二次整数

数論において、二次整数は通常の整数を二次体へ一般化したものである。二次整数は2次の代数的整数、すなわち次の形式の方程式の解である。

x ² + bx + c = 0

bとc は（通常の）整数です。代数的整数を考慮する場合、通常の整数は有理数整数と呼ばれることがよくあります。

二次整数の一般的な例としては、 などの有理整数の平方根や、ガウス整数を生成する複素数が挙げられます。もう 1 つの一般的な例としては、アイゼンシュタイン整数を生成する非実数の3 次根があります。 ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$

二次整数は、ペル方程式などの多くのディオファントス方程式の解や、積分二次形式に関連するその他の問題に現れます。二次整数環の研究は、代数的整数論の多くの問題の基礎となります。

中世インドの数学者は、同じDの二次整数の乗算をすでに発見しており、これによりペル方程式のいくつかの場合を解くことができました。^[要出典]

§二次整数の明示的表現で与えられた特徴付けは、 1871年にリチャード・デデキントによって初めて与えられた。 ^{[1] [2]}

二次整数は、2次の代数的整数です。より明確には、複素数 であり、形式x ² + bx + c = 0の方程式を解きます（bとc は整数） 。整数でない二次整数は有理数ではありません。つまり、 b ² − 4 c > 0の場合は実無理数で、 b ² − 4 c < 0の場合は非実数です。また、一意に決まる二次体 （ある整数eに対してb ² − 4 c = De ²を満たす一意の平方自由整数Dの平方根によって生成されるの拡大）に存在します。 Dが正の場合、二次整数は実数です。D < 0の場合は虚数です（つまり、複素数で非実数です）。 ${\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

二次体に属する二次整数（通常の整数を含む）は、整数環と呼ばれる整域を形成する。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

与えられた二次体に属する二次整数は環を形成しますが、二次整数全体の成す集合は、加算や乗算に対して閉じていないため環にはなりません。たとえば、と は二次整数ですが、 とは、その最小多項式の次数が 4であるため二次整数ではありません。 ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

ここで、そして以下で考察する2次整数は、Dが平方のない整数である2次体 に属する。これは一般性を制限するものではない。なぜなら、等式（任意の正の整数aに対して）が示す通りであるからである。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),}$${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

の元xが2次の整数である場合、かつその場合 に限り、2つの整数aとbが存在し、${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

または、D  − 1が4の倍数の場合

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$aとb は両方とも奇数です。

言い換えれば、すべての2次整数はa + ωb と表記される。ここでaと bは整数であり、ωは次のように定義される。

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

（Dは平方数ではないと想定されているため、このケースは不可能である。なぜなら、 Dは平方4で割り切れることになるからである。） ^[3]${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

の2次整数は次のように書ける。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$、

ここで、aと bは両方とも整数、またはD≡1(mod4)の場合にのみ、両方とも奇数の整数の半分である。このような2次整数の ノルムは

${\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}.}$

2 次整数のノルムは常に整数です。D < 0の場合、2 次整数のノルムは複素数としての絶対値の 2 乗です ( の場合は偽です)。 ノルムは完全な乗法関数であり、つまり 2 次整数の積のノルムは常にそれらのノルムの積になります。 ${\textstyle D>0}$

すべての二次整数には共役な${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$

${\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}$

2 次整数はその共役のノルムと同じであり、このノルムは 2 次整数とその共役の積です。2 次整数の和または積の共役は、共役の和または積です。これは、共役が整数の環の自己同型であることを意味します。以下の§ 2 次整数環を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

任意の平方のない整数（0 と 1 以外）D は、に含まれる代数的整数からなる積分域である二次整数環を定義します。これは、 D = 4 k + 1の場合は、それ以外の場合はω = √ Dとなる集合です。これはの整数環であり、 の積分閉包であるため、 と表記されることがよくあります。この環は、判別式B ² − 4 CがDと整数の平方の積であるすべての方程式x ² + Bx + C = 0のすべての根で構成されます。特に、√ Dは に属し、判別式として 4 D を持つ方程式x ² − D = 0の根です。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

任意の整数の平方根は二次整数です。すべての整数はn = m ² Dと表記できます。ここで、D は平方根のない整数であり、その平方根はx ² − m ² D = 0の根です。

算術の基本定理は、多くの2次整数環では成り立ちません。しかし、イデアルには一意の因数分解があり、これはすべての代数的整数環がデデキント域であるという事実によって表現されます。2次整数は代数的整数の最も単純な例であるため、代数的整数論のほとんどの研究の出発点としてよく使用されます。^[4]

二次整数環は、 Dの符号に応じて 2 つのクラスに分けられます。D > 0の場合、 のすべての元は実数であり、環は実二次整数環です。D < 0の場合、 の唯一の実数元は通常の整数であり、環は複素二次整数環です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

実数二次整数環の場合、一意因数分解の失敗を測定する類数はOEIS A003649 で与えられ、虚数の場合は OEIS A000924 で与えられます。

2 次整数は、そのノルムが1または−1 のときに限り、の整数環の単位です。前者の場合、その乗法逆数はその共役です。後者の場合、その乗法逆数はその共役数の否定です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

D < 0の場合、 の整数の環には最大で 6 つの単位があります。ガウス整数( D = −1 ) の場合、4 つの単位は です。アイゼンシュタイン整数( D = −3 )の場合、6 つの単位は です。その他のすべての負のDの場合、単位は1と−1 の2 つだけです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\textstyle 1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}}$${\textstyle \pm 1,{\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$

