ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズ卿による楕円曲線のモジュラリティ定理の特殊なケースの証明である。リベットの定理とともに、フェルマーの最終定理の証明となる。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理は、当時存命していたほぼすべての数学者によって、以前の知識では証明不可能であると信じられていた。^{[1] : 203–205, 223, 226}

ワイルズは1993年6月23日、ケンブリッジで「モジュラー形式、楕円曲線、ガロア表現」と題した講義で初めてこの証明を発表した。 ^[2]しかし、1993年9月にこの証明に誤りがあることが判明した。1年後の1994年9月19日、ワイルズが「[彼の]仕事人生で最も重要な瞬間」と呼ぶこの瞬間に、彼は数学界が満足する形で証明を修正できるという啓示に偶然遭遇した。修正された証明は1995年に出版された。^[3]

ワイルズの証明は代数幾何学と数論からの多くの技法を用いており、これらの数学の分野に多くの影響を与えている。また、スキームのカテゴリ、岩澤理論からの重要な数論的アイデア、およびフェルマーが利用できなかった他の20世紀の技法など、現代の代数幾何学の標準的な構成も使用している。モジュラリティ持ち上げ定理を証明するために変形環をヘッケ代数と同一視する証明の方法（現在ではR=T定理と呼ばれている）は、代数的数論において影響力のある発展であった。

証明を含む2つの論文は合わせて129ページにも及び^{[4] [5]}、ワイルズの研究時間の7年以上を費やした。ジョン・コーツは証明を数論の最高の成果の1つと評し、ジョン・コンウェイはそれを「[20]世紀の証明」と呼んだ^{[6] 。ワイルズがフェルマーの最終定理を証明するまでの道のりは、}半安定楕円曲線の特殊なケースに対するモジュラリティ定理を証明することによって、強力なモジュラリティリフティング技術を確立し、他の多くの問題に対するまったく新しいアプローチを切り開いた。フェルマーの最終定理を証明したことで、彼はナイト爵に叙せられ、2016年のアーベル賞などの栄誉を受けた。ワイルズがアーベル賞を受賞したことを発表した際、ノルウェー科学文学アカデミーは彼の業績を「驚くべき証明」と評した^{[3] 。}

フェルマーの最終定理は1637年に定式化され、3つの正の整数a、b、cが次の式を満たすことはできない と述べている。

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$

nが 2 より大きい整数 ( n > 2) の場合。

時が経つにつれ、この単純な主張は数学における最も有名な未証明の主張の 1 つとなった。この主張が発表されてから 350 年以上経ってアンドリュー・ワイルズが最終的に解決するまでの間、多くの数学者やアマチュアがこの主張を、n > 2 のすべての値、または特定のケースについて証明しようと試みた。この主張は、数論におけるまったく新しい分野の発展に拍車をかけました。最終的には、最初は手作業で、後にコンピューターによって、約 400 万までのnのすべての値について証明が行われました。しかし、 nのあらゆる値に対して有効な一般的な証明は見つからず、そのような証明をどのように実行できるかについてのヒントさえありませんでした。

フェルマーの最終定理とは別に、1950年代から1960年代にかけて、日本の数学者志村五郎は、谷山豊の考えを参考にして、楕円曲線とモジュラー形式の間には関係があるのではないかと推測した。これらは、互いに関係が知られていない数学的対象であった。谷山と志村は、数学者に知られていないが、2種類の対象は実際には同じ数学的対象であり、単に見方が違うだけなのではないかという疑問を提起した。

彼らは、すべての有理楕円曲線はモジュラ曲線でもあると予想しました。これは谷山・志村予想として知られるようになりました。西洋では、この予想は、この予想の概念的証拠を示したアンドレ・ヴェイユの1967年の論文を通じてよく知られるようになりました。そのため、谷山・志村・ヴェイユ予想と呼ばれることもあります。

