法の数を比較する計数論法を用いる。1モジュロへのガロア表現そして、モジュールを持ち上げることができる方法の数モジュラー形式。重要な点は、ガロア表現に十分な条件を課すことである。そうしないと、リフトが多すぎて、ほとんどがモジュラー形式にならない。これらの条件は、モジュラー形式から得られる表現と楕円曲線から得られる表現の両方について満たされる必要がある。
元の mod 3 表現の像が小さすぎる場合、持ち上げの議論で問題が生じ、この場合、その後のSerre モジュラリティ予想に関する研究でより一般的に研究された最終的なトリックがあります。このアイデアは、mod 3 表現と mod 5 表現の相互作用に関係しています。特に、mod 5 ガロア表現が半安定楕円曲線に関連する以上既約であれば、別の半安定楕円曲線が存在する。以上そのため、関連する mod 5 ガロア表現は同型であるそして、それに関連する mod 3 ガロア表現が既約である（したがって、ラングランズ・タネルによりモジュラーである）。[ 29 ]
ワイルズは1995年に発表した108ページの論文の中で、主題を以下の章に分けている（各章の前にページ番号が付いている）。
ゲルト・ファルティングスはその後、1995年の証明にいくつかの簡略化を加え、主に幾何学的構成からより単純な代数的構成に切り替えた。[ 20 ] [ 30 ]コーネル会議の書籍にも、元の証明の簡略化が含まれていた。[ 10 ]
ワイルズの論文は100ページ以上に及び、群論、代数幾何学、可換代数、ガロア理論といった分野の専門的な記号や表記法が頻繁に用いられている。ワイルズの研究の基礎を築いた数学者たちは、しばしば新たな専門概念や専門用語を生み出した。
入門的なプレゼンテーションの中には、リベットが 1993 年に送った電子メール[ 31 ] [ 32 ]、ヘッセリンクによるトップレベルの問題の簡単なレビュー（初等代数のみを扱い、抽象代数は避けている）[ 25 ]、またはダニーのウェブ ページ（彼自身のノートのセットを提供し、この主題に関する現在入手可能な書籍をリストしている）などがあります。ウェストンは、主題間の関係のいくつかを便利なマップで提供しようとしています。[ 33 ] FQ グヴェアの 1994 年の論文「A Marvelous Proof」は、必要なトピックのいくつかをレビューしており、アメリカ数学協会からレスター R. フォード賞を受賞しました。[ 34 ] [ 35 ]ファルティングスのこの問題に関する 5 ページの技術速報は、専門家ではない人向けの証明の迅速かつ技術的なレビューです。[ 36 ]市販のガイドブックを探している人には、抽象代数学に精通している人はまずヘレゴウアーチの本を読み、次にコーネルの本を読むことを勧めた。[ 10 ]コーネルの本は「数論の大学院生」にも理解できるとされている。コーネルの本はワイルズの証明のすべてを網羅しているわけではない。[ 13 ]
