原子ドメイン

数学、より具体的には環論において、原子領域または因数分解領域は、すべての非ゼロの非単位が少なくとも 1 つの方法で既約元 の有限積として記述できる整域です。原子領域は、要素の既約元への分解が一意である必要がないという点で一意の因数分解領域とは異なります。言い換えると、既約元は必ずしも素元ではありません。

原子領域の重要な例としては、すべての一意な因数分解領域のクラスとすべてのネーター領域が挙げられる。より一般的には、主イデアルの昇順連鎖条件(ACCP) を満たす任意の整域は原子領域である。コーンの論文では逆が成り立つと主張されているが、 ^[1]これは誤りであることがわかっている。^[2]

「原子」という用語は、積分領域の 既約要素を「原子」と呼んだPM Cohnに由来します。

このセクションでは、環は整数と同様に、加算と乗算の演算を実行できる単なる抽象集合として見ることができます。

整数の環 (つまり、加算と乗算の自然な演算を備えた整数の集合) は、多くの重要な特性を満たしています。そのような特性の 1 つが算術の基本定理です。したがって、抽象的な環を考えるとき、どのような条件下でそのような定理が成り立つのか、という自然な疑問が生じます。一意の因数分解領域は、まさに算術の基本定理の類似物が成り立つ環であるため、この疑問には簡単に答えられます。ただし、算術の基本定理には 2 つの側面があることに気付きます。1 つ目は、任意の整数が素数の有限積であるということ、2 つ目は、この積が並べ替え (および単位による乗算) を除いて一意であるということです。したがって、どのような条件下で環の特定の要素が一意性を必要とせずに「分解」できるかという疑問も当然生じます。原子領域の概念は、この疑問に対処します。

R を整域とする。Rのすべての非ゼロ非単位 x が既約元の積として表せる場合、R は原子域と呼ばれる。(環理論では無限積は定義されていないため、積は必然的に有限である。このような積では、同じ既約元を因子として複数回含めることができる。) このような式はxの因数分解と呼ばれる。

原子領域では、同じ要素xの異なる因数分解の長さが異なる可能性があります。 xの因数分解では、既約因数の数が制限されないことさえあります。逆に、すべての非ゼロ非単位xについて因数の数が制限されている場合、Rは制限付き因数分解領域( BFD )です。正式には、このような各xについて、 x = x ₁ x ₂ ... x _nでx _iがいずれも逆でない場合、n < Nとなる整数Nが存在することを意味します。

このような境界が存在する場合、xから 1 までの真因子の連鎖の長さはこの境界を超えることはできません (各ステップの商を因数分解できるため、連鎖の各ステップで少なくとも 1 つの既約因数を持つ xの因数分解が生成されます)。そのため、 Rの主イデアルの厳密に昇順な無限連鎖は存在できません。主イデアルの昇順連鎖条件または ACCP と呼ばれるこの条件は、 BFD 条件よりも厳密に弱く、原子条件よりも厳密に強いです (言い換えると、真因子の無限連鎖が存在する場合でも、すべてのx が有限因数分解を持つ可能性があります^[3] )。

BFD 条件よりも厳密に強い 2 つの独立した条件は、半因数分解領域条件 ( HFD : 任意のxの 2 つの因数分解の長さが同じ) と有限因数分解領域条件 ( FFD : 任意のxには非関連因子が有限個しかない) です。すべての一意の因数分解領域は明らかにこれらの 2 つの条件を満たしますが、どちらも一意の因数分解を意味しません。