1980 年頃までに、楕円曲線についての予想を形成するための多くの証拠が蓄積され、その予想が正しい場合の帰結を検証した論文が多数書かれていましたが、実際の予想自体は証明されておらず、一般的にはアクセス不可能であると考えられていました。つまり、数学者は、現在の知識ではその予想を証明することはおそらく不可能であると信じていました。

数十年にわたって、この予想は数学において重要だが未解決の問題のままであった。最初に提案されてから約 50 年後、この予想は最終的に証明され、モジュラリティ定理と改名されたが、これは主に、以下で説明するアンドリュー・ワイルズの研究の成果によるものである。

さらに別の発展の分野では、1960年代後半にイヴ・エルグーアルクが、フェルマー方程式の仮想解（ a、b、c ）を全く異なる数学的対象である楕円曲線に関連付けるというアイデアを思いついた。 ^{[7]曲線は、座標（} x、  y）が次の関係を満たす 平面上のすべての点から構成される。

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{n})(x+b^{n}).}$

このような楕円曲線は、その方程式に整数の高次の累乗が現れ、 a ⁿ  +  b ⁿ = c ⁿもn乗になるという事実により、非常に特殊な特性を持ちます。

1982年から1985年にかけて、ゲルハルト・フライは、現在ではフライ曲線と呼ばれるこの同じ曲線の珍しい性質に注目した。彼は、フェルマーの最終定理に対する反例はおそらくモジュラーでない楕円曲線が存在することも意味するため、この曲線がフェルマーと谷山を結び付ける可能性があることを示した。フライは、フェルマーの最終定理を反証できる任意の数集合 ( a、b、c、n ) は、おそらく谷山・志村・ヴェイユ予想を反証するためにも使用できると信じる十分な理由があることを示した。したがって、谷山・志村・ヴェイユ予想が正しい場合、フェルマーを反証できる数集合は存在できないため、フェルマーの最終定理も正しくなければならない。

この予想は、有理係数を持つ楕円曲線はそれぞれ全く異なる方法で構築できるとしている。つまり、方程式を与えるのではなく、モジュラー関数を使って曲線上の点の座標 x と y をパラメータ化することで構築できるということである。したがって、この予想によれば、Q 上の楕円曲線はモジュラー楕円曲線でなければならないが、a、b、cがゼロでなく、 nが2 より大きいフェルマー方程式の解が存在する場合、対応する曲線はモジュラーではなく、矛盾が生じる。フレイが特定したリンクが証明できれば、今度はフェルマーの最終定理の反証が谷山・志村・ヴェイユ予想の反証になるか、あるいは対置によって後者の証明が前者も証明することになる。^[8]

このつながりを完成させるためには、フレイの直感が正しいことを示す必要があった。つまり、フレイ曲線は、もし存在するとしても、モジュラーではあり得ないということである。1985年、ジャン＝ピエール・セールは、フレイ曲線はモジュラーではあり得ないことの部分的な証明を示した。セールは彼の提案の完全な証明を与えなかった。欠けている部分（セールは早い段階で気づいていた^{[9] : 1}）は、イプシロン予想（ε予想と書かれることもある、現在はリベットの定理として知られている）として知られるようになった。セールの主な関心は、さらに野心的な予想、モジュラーガロア表現に関するセールの予想にあり、これは谷山・志村・ヴェイユ予想を意味するものであった。しかし、彼の部分的な証明は、フェルマーと谷山のつながりを確認することに近づいた。

1986 年の夏、ケン・リベットは、現在ではリベットの定理として知られるイプシロン予想を証明することに成功しました。彼の論文は 1990 年に発表されました。その際に、リベットは、フレイが示唆したように、フレイが特定した種類の楕円曲線に対する谷山・志村・ヴェイユ予想をリベットの定理とともに証明すれば、フェルマーの最終定理も証明できることを確認し、最終的に 2 つの定理の関係を証明しました。

数学的に言えば、リベットの定理は、楕円曲線に関連付けられたガロア表現が特定の特性（フレイ曲線が持つ特性）を持つ場合、その曲線はモジュラーではあり得ないこと、つまり同じガロア表現を生み出すモジュラー形式は存在し得ないことを示した。^[10]