D > 0の場合、 の整数環には、 ±  u ⁱに等しい単位が無限に存在します。ここで、iは任意の整数、u は基本単位と呼ばれる特定の単位です。基本単位uを考えると、他に 3 つの基本単位、その共役単位、およびがあります。一般に、絶対値が 1 (実数として) より大きい唯一の単位を「基本単位」と呼びます。これは、 aとbが正 (整数または整数の半分) である、a + b √ Dと表記できる唯一の基本単位です。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle {\overline {u}},}$${\displaystyle -u}$${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

10 個の最小の正の平方自由度Dの基本単位は、、、(黄金比) 、、、、、、、、です。Dが大きくなると、基本単位の係数が非常に大きくなる場合があります。たとえば、D = 19、31、43の場合、基本単位はそれぞれ、、、 です。 ${\textstyle 1+{\sqrt {2}}}$${\textstyle 2+{\sqrt {3}}}$${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\textstyle 5+2{\sqrt {6}}}$${\textstyle 8+3{\sqrt {7}}}$${\textstyle 3+{\sqrt {10}}}$${\textstyle 10+3{\sqrt {11}}}$${\textstyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$${\textstyle 15+4{\sqrt {14}}}$${\textstyle 4+{\sqrt {15}}}$${\textstyle 170+39{\sqrt {19}}}$${\textstyle 1520+273{\sqrt {31}}}$${\textstyle 3482+531{\sqrt {43}}}$

D  < 0の場合、 ω は複素数（虚数または非実数）です。したがって、二次整数環を代数的複素数の集合として扱うのが自然です。

• 典型的な例はガウス整数であり、これは1800年頃にカール・ガウスが双二次相互法則を述べるために導入した。 ^[5]${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]}$
• の要素はアイゼンシュタイン整数と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$

_{上で述べた2つの環は、それぞれ}円分体 Q ( ζ4 )とQ ( ζ3 )の整数環である。対照的に、Z [ √ −3 _]はデデキント域ですらない。

上記の例は両方とも主イデアル環であり、ノルムのユークリッド領域でもある。これは

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],}$

これは一意な因数分解領域でもありません。これは次のように示されます。

私たち には${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

因数 3、およびは、すべてノルムが 9 であるため、既約 であり、既約でない場合はノルムが 3 の因数を持つことになりますが、これは不可能であり、±1の異なる要素のノルムは少なくとも 4 です。したがって、9 を既約因数に因数分解することは一意ではありません。 ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

とイデアルは 主ではありません。簡単な計算により、それらの積は 3 によって生成されるイデアルであることが示され、それらが主であれば、 3 は既約ではないことが示唆されます。 ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle }$${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle }$

D > 0の場合、ω は正の無理実数であり、対応する二次整数環は代数的実数の集合です。広く研究されているディオファントス方程式であるペル方程式 X ² − DY ² = 1の解は、D ≡ 2, 3 (mod 4)の場合、これらの環の単位です。

• D = 5の場合、ω = ⁠1 + √5/2⁠ は黄金比です。この環はピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレによって研究されました。その単位は± ω ⁿの形をとり、 nは任意の整数です。この環は、ペンローズタイリングなどのユークリッド平面上の5回回転対称性の研究からも生まれました。 ^[6]
• インドの数学者ブラフマグプタは、ペル方程式X ² − 61 Y ² = 1を扱いました。これに対応する環はZ [ √ 61 ]です。その結果の一部は、1657 年にピエール・フェルマーによってヨーロッパ共同体に発表されました。^{[どの? ]}

一意の因数分解特性は、 Z [ √ −5 ]の場合に上で見たように、二次整数の環に対して常に検証されるわけではありません。しかし、すべてのデデキント領域と同様に、二次整数の環が一意の因数分解領域となるのは、それが主イデアル領域である場合のみです。これは、対応する二次体の類数が 1 である場合に限り発生します 。

主イデアル環である2次整数の虚数環は完全に決定されている。これらは ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

.D = −1、−2、−3、−7、−11、−19、−43、−67、−163 .

この結果はガウスによって最初に推測され、クルト・ヒーグナーによって証明されたが、ヒーグナーの証明はハロルド・スタークが1967年に証明するまで信じられなかった（スターク・ヒーグナーの定理を参照）。これは有名な類数問題の特殊なケースである。

D > 0 の正の整数は数多く知られており、それらの二次整数環は主イデアル環である。しかし、完全なリストは知られておらず、これらの主イデアル環の数が有限であるかどうかさえわかっていない。

二次整数環が主イデアル領域であるとき、それがユークリッド領域であるかどうかを知ることは興味深い。この問題は次のように完全に解決されている。

ノルムを ユークリッド関数として備えた は、 負のDのユークリッド領域であり、 ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 , ^[7]

そして、Dが正の場合、

D = 2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57、73 （ OEISの配列A048981）。

ユークリッド関数としてノルムを持つ二次整数環は他に存在しない。^[8]負のD に対して、二次整数環がユークリッドであるためには、ノルムがそのユークリッド関数となる必要がある。したがって、

D = −19, −43, −67, −163 ,

対応する 4 つの二次整数環は、ユークリッド領域ではない主イデアル領域の稀な既知の例の 1 つです。

一方、一般化されたリーマン予想は、主イデアル領域である実二次整数環が、あるユークリッド関数に対するユークリッド領域でもあることを意味しており、これは通常のノルムとは異なる可能性がある。 ^[9] 値D = 14, 69は、二次整数環がユークリッドであることが証明された最初の値であるが、ノルムユークリッドではない。^{[10] [11]}