フレイ曲線に関連する発展と、そのフェルマーと谷山の両方とのつながりに続いて、フェルマーの最終定理の証明は谷山・志村・ヴェイユ予想の証明、あるいは少なくともフレイ方程式を含む楕円曲線の種類（半安定楕円曲線として知られる）に対する予想の証明から導かれるであろう。

• リベットの定理とフレイ曲線から、フェルマーの最終定理を反証するために使用できる任意の 4 つの数値は、モジュラーになることのない半安定楕円曲線 (「フレイ曲線」) を作成するためにも使用できます。
• しかし、谷山・志村・ヴェイユ予想が半安定楕円曲線にも当てはまるとすれば、定義により、存在するすべてのフレイ曲線はモジュラーでなければならない。
• この矛盾に対する答えはただ一つしかありません。リベットの定理と半安定曲線に対する谷山・志村・ヴェイユ予想が両方とも正しいとすれば、フェルマーの方程式に解は存在しないことになります。なぜなら、その場合、フレイ曲線はまったく存在せず、矛盾も存在しないことになるからです。これで、フェルマーの最終定理が最終的に証明されることになります。

しかし、セールやリベットの進歩にもかかわらず、フェルマーに対するこのアプローチも広く使用不可能であると考えられていた。なぜなら、ほぼすべての数学者が谷山・志村・ヴェイユ予想自体が現在の知識では全く証明不可能であると見ていたからである。^{[1] : 203–205, 223, 226}たとえば、ワイルズの元指導者ジョン・コーツは「実際に証明するのは不可能だ」と述べており、^{[1] : 226}また、ケン・リベットは「[それが]全く証明不可能だと信じている大多数の人々の一人」であると自認していた。^{[1] : 223}

楕円曲線を研究し、子供の頃にフェルマーに魅了されていたイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、1986年にリベットがイプシロン予想を証明したことを聞いて、谷山・志村・ヴェイユ予想が専門的に正当化されたことと、^[11]このような長年の懸案を証明するという魅力的な目標があったことから、秘密裏に谷山・志村・ヴェイユ予想の証明に取り組み始めることを決意した。

リベットは後に「アンドリュー・ワイルズは、実際に行ってそれを証明できると夢見る大胆さを持った地球上の数少ない人物の一人だっただろう」とコメントした。^{[1] : 223}

ワイルズは 1993 年に初めて証明を発表しました。その証明は最終的に正しいと認められ、1995 年に元の論文の一部にあった微妙な誤りが修正された後、出版されました。ワイルズの研究はその後 6 年間にわたって、ワイルズの研究を基にした他の人々によってモジュラリティ定理の完全な証明へと拡張されました。

1993年6月21日から23日にかけて、ワイルズはイギリスのケンブリッジにあるアイザック・ニュートン数学研究所で3回の講義を行い、半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想、ひいてはフェルマーの最終定理の証明を発表し、発表した。^[2]その後、比較的多くのマスコミ報道があった。^[12]

発表後、ニック・カッツがワイルズの原稿を査読する査読者の一人に任命された。査読の過程で、カッツはワイルズに一連の説明を求める質問をし、その結果ワイルズは証明に欠陥があることを認識した。特定の群の位数の境界値を与える証明の重要な部分の1つに誤りがあった。コリヴァギンとフラッハの方法を拡張するために使用されたオイラー系が不完全だったのだ。この誤りによって彼の研究が無価値になったわけではなかった。ワイルズの研究の各部分は、彼が研究の過程で生み出した多くの開発や技術と同様に、それ自体で非常に重要かつ革新的であり、影響を受けたのは1つの部分だけだった。^{[1] : 289, 296–297}しかし、この部分が証明されなければ、フェルマーの最終定理の実際の証明はなかった。

ワイルズは、最初は一人で、その後は元教え子のリチャード・テイラーと共同で、ほぼ1年かけて証明の修正を試みたが、成功しなかった。^{[13] [14] [15]} 1993年末までに、精査の結果、ワイルズの証明は失敗したという噂が広まったが、どの程度深刻なのかは不明だった。数学者たちは、ワイルズに、完成しているかどうかにかかわらず彼の研究結果を公開するよう圧力をかけ始めていた。そうすれば、より広いコミュニティが彼が成し遂げたものを調べて利用できるからだ。当初は些細なことに思えた問題は、修正されるどころか、今や非常に重大で、はるかに深刻で、解決が容易ではないものに思えてきた。^[16]

ワイルズ氏は、1994 年 9 月 19 日の朝、あきらめかけ、失敗したことを認め、他の人がそれを基にして誤りを見つけられるように自分の研究を発表することにほとんど諦めかけていたと述べています。彼は、自分のアプローチがうまくいかなかった根本的な理由を理解しようと最後の検討をしていたとき、コリヴァギン-フラッハ アプローチが直接うまくいかなかった特定の理由が、岩澤理論を使った当初の試みを、コリヴァギン-フラッハ アプローチでそれ以来得た経験を使って強化すればうまく機能するかもしれないということを突然思いついたと述べています。それぞれ単独では不十分でしたが、一方のアプローチをもう一方のツールで修正すれば、問題は解決し、査読済み論文で証明されていないすべてのケースに有効なクラス数式(CNF) が生成されます。^{[13] [17]}

私は自分のデスクに座って、コリヴァギン・フラッハ法を調べていました。うまく機能すると信じていたわけではありませんが、少なくともなぜうまくいかないのかは説明できると思っていました。突然、信じられないような啓示を受けました。コリヴァギン・フラッハ法は機能していないが、3年前に私が考案したオリジナルの岩沢理論を機能させるために必要なのはそれだけだということに気づいたのです。コリヴァギン・フラッハ法の灰の中から、問題の真の答えが浮かび上がったように思えました。それは言葉では言い表せないほど美しく、とてもシンプルでエレガントでした。どうしてそれを見逃していたのか理解できず、20分間、信じられない気持ちでただ見つめていました。そして、日中は部署内を歩き回り、まだそこにあるのかを確かめるために何度もデスクに戻りました。まだそこにありました。興奮を抑えきれず、とても興奮しました。それは私の仕事人生で最も重要な瞬間でした。二度とこれほど意味のあることは何もないでしょう。

— アンドリュー・ワイルズ、サイモン・シンによる引用^[18]

10月6日、ワイルズは3人の同僚（ゲルト・ファルティングスを含む）に新しい証明を検討するよう依頼し、^[19] 1994年10月24日、ワイルズは「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」^[4]と「特定のヘッケ代数の環理論的性質」^{[5] という2つの原稿を提出した。2}番目の原稿はテイラーとワイルズが共同執筆したもので、本論文の修正手順を正当化するために必要な特定の条件が満たされていることを証明した。

2つの論文は精査され、最終的に1995年5月のAnnals of Mathematics誌に全体として掲載されました。新しい証明は広く分析され、その主要な要素は正しい可能性が高いと認められました。^{[6] [10] [11]}これらの論文により、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理が確立され、フェルマーの最終定理が推測されてから358年後に証明する最後のステップとなりました。

フェルマーは「…これに関する本当に素晴らしい証明を発見したが、この余白には収まりきらない」と主張した。^{[20] [21]}ワイルズの証明は非常に複雑で、他の多くの専門家の研究成果を組み込んでいるため、1994年には、当時彼が行ったことの詳細を完全に理解できたのは少数の人々だけだったと示唆された。^{[2] [22]ワイルズの証明の複雑さは、}ボストン大学で10日間の会議のきっかけとなり、その結果として出版された会議の議事録は、数論の大学院生に必要なすべてのトピックを理解できるようにすることを目指していた。^[9]

前述のように、ワイルズは谷山・志村・ヴェイユ予想をすべての楕円曲線ではなく、半安定楕円曲線の特殊なケースについて証明した。その後数年間、クリストフ・ブリューユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラー（略して「BCDT」）が研究をさらに進め、最終的に2001年の論文ですべての楕円曲線について谷山・志村・ヴェイユ予想を証明した。^{[23]これで証明されたこの予想は}モジュラリティ定理として知られるようになった。

2005年、オランダのコンピュータ科学者 ヤン・ベルクストラは、ワイルズの証明をコンピュータで検証できるような形で形式化するという問題を提起した。^[24]

ワイルズは半安定楕円曲線のモジュラリティ定理を証明し、この定理からフェルマーの最終定理が背理法による証明によって導かれる。この証明法では、証明しようとすることの反対を仮定し、それが真実であれば矛盾が生じることを示す。この矛盾は、仮定（結論が間違っているという仮定）が間違っていたに違いないことを示しており、結論が成り立つことが必要である。

証明は大まかに 2 つの部分に分かれています。最初の部分では、ワイルズは「モジュラリフティング定理」として知られる「リフト」に関する一般的な結果を証明しています。この最初の部分では、楕円曲線に関する結果を楕円曲線のガロア表現に関する問題に変換することで証明しています。次に、この結果を使用して、これらの曲線の ガロア表現がモジュラであることを証明することで、すべての半安定曲線がモジュラであることを証明しています。

ワイルズは、楕円曲線を可算なモジュラー形式の集合に一致させることを試みることにした。彼はこの直接的なアプローチがうまくいかないことに気づいたので、代わりに楕円曲線のガロア表現をモジュラー形式に一致させることで問題を変換した。ワイルズはこの一致 (またはマッピング) をより具体的には環準同型として次のように表している。

${\displaystyle R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}.}$

${\displaystyle R}$は変形環であり、 はヘッケ環である。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$

ワイルズは、多くの場合、この環準同型は環同型になり得るという洞察を持っていた（1995年の論文^[4]の第2章、§3の予想2.16 ）。彼は、との間の写像が同型であるためには、理論に現れる2つのアーベル群が有限であり、同じ濃度を持つ必要があることに気づいた。これは「数値的基準」と呼ばれることもある。この結果から、フェルマーの最終定理は、2つの群が同じ順序を持つという主張に還元される。証明のテキストの多くは、環理論と交換理論に関連する話題や定理につながる。ワイルズの目標は、写像が同型であり、最終的には であることを確認することだった。変形を扱う際に、ワイルズは4つのケースを定義した。平坦変形の場合は証明により多くの労力が必要であり、同じ巻の「特定のヘッケ代数の環理論的性質」と題する別の記事で扱われた。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle R\rightarrow \mathbf {T} }$${\displaystyle R=\mathbf {T} }$

ゲルト・ファルティングスは、その論文集の中で、次のような可換図を示しています（p. 745）。

あるいは最終的には となり、完全な交差を示します。Wiles はそれを直接示すことができなかったため、リフトと を介して示しました。 ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$${\displaystyle R=\mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {Z} _{3},\mathbf {F} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {T} /{\mathfrak {m}}}$

このマッチングを実行するために、ワイルズは類数公式(CNF) を作成する必要があった。ワイルズは最初、水平岩澤理論を使用しようとしたが、その部分には未解決の問題があり、CNF を作成できなかった。1991 年の夏の終わりに、ワイルズは、ヴィクター・コリヴァギンとマティアス・フラックが最近開発したオイラー系について知った。この系は、ワイルズの証明の帰納的部分にぴったりで、CNF を作成するのに使用できると思われたため、ワイルズは岩澤の研究を脇に置き、代わりにコリヴァギンとフラックの研究を拡張して、ワイルズの証明に必要な CNF を作成する作業を開始した。^[25] 1993 年の春までに、ワイルズは楕円曲線のいくつかの族を除いてすべてをカバーし、1993 年の初めに、ワイルズは成功が近づいていると確信し、信頼できる同僚の 1 人に秘密を打ち明けた。彼の研究は、数学者にとってもワイルズにとっても新しいものであり、ワイルズ自身も拡張したコリヴァギン・フラッハのアプローチを多用していたため、1993年1月に彼はプリンストン大学の同僚ニック・カッツに、微妙な誤りがないか研究をレビューするよう依頼した。当時の彼らの結論は、ワイルズが使用した手法は正しく機能しているようだというものだった。^{[1] : 261–265  [26]}

ワイルズがコリヴァギン・フラッハ理論を使用したことが後に最初の証明提出の失敗点であることが判明し、彼は最終的に岩澤理論に戻り、リチャード・テイラーとの共同作業でそれを修正しなければならなかった。1993年5月、マズールの論文を読んでいたワイルズは、3/5スイッチが最終的な問題を解決し、すべての楕円曲線をカバーできるという洞察を得た。

有理数体上の楕円曲線が与えられたとき、すべての素数冪に対して、絶対ガロア群からの準同型が存在する。${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}$${\displaystyle \ell^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}$

に

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ),}$

を法とする整数を要素とする可逆な2 行 2 列の行列の群。これは、上のの点がの作用するアーベル群を形成するためです。となるような元の部分群はちょうど であり、この群の自己同型は記述されたタイプの行列です。 ${\displaystyle \ell ^{n}}$${\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\mathbf {Q} }}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ell ^{n}x=0}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} )^{2}}$

あまり知られていないのは、ある特殊な型のモジュラー形式、つまり の固有値を持つヘッケ固有形式が与えられた場合、準同型写像も得られるという ことである。${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )\rightarrow \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ).}$

これはアイヒラーと志村に遡ります。その考え方は、ガロア群はまずモジュラー形式が定義されているモジュラー曲線に作用し、次に曲線のヤコビ多様体に作用し、最後にそのヤコビアン上のべき乗順序の点に作用するというものです。結果として得られる表現は通常 2 次元ではありませんが、ヘッケ演算子は2 次元の部分を切り出します。これらの表現が何らかの楕円曲線から来ていることは簡単に証明できますが、その逆を証明するのは難しい部分です。 ${\displaystyle \ell ^{n}}$

楕円曲線からモジュラー形式に直接進む代わりに、まず何らかのおよびの表現に行き、そこからモジュラー形式に進むことができます。およびの場合、ラングランズ・トンネル定理の結果から、上の任意の楕円曲線の表現はモジュラー形式に由来することが示されます。基本的な戦略は、 上の帰納法を使用して、これがおよび任意のに対して真であり、最終的にすべてのnに対して機能する単一のモジュラー形式が存在することを示すことです。これを行うには、ガロア表現を 1 に持ち上げることができる方法の数とモジュラー形式を持ち上げることができる方法の数を比較する計数議論を使用します。重要な点は、ガロア表現に十分な条件セットを課すことです。そうしないと、持ち上げる方法が多すぎて、ほとんどがモジュラーにはなりません。これらの条件は、モジュラー形式から来る表現と楕円曲線から来る表現に対して満たされる必要があります。 ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell =3}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\bmod {3}}}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell =3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n+1}}}}$${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$

元の表現の像が小さすぎる場合、持ち上げの議論で問題にぶつかる。この場合、最終的なトリックがあり、これはその後のセール・モジュラリティ予想に関する研究でより一般的に研究されてきた。このアイデアは、表現と表現の相互作用を伴う。特に、Q上の半安定楕円曲線Eに関連付けられたmod-5 ガロア表現が既約である場合、Q上の別の半安定楕円曲線E'が存在し、その mod-5 ガロア表現はと同型であり、その mod-3 ガロア表現は既約である（したがって、ラングランズ・トンネルによってモジュラーである）。^[27]${\displaystyle (\mathrm {mod} \,3)}$${\displaystyle (\mathrm {mod} \,3)}$${\displaystyle (\mathrm {mod} \,5)}$${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}$${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E',5}}$${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,3}}$

1995 年に発表された 108 ページの論文で、ワイルズは主題を次の章に分割しています (先頭にページ番号が付きます)。

導入

443

第1章

455 1.ガロア表現の変形

472 2.コホモロジー群の計算

475 3. GL ₂ (k)のサブグループに関するいくつかの結果

第2章

479 1.ゴレンシュタインの財産

489 2.ヘッケ環間の合同

503 3. 主な推測

第3章

517セルマーグループの推定値

第4章

525 1. 通常のCMケース

533 2. ηの計算

第5章

541楕円曲線への応用

付録

545ゴレンシュタイン環と局所完全交差

その後、ゲルト・ファルティングスは1995年の証明にいくつかの簡略化を加えたが、主に幾何学的構成からより単純な代数的構成に変更した。^{[19] [28]} コーネル会議の書籍にも元の証明の簡略化が含まれていた。^[9]

ワイルズの論文は100ページ以上にも及び、群論、代数幾何学、可換代数、ガロア理論の専門的な記号や表記法が頻繁に使用されている。ワイルズの基礎を築くのに協力した数学者たちは、しばしば新しい専門的な概念や専門用語を生み出した。

入門的なプレゼンテーションの中には、リベットが1993年に送った電子メール、^{[29] [30]}ヘッセリンクのトップレベルの問題の簡単なレビュー（ここでは初等代数のみを扱い抽象代数については触れない）、^[24]またはダニーのウェブページ（彼自身のメモ集とこのテーマで現在入手可能な書籍の一覧を掲載）などがある。ウェストンは、いくつかのテーマ間の関係性を示す便利なマップを提供しようとしている。^[31] FQ グーヴェアの1994年の論文「素晴らしい証明」は、必須のトピックのいくつかをレビューしており、アメリカ数学会からレスター・R・フォード賞を受賞した。^{[32] [33]}ファルティングスのこの件に関する5ページの技術速報は、専門家でない人向けに証明を素早く技術的にレビューしたものである。^[34]市販のガイドブックを探している人に対して、抽象代数学に詳しい人はまずヘレグアークの本を読み、次にコーネル大学の本を読むことを勧めた。^[9]この本は「数論の大学院生」でも読めるとされている。コーネル大学の本はワイルズの証明全体を網羅しているわけではない。^[12]

• 抽象代数
• p進数
• 半安定曲線

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• Simon Singh 「The Whole Story」。2011年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。プロメテウス誌に掲載された、アンドリュー・ワイルズの成功の旅を描いた約 2,000 語のエッセイの編集版。
• Richard Taylorと Andrew Wiles (1995年5 月) 。「 特定の Hecke 代数の環理論的性質」。Annals  of Mathematics。141 ( 3): 553–572。CiteSeerX 10.1.1.128.531。doi : 10.2307 /2118560。ISSN 0003-486X。JSTOR  2118560。OCLC  37032255。Zbl 0823.11030。 
• Wiles, Andrew (1995). 「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Zbl  0823.11029.

• ワイスタイン、エリック W.「フェルマーの最終定理」。MathWorld。
• 「証明」。PBS。PBS テレビ シリーズNOVAの 1 つのエディションのタイトルは、アンドリュー ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明の取り組みについて論じたもので、BBC Horizo​​nとUTVで放送されました/ドキュメンタリーはフェルマーの最終定理 ( Adobe Flash ) (サブスクリプションが必要)として放送されました
• ワイルズ、リベット、志村・谷山・ヴェイユ、フェルマーの最終定理
• 数学者は、アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明にようやく満足したのだろうか？なぜこの定理の証明はこれほど難しかったのか？、サイエンティフィック・アメリカン、1999年10月21日
• YouTubeで世界一難しい数学の問題を解いた男

• 専門家でない人でも理解できるウィルズ証明の概要、アンリ・ダルモン著
• チャールズ・デイニーによる証明の非常に短い要約
• ナイジェル・ボストン著、140ページの学生用証明問題集（演習付き）